解三角形期末备考训练05——解三角形中的外接圆问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材习题为起点，通过正弦定理及变形系统构建解三角形外接圆问题的方法体系，逻辑链清晰，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|1（必修二习题6.4第17题）|证明外接圆半径与边长关系|从教材基础引入核心原理| |知识梳理|5（正弦定理变形）|正弦定理及5种变形（含a=2RsinA等）|概念生成→定理推导→变形拓展| |跟踪训练|15（单选6/多选3/填空2/解答4）|外接圆半径相关计算与证明|基础计算→综合应用→拓展探究|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考05 测试范围：解三角形中的外接圆问题 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第17题】证明：设三角形的外接圆的半径是R，则. 【分析】若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中可证明；若A是直角，可直接得；若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中可证明． 【详解】证明：（1）若A为锐角（如图①所示），作直径，连接，则，在中，，即. （2）若A是直角（如图②所示），在中，可直接得; （3）若A为钝角（如图③所示），作直径，连接，则，在中，，即.由（1）（2）（3）得.同理可证，. 【知识梳理】 1、正弦定理： （1） 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等； （2） 符号语言：=； 2、正弦定理的常见变形 （1）（R为外接圆的半径）． （2）（R为外接圆的半径）． （3）三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即． （4）． （5）． 【跟踪训练】 一、单选题 1．已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的内角的对边分别为，不妨设，由余弦定理可得，因为，所以，由正弦定理得的外接圆直径，即，所以的外接圆面积为． 2．的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得，又因，得，所以，所以，由余弦定理得， 由正弦定理得，所以，所以圆的面积.故选：C 3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径. 【详解】由得，，即，可得.又因为，可得．又已知，， 由余弦定理得，解得. 则外接圆直径.故选：D. 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（    ） A．24 B．25 C．27 D．28 【答案】D 【分析】根的外接圆面积为可得的外接圆半径，再根据，结合正弦定理化简可得，再根据面积公式求解即可. 【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.故选：D 5．在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为，所以由正弦定理得 ，又在中，，， ，，的外接圆直径为，.故选：B. 6．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径，外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理,，，， 即，，，即，，，，则，，.故选：B 二、多选题 7．如图所示，在中，、是边上两点，连接、，若，、、的外接圆直径分别为、、，则下列不等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】解；∵，∴，∴， 又∵，，，所以，故选：AC. 8．在中，已知，，的外接圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设的外接圆半径为，根据条件求得，再结合和正弦定理得到，即可求解. 【详解】设的外接圆半径为，则，解得； 在中，由正弦定理得：，又，则， 再由正弦定理得：，因为，所以，则或， 故选：AD. 9．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为8 C．的外接圆直径是 D．内切圆半径是 【答案】ABD 【分析】利用余弦二倍角公式得，即可得，再利用余弦定理求，正弦定理求的外接圆直径，利用三角形面积公式求面积和内切圆半径. 【详解】由二倍角公式，可得，因为，所以，由余弦定理有，解得，故A正确；三角形的面积，故B正确；的外接圆直径是，故C错误；设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积，解得，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 10．锐角的外接圆圆心为О，半径为2，，则______. 【答案】2 【分析】现根据正弦定理求得，进而结合外心的性质求解即可. 【详解】由正弦定理得，，设中点为，连接，，，因为点为锐角的外接圆圆心，所以，即，所以. 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ，∴. ，.设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即.∴外接圆面积为. 四、解答题 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．若，． (1)求； (2)若点D在的外接圆上，且，求AD的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求得，然后求得，进而求得. （2）先求得，然后利用正弦定理求得. 【详解】（1）由余弦定理得，整理得， 解得（负根舍去）.所以，所以为锐角，. （2），所以为钝角，所以为锐角， 则，在中，由正弦定理得，.    13．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】(1)；(2)18 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【详解】（1），， ，， ． （2）设外接圆的半径为，由， 得， 因为，解得，  ， 所以，    又，所以49= ， 故， 所以. 14．中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得，得到，即可求解； （2）设，得到，得到，得出，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 整理得，可得，又因为，可得. （2）由圆内接四边形性质，可得，设，则， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为，可得，可得，所以的取值范围为. 15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求角取何值时，有最小值，并求出最小值. 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式与内角和定理可得； （2）由正弦定理得，化边为角化简可得，由锐角三角形得的范围，再利用基本不等式求最值可得. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以，又，，，又，故； （2）由正弦定理可知，故，且， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 令，由基本不等式可知， 当且仅当时，，即最小值为； 故当时，有最小值，最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考05 测试范围：解三角形中的外接圆问题 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第17题】证明：设三角形的外接圆的半径是R，则. 【知识梳理】 1、正弦定理： （1） 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等； （2） 符号语言：=； 2、正弦定理的常见变形 （1）（R为外接圆的半径）． （2）（R为外接圆的半径）． （3）三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即． （4）． （5）． 【跟踪训练】 一、单选题 1．已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 2．的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（    ） A．24 B．25 C．27 D．28 5．在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 6．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 7．如图所示，在中，、是边上两点，连接、，若，、、的外接圆直径分别为、、，则下列不等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 8．在中，已知，，的外接圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为8 C．的外接圆直径是 D．内切圆半径是 三、填空题 10．锐角的外接圆圆心为О，半径为2，，则______. 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 四、解答题 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．若，． (1)求； (2)若点D在的外接圆上，且，求AD的长． 13．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 14．中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求角取何值时，有最小值，并求出最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $