专题1.3 不等式与基本不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式与基本不等式专题，涵盖不等式基本性质、基本不等式、一元二次不等式及恒成立问题三大核心考点，按“性质运用—公式应用—综合求解”的逻辑层次构建知识体系。通过知识点梳理、典型例题精讲、分层随堂演练的教学流程，帮助学生系统掌握比较大小、最值求解、不等式解法等关键方法，突破高考高频难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在基本不等式教学中，通过“一正二定三相等”口诀强化模型意识，结合例1“x>0求x+1/x最小值”引导学生用运算能力分析“定”的条件。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，配合即时方法总结，确保学生在有限时间内高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题1.3 不等式与基本不等式 1.3.1 不等式的基本性质的运用 1.不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a. （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c（不可逆）. （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c（可逆）. （4）可乘性：（注意c的符号）. （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向）. （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd（同向）. （7）可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 2.比较数（式）的大小 （1）作差法比较大小 ①若，则；②若，则；③若，则. （2）作商法比较大小 ①若，则或； ②若，则； ③若，则或）. 例1.若，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 例2.已知，比较与的大小. 例3.已知，，求的取值范围. 1.若，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 2.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.(多选)下列不等式中，推理正确的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若, 则 D.若,则 4.已知，，则的取值范围是 . 5.若，，则与的大小为 . 6.已知，，求的取值范围为 . 7.已知:,则大小关系是 . 8.已知为实数，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则.其中真命题的序号是  . 9.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小． 10.已知，且，比较与的大小. 11.已知，，，求证：. 1.3.2 基本不等式 1.基本不等式 （1）； （2）； ； . 口诀：“一正二定三相等”. 2.均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 则. 3.； 4. . 例1.已知，求的最小值. 例2.已知，求的最大值. 例3.已知，求最小值. 例4.已知，求证：. 例5.已知，求最小值. 例6.若实数满足,则的最小值 . 1.已知，则最小值为 . 2.已知，则最大值为 . 3.已知，则最小值 . 4.，则最大值为 . 5.已知，则最小值为 . 6.已知，则最大值为 ；则最小值为 . 7.已知,则的最小值为 . 8.若实数满足，则的最小值是 ( ) A. 18 B. 6 C. D. 9.设,且,则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 10.已知,且满足,则的最大值为 . 11.设,且,则的最小值是 . 12.已知且,则的最小值为 . 13.设为实数,若,则的最大值是 . 1.3.3 解一元二次不等式及 不等式恒成立问题 知识点梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）： （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 3.不等式恒成立、存在成立问题 （1）恒成立 ①恒成立；②恒成立； ③恒成立；④恒成立. （2）存在成立（有解） ①有解；②有解； ③有解；④有解. 典型例题 例1.解下列不等式： （1）解不等式：. （2）解不等式：. 例2.解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 例3.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 例4.（1）已知函数，恒成立，求实数取值范围. （2）已知函数，有解，求实数的取值范围. 随堂演练 1.解下列不等式： （1）解不等式：. （2）解不等式：. （3）解分式不等式：. 2.（1），若存在使得成立，求实数的取值范 围. （2）已知，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3.. (1)恒成立，求的取值范围； (2)有解，求的取值范围. 4.不等式，①解集为，求；②解集为空集，求. 5.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式ax2+ax﹣6＜0的解集为B． （1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0的解集； （2）∀x∈R，ax2+ax﹣6＜0，求a的取值范围． 7.若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0； （2）若关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，求实数b的取值范围． 8.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； （2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x的取值范围． 9.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解，如果p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围． 10.已知关于x的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}． （1）求实数m、n的值； （2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且恒成立，求实数k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 不等式与基本不等式 1.3.1 不等式的基本性质的运用 1.不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a. （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c（不可逆）. （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c（可逆）. （4）可乘性：（注意c的符号）. （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向）. （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd（同向）. （7）可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 2.比较数（式）的大小 （1）作差法比较大小 ①若，则；②若，则；③若，则. （2）作商法比较大小 ①若，则或； ②若，则； ③若，则或）. 例1.若，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 选项A：当时，，故不一定成立； 选项B：当时，，但，故不一定成立； 选项C：由不等式的可加性，，一定成立； 选项D：当时，，但，故不一定成立. 故选：C. 例2.已知，比较与的大小. 解：作差法：因为，所以，，，故，即. 例3.已知，，求的取值范围. 解：设，则：比较系数得：， 由，得； 由，得； 两式同向相加：，即. 1.若，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 解：选项A：由可乘方性，，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：当时，，故C不一定成立； 选项D：由可乘方性，，故D成立.故选：D. 2.已知，则下列命题为真命题的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解：由，作差：，因为，所以. 若，则，即，故A错误，B正确； 若，则，即，故C、D错误.故选：B. 3.(多选)下列不等式中，推理正确的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若, 则 D.若,则 解：A中,例如,此时,所以A不正确; B中,若 ,则,则 ,所以B不正确;C中,若,则,则,即,所以C正确;D中,若 ,则,由不等式的性质知D正确. 故选：CD. 4.已知，，则的取值范围是 . 解：由，两边同除以正数的倒数，得； 又，由同向同正可乘性，得，即. 故答案为：. 5.若，，则与的大小为 . 解：作差法：因为，所以，，，故差为负，即. 故答案为：. 6.已知，，求的取值范围为 . 解：设，则：比较系数得：， 因此：由，得； 由，两式同向相加：，即. 故答案为：. 7.已知:,则大小关系是 . 解：由，得，，因此. 显然，则. 所以、、大小关系是.故答案： 8.已知为实数，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则.其中真命题的序号是  . 解：①当时，，故①为假命题； ②由，得（否则不等式不成立），两边同除以，得，故②为真命题； ③，两边同乘得；两边同乘得，故，③为真命题； ④，即，④为真命题； ⑤由第16题结论，当时，，故⑤为真命题.故答案为：②③④⑤. 9.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小． 解：(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 10.已知，且，比较与的大小. 解：作差法：因为，所以，，， 故差为正，即. 11.已知，，，求证：. 证明：由，得； 又，故（同向可加性）； 因此（正数同向不等式，倒数后不等号方向改变）； 又，两边同乘负数，不等号方向改变，得，即. 1.3.2 基本不等式 1.基本不等式 （1）； （2）； ； . 口诀：“一正二定三相等”. 2.均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 则. 3.； 4. . 例1.已知，求的最小值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，等号成立. 所以的最小值为12. 例2.已知，求的最大值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，即等号成立.所以的最大值为9. 例3.已知，求最小值. 解：由，且， 则， 当且仅当：，联立，均为正，等号成立. 所以最小值为. 例4.已知，求证：. 证明：∵， ∴， ∴；当且仅当时等号成立. 例5.已知，求最小值. 解：三元均值： 当且仅当等号成立. ∴最小值为6. 例6.若实数满足,则的最小值 . 解: 因为,所以.当且仅当时等号成立.故的最小值为.故答案为：. 1.已知，则最小值为 . 解：∵， 当且仅当时等号成立.所以最小值为.故答案为：. 2.已知，则最大值为 . 解：∵， ∴， 当且仅当时等号成立.所以最大值为. 故答案为：. 3.已知，则最小值 . 解：∵，所以. 当且仅当时等号成立.所以最小值为.故答案为：. 4.，则最大值为 . 解：因为. 三元均值：. 两边立方：. 当且仅当：等号成立. 所以最大值为.故答案为：. 5.已知，则最小值为 . 解：因为 ，当且仅当：等号成立. 所以最小值为.故答案为：. 6.已知，则最大值为 ；则最小值为 . 解：由， 当且仅当，联立时等号成立.故最大值为. ，， 二次函数对称轴代入：，此时， ∴最小值为. 故答案为：；. 7.已知,则的最小值为 . 解:因为,所以, 当且仅当,即时,等号成立.所以的最小值为. 8.若实数满足，则的最小值是 ( ) A. 18 B. 6 C. D. 解：实数满足，则 当且仅当时，取得等号，即的最小值是.故选：. 9.设,且,则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解：方法一：因为 故可设，则: 再根据三角函数最值的求法可直接得到的最小值是. 方法二：由可得 即有当且仅当时,取得等号, 则得到的最小值是.故选: . 10.已知,且满足,则的最大值为 . 解：由基本不等式可知, 又 解得的最大值为3,故选：A. 11.设,且,则的最小值是 . 解：令 ()，则即有 可得 = ≥. 当且仅当，即时取得等号,则的最小值是 故答案为： 12.已知且,则的最小值为 . 解: 由 , 得 , 即 , 所以 , , 所以 , , 当且仅当 , 即 时, 等号成立.故答案为: 8. 13.设为实数,若,则的最大值是 . 解：解法一：因为, 所以. 即.所以, . 即.当 时, . 故的最大值是. 解法二：因为,所以, 即.又因为, 所以.当时, .故的最大值是. 解法三：因为. 当时, .所以, 即. 当 时, ;当时, .故的最大值是. 解法四：设，则，将其代入得. 由题意知方程有解, 所以,即, 当时,,故的最大值是. 解法五：设,则,即,故,所以, 所以, 当,时取等号.故的最大值是 . 解法六：因为, 所以设. 则. 由 得,. 当时取等号, 故的最大值是. 1.3.3 解一元二次不等式及 不等式恒成立问题 知识点梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）： （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 3.不等式恒成立、存在成立问题 （1）恒成立 ①恒成立；②恒成立； ③恒成立；④恒成立. （2）存在成立（有解） ①有解；②有解； ③有解；④有解. 典型例题 例1.解下列不等式： （1）解不等式：. （2）解不等式：. 解：（1）因式分解：， 对应方程两根：， 二次项系数，抛物线开口向上，大于0取两边， 所以不等式的解集为：. （2）不等式两边同乘，不等号变向：， 因式分解：，方程根，开口向上，小于等于0取中间， 所以不等式的解集为：. 例2.解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 解：由题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， 当a＝0时，则﹣2x+2≥0，即x≤1，所以不等式的解集为{x|x≤1}； 当a＞0时，令，解得或x＝1， ①当0＜a＜2时，，不等式的解集为； ②当a＝2时，不等式的解集为R， ③当a＞2时，，不等式的解集为； 当a＜0时，则，不等式的解集为， 综上可得：当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为． 例3.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 解：①即：原式恒成立，符合条件； ②（二次开口向上）：，解得：； ③开口向下，不可能全体实数恒，舍去； 综上所述：实数的取值范围为. 例4.（1）已知函数，恒成立，求实数取值范围. （2）已知函数，有解，求实数的取值范围. 解：（1）函数，对称轴，区间在对称轴右侧，函数单调递增； ∴， 又恒成立，所以， 所以实数取值范围为. （2）函数，开口向下，对称轴，∴， 又∵有解，所以， 所以实数的取值范围为. 随堂演练 1.解下列不等式： （1）解不等式：. （2）解不等式：. （3）解分式不等式：. 解：（1）不等式可化为：，任意实数的平方大于等于0，不可能小于0， 所以不等式的解集为：∅. （2）∵判别式， 又，抛物线开口向上且与轴无交点，函数值全体实数恒大于0， 所以不等式的解集为：R. （3）原不等式等价：，开口向上， 所以不等式的解集为：. 2.（1），若存在使得成立，求实数的取值范 围. （2）已知，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）因为有解， 又因为，对称轴，， 所以，∴实数的取值范围为. （2），对称轴，要时，分3种位置： ①：在对称轴右侧，递增，，故； ②：最小值在顶点，，故； ③：区间在对称轴左侧，递减，，故无解； 综上所述：实数的取值范围. 3.. (1)恒成立，求的取值范围； (2)有解，求的取值范围. 解：，开口向下，对称轴. (1) ①：恒成立，； ②：，得； ③：，无交集； 综上所述：的取值范围为； （2），与(1)互补：的取值范围为. 4.不等式，①解集为，求；②解集为空集，求. 解：因式 ①解集为全体实数：，无实数解：； ②解集为空集，即恒成立，则. 5.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：原不等式可化为：， 令，由对勾函数：（取等）， 所以，所以。故实数的取值范围为. 6.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式ax2+ax﹣6＜0的解集为B． （1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0的解集； （2）∀x∈R，ax2+ax﹣6＜0，求a的取值范围． 解：（1）A＝{x|﹣1＜x＜3}，当a＝1时，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∵不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，∴﹣1，2是方程x2+mx+n＝0的两个根， ∴，解得m＝﹣1，n＝﹣2， ∴﹣x2+x﹣2＜0，∴x2﹣x+2＞0，∴x∈R， 即不等式mx2+x+n＜0的解集为R． （2）当a＝0时，﹣6＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，，∴，解得﹣24＜a＜0， 综上，a的取值范围是（﹣24，0]． 7.若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0； （2）若关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，求实数b的取值范围． 解：（1）由题意知，﹣3，1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两个根， 则，则a＝3， 则不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x， 所以解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）； （2）因为关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，由（1）a＝3， 所以关于x的不等式bx2+3bx+3＞0的解集为R， 所以当b＝0时，3＞0解集为R，符合题意； 当b≠0时，，所以； 所以实数b的取值范围是． 8.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； （2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x的取值范围． 解：（1）因为∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0， ①当a＝0时，不等式1＞0对∀x∈R成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立， 则，解得0＜a＜4，综上，实数a的取值范围[0，4）． （2）∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0， 即∃a∈[﹣2，﹣1]，， 所以，而在x∈[﹣2，﹣1]上单调递增， 所以x2﹣x＜1，解得， 故实数x的取值范围． 9.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解，如果p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围． 解：（1）因为命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立， 所以Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2， 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）； （2）因为命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解， 即在x∈[0，3]上能成立，令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4] 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果p是假命题，则﹣2＜a＜2；如果q是真命题，则； 所以﹣2＜a＜2，即实数a的取值范围（﹣2，2）． 10.已知关于x的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}． （1）求实数m、n的值； （2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且恒成立，求实数k的取值范围． 解：（1）根据不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，所以1和4是对应方程的解， 由根与系数的关系知，，解得m＝1、n＝5； （2）由a＞0，b＞0，a+5b＝1，所以()（a+5b）＝1010+220， 当且仅当且a+5b＝1，即a且b时取等号， 所以不等式3k2﹣4k恒成立，即20≥3k2﹣4k， 所以3k2﹣4k﹣20≤0，解得﹣2≤k， 所以实数k的取值范围是{k|﹣2≤k}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $