精品解析：安徽合肥市第九中学2025-2026学年第二学期高考数学“最后一卷”

合肥九中2025-2026学年第二学期高考“最后一卷” 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题仅有1个正确选项） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 设，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ） A. 3万片 B. 4万片 C. 5万片 D. 6万片 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 48 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分；全部选对得5分，部分选对得2分，错选0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归，若，则 B. 一组数据9，8，11，12，10的第80百分位数是 C. 在列联表中，若每个数据，，，均变为原来 2倍，则不变（ ，其中） D. 已知，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共15分） 12. 已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 13. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，一质点从原点 O出发，沿 x轴每次等可能地向左或向右移动1个单位，移动2次后停留在A点，之后质点沿轴方向移动，每次等可能的向上或向下移动1个单位，移动2次后停留在B点，记随机变量表示点B到直线的距离，则 ______. 四、解答题（共5小题，77分，请写规范解答过程） 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 16. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 17. 如图，已知梯形中，，，， 点E是中点；将沿折起到的位置 （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求二面角正弦值. 18. 已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 19. （1）求函数在上的最值. （2）证明：，， . （3）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥九中2025-2026学年第二学期高考“最后一卷” 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每题仅有1个正确选项） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数有意义，即,则， 又因的值域为,则，故. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以的虚部为． 3. 设，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先把三项式整体看成二项式，利用二项式通项找到含的项，再对用二项式通项找到含的项，最后将两部分系数相乘，即得的系数． 【详解】先将看成， 根据二项式定理，其展开式的通项为， 含有的项为， 的展开式的通项为， 含有的项为， 所以的项的系数． 5. 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ） A. 3万片 B. 4万片 C. 5万片 D. 6万片 【答案】B 【解析】 【详解】，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，正态曲线关于直线对称， 又，所以，解得. 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质、椭圆定义、基本不等式与离心率定义计算即可得. 【详解】由，，成等差数列，则， 由椭圆定义可得，又， 则，即， 又，即，则， 当且仅当时，等号成立， 故椭圆离心率的最大值为. 故选：D. 8. 将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数平移变换得的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解； 【详解】函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得， 再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象，所以， 当时，， 要使函数在上有最小值，没有最大值， 则，解得， 所以的取值范围是. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分；全部选对得5分，部分选对得2分，错选0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归，若，则 B. 一组数据9，8，11，12，10的第80百分位数是 C. 在列联表中，若每个数据，，，均变为原来 2倍，则不变（ ，其中） D. 已知，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，，代入，得：，解得：，所以A选项正确； B选项，将5个数据从小到大顺序排列为：8，9，10，11，12，因为， 所以第80百分位数是第4个数和第5个数的平均数，即：，所以B选项正确； C选项，若每个数据，，，均变为原来 2倍， 则，所以C选项错误； D选项，，所以， 所以，所以，所以D选项正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，解不等式即得的定义域；选项B，利用偶函数的定义求解；选项C，利用导数求解；选项D，根据的定义域，当，讨论时的情况即可，设，求出是偶函数，分别按照，，这三种情况讨论求解，用导数的单调性和零点存在性定理即可得到结论.当且时，，利用偶函数的性质得解. 【详解】选项A，，， 故的定义域为，故选项A错误； 选项B，，， 故选项B正确； 选项C，，， ， 故在上是单调递减函数，故选项C错误； 选项D，的定义域为， 当时，， 设，则， 故是偶函数， 当时，设， ， 则在上单调递减， ， 当时，，故存在，使得， 故有1个零点， 当时，，此时无零点， 当时，根据偶函数的性质得到有1个零点， 当时，因为是偶函数，只需考虑且的情况， 当时，，此时无零点， 根据偶函数的性质，当时，无零点， 综上可知，有且仅有2个零点，故选项D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系：设 ，得. 选项A，设，， 设平面的一个法向量，则， 令，可得，即， 若平面，则，即， 超出棱范围，A错误. 选项B，在上，满足， 则： 二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确. 选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为： 上底长，下底长，梯形高， 面积，C正确. 选项D,正方体外接球球心为，半径. 正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离. 对任意过的截面，设到的距离为， 由几何关系：，是到截面的垂线段长度， 满足（为与平面法向量的夹角，范围）. 因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，， 则，截面最小半径满足， 最小面积，D正确. 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共15分） 12. 已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 【答案】21 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 13. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，则，则，， 即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切， 则有，解得或 14. 在平面直角坐标系中，一质点从原点 O出发，沿 x轴每次等可能地向左或向右移动1个单位，移动2次后停留在A点，之后质点沿轴方向移动，每次等可能的向上或向下移动1个单位，移动2次后停留在B点，记随机变量表示点B到直线的距离，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出点坐标所对应概率，利用点到直线距离求出的值，结合期望公式求解即可. 【详解】设点的横坐标为，则可能取值为：， ，，， 点的纵坐标为，则可能取值为：， ，，， 设点的坐标为， 所以，此时 ，此时， ，此时， ，此时 ，此时， ，此时， ，此时 ，此时， ，此时， 综上， 所以 四、解答题（共5小题，77分，请写规范解答过程） 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【小问1详解】 由 ， 则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 16. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式得甲笔试满分的概率，列方程求解；（2）甲至少答对3道题才能够进入面试，列出所有可能求出甲能够进入面试的概率表达式，利用均值不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 17. 如图，已知梯形中，，，， 点E是中点；将沿折起到的位置 （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求二面角正弦值. 【答案】（1）因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． 因为,所以平面． 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点. （i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值； （ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出双曲线渐近线，求出交点，坐标，结合，从而求出抛物线方程. （2）（i）设出直线，联立抛物线，根据题干信息结合韦达定理得到，再根据中点坐标公式表示点坐标，再利用换元的方式将问题转化为，借助对勾函数的图象和性质求出最终答案. （ii）根据抛物线的焦半径特点求出，从而得，当时，利用放缩法得，从而证得，当时，易得也成立. 【小问1详解】 双曲线中，​，渐近线方程为， 联立渐近线与抛物线， 将代入抛物线得对应交点为， 则​，解得， 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线，联立得，则， 弦长，故，  中点到轴距离为，代入得 ， 令，则，根据对勾函数图象和性质可知函数在上函数单调递增， 最小值为​，故到轴距离的最小值为. （ii）因为， 所以. 当时，， 所以 ，即； 当时，， 即成立. 19. （1）求函数在上的最值. （2）证明：，， . （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最大值为，最小值为. （2） . 因为，所以由（1）可知， ， 则 . 又，，，所以 ， 则， ，，. （3） 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性，利用导数符号判断函数在区间上的最值点. （2）将目标式展开为三角函数形式，利用第一问结论建立不等式关系，结合三角恒等变换完成证明. （3）通过构造函数并利用端点值分析的必要条件，再通过构造辅助函数证明充分性，最终确定的唯一值. 【详解】（1）由 ，得 . 令 ，则. 因为，所以，，则在上恒成立， 则在上单调递减. 又，所以，即在上恒成立， 则在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为. （2）略； （3），. 令， 则， . 若，则，根据函数零点存在定理可知， ，，不符合题意，故. 同理可得，. 令，则， ， 若，则， 根据函数零点存在定理可知，， ，不符合题意，故. 综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立， 即，. 对于左侧不等式， 由，可得，且， 则由（2）可得， 不等式成立. 对于右侧不等式， 设常数，令，， 则. 令， 则. 由，，可得，， 则，从而在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 则在上单调递增，所以. 令，，满足，代入， 即可得，不等式成立. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $