第二章 第16课时 函数的零点与方程的解 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据高考评价体系明确了函数零点概念、零点存在定理、二分法三大核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，梳理出零点所在区间判定、零点个数确定、零点应用求参数等常考题型，覆盖高考90%以上相关分值。 课件亮点在于“真题引路—方法提炼—素养提升”的复习路径，如以2025天津卷零点区间判定题为例，提炼“定理法+数形结合”突破策略，培养学生的几何直观和推理能力。设置“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握零点问题通解通法，教师可依托系统考点梳理和分层训练，实现高效复习指导。

第16课时　函数的零点与方程的解 第二章 函数的概念与性质 [考试要求] 1．理解函数的零点与方程的解的联系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解用二分法求方程的近似解． 第16课时　函数的零点与方程的解 2 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 以题引理·激活思维 √ A　[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．] 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 3 2．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 √ B　[由 解得x＝－2或x＝e，故f (x)有2个零点．] 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 4 3．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B　[函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝－1，f (2)＝1， 则f (1)f (2)<0，故f (x)的零点所在的区间为(1，2)．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 5 x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 4．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：     在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(5，6) D．(6，7) √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 6 BC　[由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0，f (6)f (7)>0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC．] 7 5．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为_____________． 0或－　[当a＝0时，f (x)＝－x－1， 令f (x)＝0，得x＝－1， 此时，f (x)只有一个零点为－1； 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－． 综上，实数a的值为0或－．] 0或－ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 8 1．函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有____⇔函数y＝f (x)的图象与____有公共点． f (x)＝0 零点 x轴 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 9 3．函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f (x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的解． 连续不断 f (a)f (b)<0 (a，b) f (c)＝0 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 10 4．二分法 对于在区间[a，b]上图象________且____________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． 连续不断 f (a)f (b)<0 零点 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 11 1．确定零点所在区间的方法：定理法、数形结合法． 2．若连续不断的函数f (x)在[a，b]上是单调函数，而且f (a)f (b)<0， 则f (x)在(a，b)内有且仅有一个零点． 3．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 12 考点一　判定函数零点所在的区间 [典例1]　(1)(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) (2)(2025·浙江杭州一模)设f (x)＝ex＋ln x，满足f (a)f (b)f (c)<0 (0<a<b<c)．若函数f (x)存在零点x0，则(　　) A．x0<a B．x0>a C．x0<c D．x0>c 精研考点·提升素养 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 13 (1)B　(2)B　[(1)易知f (x)单调递减，又f (0)＝1>0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f (0.5)＝0.30.5－<0， 所以f (x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B． (2)函数f (x)＝ex＋ln x的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f (x)＝ex＋ln x是增函数，由于0<a<b<c，故f (a)<f (b)<f (c)， 满足f (a)f (b)f (c)<0(0<a<b<c)，说明f (a)，f (b)，f (c)中有1个是负数一定是f (a)，两个正数或3个负数，由于f (x)存在零点，故x0>a．故选B．] 14 名师点评：确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 15 [巩固迁移] 1．若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 16 A　[函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0． 所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．] 17 2　[法一：∵2<a<3，∴f (x)＝logax＋x－b为定义域上的增函数， ∵2<a<3<b<4，∴loga2<1<loga3，－2<2－b<－1，－1<3－b<0， ∴f (2)＝loga2＋2－b<0，f (3)＝loga3＋3－b>0， ∴f (2)·f (3)<0． 由x0∈(n，n＋1)，n∈N*，得n＝2． 2．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数 f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 2 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 18 法二：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以当函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2．] 19 考点二　确定函数零点的个数 [典例2]　(1)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2021·北京卷)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f (x)有两个零点； ②∃k<0，使得f (x)有一个零点； ③∃k<0，使得f (x)有三个零点； ④∃k>0，使得f (x)有三个零点． 以上正确结论的序号是____________． √ ①②④ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 20 (1)C　(2)①②④　[(1)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以 f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．当x>0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述， f (x)的零点个数为3． 21 (2)将问题转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误； 对于④，当k>0时，过点(0，2)可作曲线y＝g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于切线的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 22 名师点评：求解函数零点个数问题的基本方法有直接法、定理法、图象法．其中，图象法一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 23 [巩固迁移] 3．(2026·湖南长沙模拟)已知函数 f (x)＝的根的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 24 B　[当x≥0时，f (x)＝f (x－2)，故2是f (x)的一个周期，又当0≤x<2时，－2≤x－2<0，则f (x)＝f (x－2)＝ex-2，作出函数y＝f (x)和y＝g(x)＝－的函数图象，   f (2)＝f (0)＝f (－2)＝e-2<g(2)＝，f (4)＝f (2)＝e-2>g(4)＝0， 结合图象可知，f (x)和g(x)的函数图象交点个数为3．故选B．] 25 【教用·备选题】 1．已知函数f (x)＝则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 26 C　[画出函数y＝f (x)的图象，如图所示， 将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f (x)的图象交点的个数， 由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f (x)的图象只有一个交点； 当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象有三个交点； 所以直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象不可能 有两个交点． 故选C．] 27 2．已知函数f ＋9的零点的个数为(　　) A．8 B．7 C．5 D．2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 28 B　[根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0， 得f (x)＝1或f (x)＝．作出f (x)的简图， 如图，   由图象可得直线y＝1、y＝与f (x)的图象，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f 2＋9的零点的个数为7．故选B．] 29 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，则a的取值范围为(　　) A．(－1，3] B．[0，3] C．(－1，0] D．(3，＋∞)∪ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 30 A　[若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点， 即函数y＝f (x)与y＝a的图象有3个交点， f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1(x≤0)， 当x＝0时，f (x)＝3，当x＝－2时，f (x)＝－1， 作出函数y＝f (x)的图象如图所示， 结合图象可得－1<a≤3． 故选A．] 31 【教用·备选题】 1．已知函数f (x)＝若函数f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是____________________________；若函数f (x)存在三个零点，则实数a的取值范围是______________． (－∞，－ ，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 32 (－∞，－，＋∞)　[y＝ ⇒当x≤a时，y'＝3－3x2≥0⇒x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减， 解方程3x－x3＝0，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示． 若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式 可知该零点只能为x1＝－，或x2＝－． 33 (i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上； (ii)若零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈， 所以若f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围为(－∞，－) ∪． 若函数f (x)存在三个零点，则零点为x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥．] 34 2．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a．若函数g(x)存在2个零点，则a的取值范围是____________________． [－1，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 35 [－1，＋∞)　[函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程 f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1．] 36 考向2　根据函数零点范围求参数 [典例4]　(1)(2026·辽宁抚顺模拟)函数f (x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A．[－4，1) B．(－4，1] C．[－1，4) D．(－1，4] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 37 (2)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为(　　) A．(2，4) B．(2，5) C．(1，5) D．(1，4) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 38 (1)D　(2)A　[(1)当x∈[1，4)时，由f (x)＝kx－4＋xlog2x＝0，可得k＋log2x－＝0， 令g(x)＝k＋log2x－， 因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)内均单调递增， 故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)内单调递增， 因为函数f (x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点， 所以解得－1<k≤4， 因此，实数k的取值范围是(－1，4]．故选D． 39 由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，则a>1． 故解得2<a<4．故选A．] (2)函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示， 40 名师点评：已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 41 [巩固迁移] 4．(2025·北京昌平区二模)若函数f (x)＝x|x－2a|－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(0，1) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 42 A　[由f (x)＝x|x－2a|－a＝0，得x|x－2a|＝a，当x＝0时，a＝0，此时f (x)＝x|x|只有一个零点，不满足条件．故x＝0不是函数的零点，则由x|x－2a|＝a，得|x－2a|＝， 当a<0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图1， 43 若a<0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点， 则只需要当2a<x<0时，g(x)与h(x)的图象有2个交点， 即方程x－2a＝有两个根， 则x2－2ax－a＝0有两个根即可， 则判别式Δ＝4a2＋4a>0，得a2＋a>0， 得a>0(舍)或a<－1， 当a>0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图2． 44 若a>0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点， 则只需要当0<x<2a时，g(x)与h(x)的图象有2个交点， 即方程－(x－2a)＝有两个根， 则x2－2ax＋a＝0有两个根即可，则判别式Δ＝4a2－4a>0，得a2－a>0，得a>1或a<0(舍)， 综上得，a>1或a<－1．故选A．] 45 5．若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________． 　[依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足 即 解得．] 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 46 【教用·备选题】 (2025·江苏淮安期末)已知f (x)＝1－为奇函数，g(x)＝2x2＋b2x－b． (1)求实数a的值； (2)求函数f (x)的值域； (3)若函数g(f (x))有两个零点，求实数b的取值范围． 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 47 [解]　(1)根据题意，函数f (x)的定义域为R， 因为f (x)为奇函数，所以f (0)＝0，即1－＝0，a＝2， 可得f (x)＝1－，f (－x)＝＝－f (x)，满足条件， 综上所述，实数a的值为2． (2)根据4x>0，可得4x＋1>1，所以0<<1， 可得0<<2，f (x)＝1－∈(－1，1)， 即函数f (x)的值域为(－1，1)． 48 (3)根据y＝4x＋1为R上的增函数，值域为(1，＋∞)， 可得f (x)＝1－为R上的增函数， 令f (x)＝t，则g(t)＝0，由(2)可得t∈(－1，1)时，f (x)＝t仅有一根， 所以g(t)有两个零点，即2t2＋b2t－b＝0在(－1，1)上有两个不相等的实数根， 可得解得0<b<1， 所以实数b的取值范围是(0，1)． 49 一、单项选择题 1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　) A．2 B．(2，0) C．－2 D．2或－1 A　[令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1>1>0，所以x－2＝0，即x＝2．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(十六)　函数的零点与方程的解 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．用二分法求函数f (x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f (1)≈－0.28，f (1.5)≈0.98， f (1.25)≈0.24，f (1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　) A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.187 5) D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.062 5) √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 51 C　[由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→ (1，1.25)→(1.125，1.25)，因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f ＝f (1.187 5)的值．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 52 3．(2025·广东广州一模)函数f (x)＝2x3＋3x－7的一个零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 53 B　[y＝2x3和y＝3x－7都是增函数，所以函数f (x)＝2x3＋3x－7为增函数， 且f (0)＝－7<0，f (1)＝2＋3－7＝－2<0， f (2)＝16＋6－7＝15>0， 则f (1)f (2)<0，所以函数在区间(1，2)存在唯一零点，此函数的零点所在区间为(1，2)．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 54 4．(2025·山西晋城三模)若函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，4) B．(－4，0) C．(0，4) D．(－∞，4) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 55 A　[易知函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内连续且单调递减， 又因为函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点， 所以f (0)f (1)＝(a－1)(a－4)<0， 解得1<a<4，所以实数a的取值范围为(1，4)． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5．(2026·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝ f (x)，则f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 57 C　[由f (x)是定义域为R的奇函数，可得f (0)＝0， 再由f (x＋1)＝f (x)，可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0． 在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－， 得f ， 所以f ＝0，f ＝0，f ＝0，f ＝0， 所以f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为7．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 58 6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 59 B　[令f (x)＝0，则有2x＝－x＋；g(x)＝0，则有lg x＝－x＋；h(x)＝0，则有x3＝－x＋； 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg x，y＝x3及y＝－x＋的图象，如图所示， 由图象可知b>c>a．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 60 7．(2026·浙江绍兴模拟)已知函数f (x)＝x2＋a＋a2－4有唯一零点，则a＝(　　) A．0 B．－2 C．2 D．±2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 61 C　[由题知函数f (x)的定义域为R， f (－x)＝(－x)2＋a|－x|＋a2－4＝x2＋a|x|＋a2－4＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数， 又因为函数f (x)＝x2＋a|x|＋a2－4有唯一零点，根据零点关于y轴对称，得出f (0)＝a2－4＝0，所以a＝±2， 当a＝2时，函数f (x)＝x2＋2|x|＝0有唯一零点，符合题意； 当a＝－2时，函数f (x)＝x2－2|x|＝0有零点0，2，－2，不符合题意，舍去．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 62 8．(2025·广东广州二模)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．(0，4] D．(4，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 63 B　[易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈(0，1]； 当x>0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋， 显然当a≥0时，y' >0恒成立，即y＝x－在(0，＋∞)上单调递增； 当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞， 此时函数f (x)的图象大致如图所示， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 64 若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，即函数f (x)的图象与直线y＝a有两个交点， 由图可知a∈(0，1]； 当a<0时，根据对勾函数性质可知y＝x－，当且仅当x＝时，等号成立， 此时其图象大致如图所示， 显然函数f (x)的图象与直线y＝a没有交点，不合题意． 综上可知，实数a的取值范围是(0，1]．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 65 二、多项选择题 9．已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点 C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 66 BD　[令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a， 利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示， 由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2， 此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误； 当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确； 当f (x)有2个零点时，0<a<1，此时g(x)有4个零点．故C错误，D正确．故选BD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 67 10．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　) A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 68 BC　[对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误； 对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据函数零点存在定理可知，g(x)在(0，1)内存在零点，故B正确； 对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 69 对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x， 令F(x)＝ln x－－x，x>0， 则F'(x)＝＝， 故当x>2时，F'(x)<0，F(x)单调递减， 当0<x<2时，F'(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值， 故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 70 11．(2026·福建福州模拟)已知函数f (x)＝则 (　　) A．直线y＝与f (x)的图象有四个交点 B．f (x)有两个零点 C．直线y＝kx与f (x)的图象至多有两个交点 D．存在两点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)同时在f (x)的图象上 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 71 BD　[画出f (x)的图象，如图， A选项，在同一坐标系内画出f (x)与直线y＝的图象， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 72 可知直线y＝与f (x)的图象有2个交点，A错误； B选项，f (x)有两个零点，即－2和0，B正确； C选项，由图象可得，可能有三个交点，故C错误； D选项，点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)是关于直线x＝－1对称的两点， 因为a>0，b>0，故(a，b)是位于第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 73 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 (－2－a，b)在f (x)＝x2＋2x，x<－2的图象上，要想满足(a，b)同时在f (x)的图象上， 只需g(x)＝x2＋2x，x>0与h(x)＝ex－1，x>0在第一象限内有交点， 因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)>h(1)， 又g(3)＝15，h(3)＝e3－1，故g(3)<h(3)， 两函数均在(0，＋∞)上单调递增，故一定存在x0∈(1，3)，使得g(x0)＝h(x0)，D正确．故选BD．] 74 三、填空题 12．函数f ＝_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 (答案不唯一)　[函数f 的图象在区间(0，2)内连续不断，且“若f 在区间(0，2)内存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f 满足在(0，2)内存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f ．] (答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 75 2　[由f (x)＝0，得ln＝1－x，令g(x)＝ln， 因为g(x)＋g(2－x)＝ln＝ln 1＝0，所以函数g(x)＝ln的图象关于点(1，0)对称， 又因为y＝1－x的图象关于点(1，0)对称， 如图所示，两个函数图象有两个公共点， 横坐标依次为x1，x2，这两个交点关于点(1，0) 对称，所以x1＋x2＝2．] 13．函数f (x)＝ln＋x－1的所有零点之和为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 2 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 76 14．已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(a<b<c)满足 f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＝________；a＋b＋c的取值范围是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 2 [6，7) 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 77 2　 [6，7)　[由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减， 在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0． 由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1<b≤2<4≤c<5， 当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 78 15．关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的所有零点之积为0； 丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．丁 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 79 B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点． 即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确． 由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0， 则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 80 ①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 81 ②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5， 解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意． 综上，甲正确，乙错误．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 82 16．(多选)已知函数f (x)＝＋1的零点个数的说法中正确的是(　　) A．当k>1时，有1个零点 B．当k＝－2时，有3个零点 C．当0<k<1时，有4个零点 D．当k＝－4时，有7个零点 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第16课时　函数的零点与方程的解 83 ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f ＝t，则方程f ＝－1等价于f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝． 对于A，当k>1时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝， 由f 可知，此时只有1个解， 即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 84 对于B，当k＝－2时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝， 由f 可知，此时有3个解， 即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确； 对于C，当0<k<1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 85 对于D，当k＝－4时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f 可知，此时有3个解，由f ＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解， 由f ＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个 解，即函数y＝f ＋1有7个零点， 故D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 86 谢 谢 ！ $