河北邯郸市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

邯郸市第一中学高一年级期中考试 数学参考答案 题号 12 34567 8 9 10 11 12 13 14 答案 DD AC C B DCABC ABC BCD 钝角37 8π 1.D【解析】已知：=-1+i,则 -1+i-1+i(-1+0(-i) z+1-1+i+1i i.(-i) =1+i.故选：D. 2.D【解析】由题意，万-4a=(2,x-4),因为b1(6-4,则6.6-4=4+x(x-4)=0, 解得x=2.故选D 3.A【解析】解：因为a∥平面a,所以直线a与平面&无交点，因此a和平面&内的 任意一条直线都不相交.故选A 4.C【解析】根据斜二测画法知在A,B,D中，正三角形的顶点A,B都在x轴上，点C 由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的：对于C,左侧建系方法画出的直观图，其 中有一条边长为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角 形的边长相等，由此可知不全等.故选C 5.C【解析】若船从A航行到B,则船的实际航行方向与岸边垂直，设船的速度为y,水 流速度为，船的实际航行速度为"，如图，设☑BAC=a0<a<,由 2 1 B 图可知sa=5,cosa 2W5,所以sin6=sin(a+)=cosa= 5 C 5 2v5 200 v=vcos a=4km/h=- 3mmin,因此t= 60 2=9min.故选C。 v 0 6.B 2U2 7.D【解析】设球半径为r,圆锥的高为h,则圆锥的母线长1=Vr2+h, 所以圆锥的侧面积是πl=r√P+2,半球面面积为2π2，因为圆锥的侧面积是下面 半球面面积的2倍，所以π1=2×2πr2,则1=4r,则h=√P-=√15， v15 所以圆锥的体积与半球体的体积的比值为： 3 3 V15 故选D. 2 23 231 8.C【解析】：2S=besinA=a2-(b-c)2=d2-(b2+c2-2bc), 由余弦定理得：cosA=b+c2-a2 2代入上式得：besinA=a2-（a2+2 bc cosA-2bc, 2bc 【高一数学参考答案第1页（共8页）】 即simA=2(1-cosA),两边平方得：sin2A=4(1-2cosA+cos2A, 1-cos24=4(1-2cosA+cos24),5 cos2 4-8cos4+3=0, 3 4 则cosA=二或cosA=I(舍去)，因为锐角△ABC,则sinA= 5 锐角△MBC有C<B=π-AC5,则C只A。 cosA 3 tanC tan A 2 sinA 4' b sinB sin(A+C)sinA +c0sA=,4+3435 < b、3 c sinC sinC tan C stmc3 3x353tanc>0. 4 35 。135) 53 则2b+c=22+=2x+，xe c b 53 令f(w)-2x+1,xe 35 53 由平均值不等式的性质可知f(x)=2x+>22,当 5.359 f-B5得故岁epa3数te 15 9.ABC【解析】设z1=a十bi,=c十di,a,b,c,d∈R, .2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,=2=(ac-bd)-(ad+bc)i 三2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以32=·2，A正确 (ac+bd+bc-a a'c'+b'd'+a'd2+b'c2 a2+b2_13l c2+d21 c2+d2 (c2+d Vc2+d2 1=21 所以上，B正确 52|z2| 对于C,32=名5，所以32-3=0，(52-)=0，不为零，所以2-=0，所以 2=1,则1=2，C正确 对于D,取2=1，二=1，满足子+子=0，则=2=0不成立，所以D错误： 【高一数学参考答案第2页（共8页）】 10.ABC【解析】因为a2+c2-b2=ac·sinB,又d2+c2-b2=2ac·cosB, 所以sin B=2cosB,所以tanB=2,B正确： 因为acos B+bsin A=c,由正弦定理可得sin Acos B+sin Bsin A=SinC, 所以sinAcosB+sin Bsin A=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsin B,所以 sin Bsin A=cos Asin B, ，A正确， 又B∈(0，，Ae(0,),sinB≠0，所以tanA=l,所以A=T 由tamB=2,Be(0,m),可得snB=25, 5 co8B=V⑤ 5 由正弦定理可得，a=b sinA sin B 又如4上a=2,所以5，c编 分 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以 imc=2×5+2253io 252510 所以aABc的面积S=absinC=×V2×15×3_6,D错误故选：ABC, 2 105 1I.BCD【解析】，PA⊥平面ABC,∴.PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA,ABC平面 PAB,PA∩AB=A,∴.BC⊥平面PAB,∴.BC⊥AE, 在B选项中，，'AE⊥PB,PB,BCC平面PBC,PB∩BC=B,∴.AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF, ∴.△AEF一定为直角三角形，故B正确. 在C选项中，.PC⊥平面AEF,∴.PC⊥AE.,'AE⊥BC,PC,BCC平面PBC,且PC∩BC=C, ∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,∴.△AEF为直角三角形，故C正确 在D选项中，，EF∥平面ABC,EFC平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC, ∴EF∥BC,∴EF⊥AE,∴.△AEF为直角三角形，故D正确. A选项中，结论无法判断，故A不正确.故选：BCD 2诗角.【能折1山是意阳，AC的武大角的余法位为女号号=0：成谈 角为钝角，故该三角形为钝角三角形， 【高一数学参考答案第3页（共8页）】 13.答案：√37 14.解析：连接AC,由题意可知PA=PC=2√2，AC=4,则三角形PAC为等腰直角三角形， 作截面PAC,设球心为O,半径x;则球与PA,PC相切，显然OP平分∠APC,设切点为M, N则OM=ON=r,OP=√2r 设AD,BC的中点分别为E,F,过P,E,F三点作截面，则三角形PEF为等腰三角形 PE=V6,EF=2W2,则c0S∠EPO= Y6在三角形P0中利用余弦定理， cos∠EPO-IPE+1PO-|BOP6+2r2-r√6 2 PE PO 4V3r 3 r2-45r+6=0,r=√2或r=3W2,由题意可知r<2V2 所以r=√2，球的表面积为8π。 27 15.解：)设复数=a+bi(a,b∈R),由题意Va2+2+a+bi=8-4i…3分 得 Va2+b2+a=8 ,解得 a=3 b=-4 。。。。。。。5 b=-4 所以二=3-4i .6分 (2)由(1)可得之-1+6i=2+2i, 所点A(3,-4），B(2,2），OA=(3,-4)，0B=(2,2).8分 COS∠AOB= 0A.0B -2 V2 oA·o 5X2/210,.10分 因为∠A0B∈(0，)，所以sin∠AOB=7V2 10 ’12分 【高一数学参考答案第4顷（共8页）】 所以S△AOB= o阿，o血∠40B-x5×2vax8 =713分 16.解：①)因为A(2,0),B(0,4),C(c0s,sin),所以OC=(cosa,sina), AB=(-2,4).………2分 又OC∥AB,所以4cosa+2sina=0,则sina=-2cosa,即tana= sina=2 cosa .6分 (2)因为OC=(cosa,sim),OA=(2,0),所以OA+OC=(2+cosa,sima), 因为OA+OC=√5，所以(2+cosa)2+sin2a=3,即5+4c0su=3,cosa=- 1 2 .10分 又“是第二象限角，所以sia=V-cosa= .12分 2 因为OC=(cosa,sima),OB=(0,4),所以OB.OC=4sina=4× V3 2 =2V3, ……… .13分 所以d= 0C.0B.0B251 OB .15分 17.(1)证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D,如图.：DC=DD1, .四边形DCC1D1是正方形.DC1⊥D1C.。 …2分 又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, :AD⊥平面DCC1D1 D1CC平面DCC1D1,.AD⊥D1C. .4分 ·AD,DC1C平面ADC1,且AD∩DC1=D, .:D1C⊥平面ADC1.又AC1C平面ADC1,.:D1C⊥AC1 .6分 【高一数学参考答案第5页（共8页）】 (2)连接AD1,AE,如图.设AD1A1D=M,BD∩AE=N连接N..8分 .平面ADE∩平面ABD=MN,要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,.11分 又M是AD1的中点，N是AE的中点. 又易知△ABN≌△EDN,.AB=DE,即E是DC的中点... 14分 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD..I5分 18.【解析】(1)证明：设点B到平面ADC的距离为h,因为AD=CD=2,∠ADC= 2 所以SADc=V3, 2分 ,所以h=2, 因为n盒c=%ceh=29 .4分 因为BC=2,所以BC⊥平面DAC,因为BCc平面ABC, 所以平面DAC⊥平面ABC. .6分 (2)取AC的中点为O,连接OD,OP作OH∥OP交DO于H,连接HC, 因为P为AB中点，则OP∥BC,所以OH∥BC,因为BC⊥平面DAC,所以 QH⊥平面DAC,PO⊥平面DAC,所以∠OCH为CQ与平面ADC所成的角..9分 因为△DAC为等腰三角形，AD=CD=2,∠ADC=号所以AC=25,OC=5,所以 D0=L又0P=BC=1P01平面DAC,所以△DOP为等腰直角三角形…12分 设DO-=20≤≤D,则 DP =元.0H=元H0=D0-DH=1-元，HC=VQ-刀2+W3=VP-2+4, PO 0C=V0f2+HC2=V222-21+4… .14分 【高一数学参考答案第6硕（共8页）】 sin<QcH=H№ 0C√22-21+48 即5241-2=0解得天-子1=-合16分 2 所以，当%-}时，CQ与平面4DC所成的角的正弦值为Y DP 3 .17分 8 D A B 19.【解析】I)因为2 csin Acos B=asin A-bsin B+-bsinC 由正弦定理可得：2 cacosB=d-B+bc,即2ca.+c-b=d-+bc 4 2ac .2分 化简可得：4c=b,因为c=1,所以b=4; .4分 (②)因为D为BC中点，所以AD=(AB+AC), 设(AB,AC〉=0，则 AD1=1B+4G2+2AB4c=162+b+2bcc099= 7+8cos 0 .6分 2 又B.A0-AB+40)a+AC c2+bc cosθ1+4cosθ 2 2 ..7分 21 AB.AD 1+4c0s0 所以 =coS∠BAD= |AB|·|AD V17+8cos0 化简可得：28C0S20+8C0S0-11=0.8分 解得cos日=1或cos6=-1 14 9分 又114oas0>0,所以co0-号则sn0-小-cs0-5 【高一数学参考答案第页（共8页）】 所以aA5C的面积为cmA=x1K4×5-5…10分 2 2 (3).设AE=xAB,AF=yAC,因为|AB=1,|AC=4,△AEF的面积为△ABC面积的 -半防以5方6正s4=丽1=5w 1 则灯y=7.l2分 2 设AG=4D,则AG=元AD=2AB+24C-2A亚+于 2 2 2y 又么6共线、谢拟1划分 1-x+y,=1 x+y .14分 所以GBF子1a0C.-©-+40-w4C-) =acf-f-0-亚c=子08y-3)8 2(x+y) 21 又号化简可得AGBF=933 2 十 15分 2x2+122x2+1 21 又0<y≤1.0<xs1,所以x≤1，多≤2x+1s3,2」 22r+7≤7m16分 2 所以AG.EF≥2，当x=1时AG.EF=2,AG.EF的最小值为2.17分 【高一数学参考答案第8页（共8页）】邯郸市第一中学高一年级期中考试数学试卷 命题人：冯竞超 审核人：王欢 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知=-1+i,则 z+1 A.-1+i B.-1-i c.1-i D.1+i 2.已知向量=(0,1)，b=(2,x),若b1(⑦-4，则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.下列说法中，与“直线a/平面0”等价的是 A.直线a与平面心内的任意一条直线都不相交 B.直线a与平面a内的两条直线平行 C.直线a与平面ax内无数条直线不相交 D.直线a上有两个点不在平面a内 4.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的是 A A(B)OxO④Bx O(A B B O④Bx 5.如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600m,河水的速度为向东2kam/h.一艘小货 船准备从河岸边A地出发，航行到河对岸的B处，(AB与河的方向垂直)，已知船的速 度为2√5km/h,过河需要的时间为tmin),船的行驶方向与水流方向的夹角为日，则 B 4北 A.sin0= 5,t=6 B.sine=5 ,ts9 C.sin 2 5ts9 D.sine=5 ,ts6 【高一数学第1页（共4页）】 6.如图，正四面体P-ABC的棱长为2，M是棱PA的中点，N是棱AC上一动点，则 N+BN的最小值为 A.3 B.√万 C.6 D.5 7如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成. 己知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体 积的比值为 A. 5 B. 4 2 C.√ D.V15 8.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且 2S=a2-(b-c,则2方+c 的取值范围为 bc 43 59 A 15'15 B 25 22, D.「22，+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.己知21,2，为复数且均不为零，下列命题中正确的是 A.123=212 B.1色E5 231z31 c若5P,则= D.若z+z子=0，则21=22=0 10.△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若acos B+bsinA=c,a=√2， a2+c2-b2=ac.sinB,则下列说法正确的是 A.A=2 B.tan B=2 4 C.b-5 D.△ABC面积 20 【高一数学第2页（共4页）】 11.在三棱锥P-ABC中，己知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是棱PB,PC上的动点，则下 列说法正确的是 A.当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形 B.当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 C.当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形 D.当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知△ABC的三边长分别为2,3,4，则此三角形是■ 三角形 13.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，马分别是与x轴、 y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=x?+e,则把有序数对(x,y) 叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，设OP=32,+422,则|OP= 14.已知正四棱锥P一ABCD的侧棱和底边长相等，且AB=2√2，球O与四棱锥的所有棱 均相切，则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 已知复数z满足z+之=8-4i,i为虚数单位 1)求复数z; (2)若复数z,二-1+6i在复平面内对应的点为A,B,O为坐标原点，求△OAB的面积. 16.(本小题15分) 已知A(2,0),B(0,4),C(cosa,sia),O为坐标原点. I)若OC/AB,求tanu的值； (2)若1OA+OC=√3，且a是第二象限角，设OC在OB上的投影向量为a,求a的 坐标 【高一数学第3页（共4页）】 17.(本小题15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DCAB∥DC. (1)求证：DiC LAC1; (2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD,并说明理由： 18.(本小题17分) 如图.三棱锥D-A5c的体积为2yAD=CD=BC2∠4DC-,P为AB的中点 (1).求证：平面DAC⊥平面ABC 2 (②).线段DP上是否存在点Q使得C0与平面ADC所成的角的正弦值为 8 ,若存在， DO 求出DP的值，若不存在，请说明理由. D 19.(本小题17分) 如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,cAD为BC边上的中线，己知c=1且 2csin Acos B-asin A-bsin B+bsinC,cosBAD=21 1 7 I)求b边的长度： (2)求△ABC的面积： (3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC 面积的一半，求AG.EF的最小值. B 【高一数学第4页（共4页）】