山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024~2025学年高二下学期教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B C A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AB BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 0.55 13. 144 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：的展开式的通项为 （1）因为第三项的系数是第二项系数的2倍 ，解得，因为，所以…………………………………4分 （2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项. 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和；………………………………………………………8分 （3）由（1）知展开式中的系数为，所以展开式中含项的系数为219. …………………………………………………………………………13分 16.解：（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异. 因为， ………………………………………………3分 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．…………………………………………………5分 所有数据都扩大10倍后： ． 依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即学校与数学成绩有关联……………7分 结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化.…………………………………9分 （2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名来自乙校．…………………………………10分 所有可能的取值为0，1，2， 知，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故．……………………………………………………………………15分 17.解：因为，所以…………………1分 （1）因为过点，所以解得 又因为，在点处的切线方程为，所以， 所以；………………………………………………………………………………………7分 （2）因为，令得， ①当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ………………………………………………………………9分 ②当即时，， 在上为增函数； …………………………………………………………………………11分 ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ……………………………………………………………13分 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为.……………………………15分 18.解：（1）设甲队获得冠军为事件A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜， 则………………………………………………………………………………………………2分 （2）设甲乙第一轮相遇概率为，甲乙第二轮相遇概率为，甲乙第三轮相遇概率为， 设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，所以甲乙在第一轮相遇的概率……4分 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜则.……………………………………………………………7分 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜则.………………………………………………………10分 （3）解法一：记比赛的轮次为事件，甲乙在比赛过程中相遇的事件为，要使甲乙能在第轮相遇，则甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为，同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为.……………………………………15分 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即， 又因为为整数，所以最小的值为11. ………………………………………………………………………17分 解法二：设名选手参赛，甲乙相遇的概率为，则当时，甲乙一定相遇，此时. 当名选手参赛，甲乙相遇的概率为.考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是，， 累加得，所以.……………………………………15分 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即 又因为为整数，所以，所以最小的值为11. …………………………………………………17分 19. （1）因为所以 令得，的变化情况列表如下： 增函数 极大值 减函数 所以，因为，所以， 令得，的变化情况列表如下： 增函数 极大值 减函数 所以， 所以由已知得，所以，即.……………………………4分 （2）由题意可知：，即 所以即且…………………………………………………………………6分 又因为 设在上单调递增，所以………………………………………8分 令， 在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以…………………………………………………………………………………10分 （3）存在唯一的点对关于对称，………………………………………………………………11分 证明：假设存在，设，于是 得，即…………………………………………………………14分 令，，所以在上单调递减，，由零点存在定理，使得 即存在唯一的点对关于对称. ……………………………………………………………………17分 高二数学试题参考答案 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2024—2025学年高二下学期教学质量检测 数学试题 2025.07 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1． A．10 B．15 C．20 D．25 2．两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则 A．， B．， C．， D．， 3．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则物体在2s时的瞬时加速度（单位：m/s2）是 A．5 B．10 C．11 D．20 4．已知函数在(0, +∞)上单调递增，则a的取值范围是 A． B． C． D． 5．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是 A． B． C． D． 6．已知函数，则的大致图象是 A B C D 7．离散型随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，E(X)＝1，则D(2X－1)＝ A．-0.2 B．0.6 C．0.8 D．1.6 8．用1,2,3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是 A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则 A．的值为-32 B．的值为30 C．的值为-2 D． 10．下列命题正确的有 A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数r越大，则样本的线性相关性越强 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C．若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，b的值分别为3，4 D．一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置Xn，则下列结论正确的有 A．当，则 B．当，则 C．当，该质点共经过两次3的概率为 D．当，的期望 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 13．把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有________种（用数值表示）． 14．已知是定义域为(0, +∞)的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍. （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）. 16.（15分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 （1）依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； （2）现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为X，求X的分布列和期望． 附：①，其中. α 0.1 0.01 0.005 xα 2.706 6.635 7.879 ②临界值表 17.（15分）已知函数. （1）若在点处的切线方程为，求的值； （2）求的单调区间. 18.（17分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为.已知甲、乙两队参赛. （1）求甲队获得冠军的概率； （2）求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； （3）为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求n的最小值. 19.（17分）已知函数，. （1）若函数的极大值与的极大值之和为，求a的值； （2）若，当时，求的最小值； （3）判断图象上存在多少组关于点对称的点对，说明你的结论和理由. 高二数学试题 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$