山东菏泽市2025-2026学年高二数学下学期期末复习模拟试卷二

**基本信息** 菏泽市高二数学期末模拟卷，以新能源汽车调查、电商购买概率等现实情境为载体，融合概率统计、数列、导数等知识，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|随机变量、线性回归、数列、排列组合|基础概念与简单应用结合，如第5题古典概型| |多选|3|数列前n项和、条件概率、导数性质|多选项分层考查，如第10题结合事件概率公式| |填空|3|定积分、正态分布、随机移动概率|情境创新，如第14题点移动概率模型| |解答|5|独立性检验与分布列、数列证明、概率计算、导数极值证明|综合应用突出，如第15题结合分层抽样与分布列，体现数据观念；第19题导数极值证明考查逻辑推理|

．高二数学参考答案 1．B 【分析】根据题意，求得，再由，即可求解. 【详解】因为随机变量满足，若，可得， 又因为，可得， 则. 2．A 【详解】由，，得，， 点在回归直线上，故，解得， ， 故当时，． 3．B 【分析】根据变换后回归直线方程必过样本中心点，再结合题意以及对数的运算计算即可. 【详解】因为， 所以，则， 即， 即，所以. 故选：B. 4．B 【分析】根据已知得，应用等差数列的通项公式依次判断各项是否为0即可. 【详解】由题设，且，， 若的公差为，则， 所以，则， ，不一定为0，A不符，，B符合， 所以，C不符，，D不符. 5．D 【分析】第一次丢掉球有红、黑两种可能，分别计算剩余球中取两个黑球的概率，再利用全概率公式计算即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得. 6．C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已有条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种类数. 【详解】该挂件进行如图所示的编号：    依题意1号有4种涂色方案，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： 第一种：若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第二种：若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第三种：若5号与1号异色，与3号同色，此时5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，则7号有2种涂色方法， 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法； 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 第四种：若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有两种涂色方法， 因此5，6，7号的涂色有种涂色方法， 综上可知，所有涂色方法种类数为种涂色方法. 7．C 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 8．A 【详解】函数在处取得极大值， 则，所以， 解得或， 当时，， 所以当时，当时，， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 所以当时，，当时， 所以在处取得极大值， 所以. 9．ABD 【分析】对于A，由等差数列定义验算即可；对于B，求得即可判断；对于C，由错位相减法求出即可判断；对于D，结合单调性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故A正确； 对于B，因为，所以，从而，故B正确； 对于C，因为，所以， 两式相减得， 解得，所以，故C错误； 对于D，因为，所以关于单调递增， 注意到， 所以若，则n的最小值为5，故D正确. 故选：ABD. 10．AD 【详解】由已知得，，． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由全概率公式可得，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 11．ACD 【分析】由题可得(为常数)，构造，可得，结合导数依次判断选项即可. 【详解】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 12． 【分析】令，即可求出的值. 【详解】令，则 解得：. 故答案为：. 13． 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过分的人数大约为人， 故答案为：. 14． 【分析】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案. 【详解】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数. 第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），， 第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），， 第三种情况，点水平移动6次（即向右移动4次，向左移动2次），， 则所求的概率． 15．(1)列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，解释见解析， (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值. 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 16．(1)见解析 (2) 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【详解】（1）证明：由题意,在数列中,， ∴,，   又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）在中，   ， ， 两式相减得， ， ∴ 17．(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以. （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故. （3）根据题意，， 分析可得，1，2，3， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 数学期望. 18．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明； （ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论． 【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”， 则“第天不选择米饭套餐”． 根据题意，，，． 由全概率公式，得． （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，． 由全概率公式，得． 因此． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （ii）由（i）可得． 当为大于的奇数时，． 当为正偶数时，． 因此当时，． 19．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，利用一元二次方程有两个不等且大于的根列出不等式组，求得答案； （2）由是的一个极值点，可得，即，代入，利用导数求出函数单调性可证； （3）将原不等式转化为证明数列的问题，利用对数的运算，对不等式进行变形，令，，即只需证在上恒成立，求导分析即可. 【详解】（1）因为 所以 令，， 有两个极值点，， ，解得， （2）证明：因为是的一个极值点，则有：， 即：， 若证： 只需证： 令， ，， 在上单调递增，又， 证得： 则： 证毕． （3）若证：， 只需证：， 将看作数列的前项和 即： 同理，将看作数列的前项和 即： 故要证明原命题只需证明： ， 令，，即只需证： 在上恒成立 令，则， 所以在上，，即在上单调递减，且， 所以：， 即：成立， 则原命题成立， 证毕． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽市2025-2026学年高二数学下学期期末复习模拟试卷二 一、单选题 1．已知随机变量满足，若，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（    ） A． B． C． D． 3．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ） A． B． C．70 D．35 4．记为等差数列的前项和，当时，，则下列各项中一定等于0的是（    ） A． B． C． D． 5．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（     ）    A．192 B．216 C．264 D．288 7．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题 9．已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A．是等差数列 B．C． D．若，则n的最小值为5 10．在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（    ） A． B． C． D． 11．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B．C．在上单调递增 D． 三、填空题 12．设．若，则实数________． 13．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 14．在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________. 四、解答题 15．截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 16．已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列；(2)设（），求． 17．甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 18．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列；（ii）证明：当时，． 19．设有两个极值点，且． (1)求实数的取值范围； (2)证明：；(3)证明：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $