微专题12 统计与概率的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦统计与概率综合问题，覆盖频率分布直方图、回归分析、独立性检验等核心考点，对接高考评价体系，通过模拟题分析各考点权重，归纳分层抽样、超几何分布、二项分布等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+模型构建+素养提升”策略，如例1结合频率分布直方图求均值及超几何分布列，培养数据观念和模型观念，学霸笔记总结图表识读、概率模型构建技巧，助力学生掌握答题方法，教师可据此系统复习，提升备考效率。

微专题12　统计与概率的综合问题 1 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　统计图表与概率的综合问题 例1 (2026·潍坊模拟)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． 2 (1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数) (3)从成绩位于区间[80，90)和[90，100]的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在[90，100]的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 3 解析：(1)由题意10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030， 则平均分＝45×0.005×10＋55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝74，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． (2)成绩在[90，100]的频率为0.1， 在[80，90)的频率为0.25，在[70，80)的频率为0.3， 因为0.1＋0.25＝0.35，0.1＋0.25＋0.3＝0.65， 所以选报物理方向的最低分x在[70，80)内，则(80－x)×0.03＋0.25＋0.1＝0.6，解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． 4 (3)由题可知，成绩在区间[80，90)的频数为100×0.025×10＝25， 成绩在区间[90，100]的频数为100×0.010×10＝10， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在[80，90)的频数为25×＝5， 成绩在[90，100]的频数为10×＝2， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， 5 故X的分布列为 所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. X 0 1 2 P 6 学霸笔记：(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据． (2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等). (3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断． 7 跟踪训练　某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1 000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． 8 (1)估计这1 000次试验中该AI模型正确识别图象数量的均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用X表示这4次试验中正确识别图象数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望． 9 解析：(1)0.01×10×5＋0.02×10×15＋0.015×10×25＋0.03×10×35＋0.025×10×45＝29，故均值为29. (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20个的概率为p， 则p＝0.015×10＋0.03×10＋0.025×10＝0.7， 则X～B(4，0.7)，X＝0，1，2，3，4， P(X＝0)＝×0.70×0.34＝0.008 1； 10 P(X＝1)＝×0.71×0.33＝0.075 6；P(X＝2)＝×0.72×0.32＝0.264 6； P(X＝3)＝×0.73×0.31＝0.411 6；P(X＝4)＝×0.74×0.30＝0.240 1. 列出X的分布列如下 E(X)＝4×0.7＝2.8. X 0 1 2 3 4 P 0.008 1 0.075 6 0.264 6 0.411 6 0.240 1 11 视角二　回归分析与概率的综合问题 例2 (2026·西安模拟)当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡x 1 2 3 4 5 6 平均过关时间y(单位：秒) 50 78 124 121 137 352 12 (1)若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为p，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为f(p)，求f(p)的最大值，并求出相应的概率p0. 13 14 15 16 学霸笔记： (1)此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等． (2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题，求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的． (3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型． 17 跟踪训练　(2026·沧州模拟)粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用．以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 18 (1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相关系数(精确到0.01)； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望． 19 20 故样本相关系数 21 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. X 0 1 2 P 22 视角三　独立性检验与概率综合问题 例3 (2026·深圳模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据：   不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 23 (1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ (2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为X，求X的分布列和期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 24 25 E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝1.2. X 0 1 2 P 26 学霸笔记：此类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决此类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解． 27 跟踪训练　(2026·郑州模拟)已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示．   是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150   200 周平均服务时长不超过2小时       总计 200   300 28 (1)请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (2)由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍的样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为X，求X的分布列和数学期望． 29 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 30 　解析：(1)由题可得如下2×2列联表：   是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 50 200 周平均服务时长不超过2小时 50 50 100 总计 200 100 300 31 设零假设H0：“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关， 可得χ2＝＝18.75>10.828， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为H0不成立， 即认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关． 32 X～B(3，)，则数学期望E(X)＝3×＝. X 0 1 2 3 P 33 1．(13分)某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，按区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. 34 (1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)现将[50，60)和[90，100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”．若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内．记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X＝2的概率和X的数学期望． 35 解析：(1)由题意，得(0.005＋a＋0.045＋0.015＋0.01)×10＝1，解得a＝0.025.参加测试的职工的平均成绩估计为55×0.05＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.1＝75. (2)在[90，100]内的频率为0.01×10＝0.1，由题意得总人数为＝60， 所以在[50，60)内的人数为60×0.05＝3. 每次抽取取得“黄金搭档组”的概率p＝，因此X～， P(X＝2)＝2×2＝，X的数学期望E(X)＝np＝4×＝2. 36 2．(15分)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 37 (1)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 38 解析：(1)零假设H0：愿意参与数学建模竞赛与性别无关． χ2＝≈1.01<3.841. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们没有充分的证据推断H0不成立， 即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关． 39 (2)根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为. 因此选出11人中，男生人数为11×＝6人，女生人数为11×＝5人． 由题意可知：X＝0，1，2，3，X服从超几何分布，P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， 40 所以这3人中女生人数X的概率分布列为 E(X)＝. X 0 1 2 3 P 41 3．(15分)全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收． 42 (1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率． ①在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率； ②在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率(精确到0.000 1)； 43 (2)该县经济委员会统计了某6至12月这7个月的月广告投入x(单位：万元)；月销量y(单位：万件)的数据如表所示： 请根据相关系数r说明相关关系的强弱．(若|r|≥0.75，则认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001) 参考数据： xiyi＝1 354， (yi－)2＝820，≈37.88. 参考公式：相关系数r＝ ． 月广告投入x/万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量y/万件 28 32 35 45 49 52 60 44 解析：(1)设事件B＝“抽取的是男性客户”，A1＝“青年客户”， A2＝“中年客户”，A3＝“老年客户”，依题设P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.50，P(A3)＝0.35， P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.35，P(B|A3)＝0.55， ①由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.15×0.2＋0.5×0.35＋0.35×0.55＝0.397 5； ②P(A2|B)＝≈0.440 3. 45 (2)由题意，知＝43， 所以2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， 又2＝820，所以相关系数 ≈0.990>0.75， 显然y与x的线性相关程度相当高． 46 4.(17分)(2026·沧州模拟)“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 47 (1)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得－10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为3,5，1,2． 48 (ⅰ)求比赛结束后甲获胜的概率； (ⅱ)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 49 解析：(1)零假设为H0：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得χ2＝≈4.604<6.635， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关． 50 (2)(ⅰ)当甲，乙同时回答第i(i＝1，2，3)道题时，甲得分为Xi， P(Xi＝10)＝， P(Xi＝0)＝， P(Xi＝－10)＝， 比赛结束甲获胜时的得分X可能的取值为10，20，30， 51 则P(X＝30)＝3＝， P(X＝20)＝2＝， P(X＝10)＝2＋2＝， 所以比赛结束后甲获胜的概率P＝P(X＝30)＋P(X＝20)＋P(X＝10)＝； 52 (ⅱ)设A＝“比赛结束后甲获胜”，B＝“比赛结束时乙恰好答对一道题”， P(AB)＝2＋2＝， 则P(B|A)＝， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 53 P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝. 计算得到一些统计量的值为：i＝28.5，iui＝106.05，其中，ui＝ln yi. 参考公式：对于一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解析：(1)因为y＝aebx两边取对数可得ln y＝ln (aebx)＝ln a＋ln ebx，即ln y＝ln a＋bx，令ui＝ln yi，所以u＝bx＋ln a，由＝i＝4.75，＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5， ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 所以＝＝＝0.36， 又＝＋ln a，即4.75＝0.36×3.5＋ln a，所以ln a＝3.49，所以a＝e3.49. 所以y关于x的经验回归方程为y＝e0.36x＋3.49. (2)甲每局比赛获胜的概率为p，则甲每局比赛失败的概率为1－p， 依题意可得f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2(0<p<1)， 则f′(p)＝10[3p2(1－p)2－2p3(1－p)]＝10p2(1－p)(3－5p)， 所以当0<p<时f′(p)>0，当<p<1时f′(p)<0， 所以f(p)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减， 所以f(p)max＝f()＝10×()3×(1－)2＝，此时p0＝. 现规定xi表示第i年的年份，yi表示第i年的产量，经计算得i＝68.5，iyi＝206.6，(y－2)＝0.2. 附：样本相关系数r＝，≈1.414. 解析：(1)＝i＝3，＝1＋4＋9＋16＋25＝55， (2)X的取值可以为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 于是X的分布列为 解析：(1)零假设为H0：性别因素与锻炼的经常性无关， 因为χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，所以n＝80，a＝10，b＝30，c＝20，d＝20，则ad－bc＝10×20－30×20＝－400，则(ad－bc)2＝160 000， a＋b＝40，c＋d＝40，a＋c＝30，b＋d＝50，所以(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝40×40×30×50＝2 400 000，则χ2＝＝≈5.333， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验为6.635，由χ2≈5.333<6.635， 因此可以认为H0成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系． (2)经常锻炼的学生为50人(男生30人，女生20人)，按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人． 则X的可能取值为0，1，2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 (2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从全省的志愿者队伍中随机抽取一位志愿者，取到周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的志愿者的概率为， 故P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝. 故X的分布列为 $