第01讲 正数与负数（暑假预习讲义） 2026--2027学年沪教版六年级数学上册

沪教版 六上自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 第01讲 正数与负数 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 自然数、整数、分数 题型2 正数、负数的意义 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的意义 题型5 有理数的分类 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 知识点讲解 1. 自然数 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 【易错提醒】 分数（）可以看作两个整数相除()，其中b和a必须是整数。“”虽有分数的“外形”但因为不是整数，所以 不属于分数。 3. 相反意义的量 生活中有许多相反意义的量，如零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。 4 正、负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，如在零上温度前面添上符号“+”（读作“正”），这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，前面添上负号“-”（读作“负”）来表示，这样的数就叫作负数。 5. 零的意义、非负数 0既不是正数，也不是负数；0和正数统称非负数。 6. 有理数的意义 正整数、负整数、0都是整数；正分数、负分数都是分数。 所有整数都可以写成分母为1的分数。 能够写成分数形式的数叫作有理数。 7. 有理数的分类 【易错提醒】 无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数。譬如：“”、“1.010010001……（每两个1之间的0逐次多1个）” 题型归纳 【题型1】自然数、整数、分数 【例1】把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 【详解】解： （1）=0.25 ； （2） （3） （4） =0.333……； （5） （6） 【例2】把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 【详解】解： （1）0.2=； （2） （3）0.0125= （4）0.= 【技巧归纳】 1. 分母只含有因数2和5的分数一定可以化为有限小数，否则只能化为无限循环小数； 分母为n的分数化为循环小数时，循环位数最多是（n-1）位。 2. 有限小数和无限循环小数一定可以化为分数. 【变式练习】 1．把，，按从小到大的顺序排列，并用“”符号连接：___________． 【分析】先把分数和百分数化为小数，再比较大小即可. 【详解】解：，， ∵， ∴. 2．把下列小数化成分数． 0.12，0.076，1.35，2.02． 【分析】把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， ． 3．读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：2、、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，属于标号与排序的数字2； （2）解：按整数和分数分类：整数有2、、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 【题型2】 正数、负数的意义 【例1】把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【详解】解：负数：{②⑦}； 整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 【例2】（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为______． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为_____． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作_____． 【详解】解：（1）具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉，应记为， 故答案为：． （2）∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：． （3）∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 【变式练习】 1．如果规定向东为正，那么走米表示______． 【详解】解：如果规定向东为正，那么米表示向西走8米． 故答案为：向西走8米． 2．如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【详解】解：股票价格上涨元记作元，那么下跌元应记作元， 故答案为：． 3．把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________……} (2)正分数集合{________________________……} (3)非负整数集合{________________________……} 【详解】（1）解：负数集合{……}； （2）解：正分数集合{0.81，，3.14……}； （3）解：非负整数集合{15，171，0……}． 4．把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 【详解】解：负数是小于零的数； 整数包括正整数、负整数、零； 分数包括正分数、负分数； 非负数包括零和正数； 故答案为：负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 【题型3】 正数、负数的实际应用 【例1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 【例2】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【详解】（1）解：3号篮球最接近标准质量． （2）解：结果为的篮球的质量好一些． 【变式练习】 1．某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【答案】这袋面粉的质量合格，理由见详解 【分析】本题考查了正负数的应用，先理解题意，算出，，结合，故这袋面粉的质量合格． 【详解】解：这袋面粉的质量合格，理由如下： ∵只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的． 即，， ∵， ∴这袋面粉的质量合格． 2．10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【详解】（1）解：∵50+4=54，50-5=45 ∴质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：50×10（千克）， 答：这10袋小麦总质量是500千克． 【题型4】 有理数的意义 【例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 【例2】在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，逐一判断每个数是否属于有理数即可． 【详解】解：∵是无限不循环小数，不是有理数； 0，， ， ，都是有理数， ∴有理数有5个． 故选：C． 【变式练习】 1．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 2．在，这些数中，有理数有__________个． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 3．下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 【题型5】 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【详解】解：非负整数：{0，+5} 负分数：{，，} 负有理数：{，，，} 【易错点拨】 1. 非负整数是指0和正整数； 2. 负分数一定属于负有理数，但负有理数不一定是负分数。 【例2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 【详解】解： √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 【变式练习】 1. 把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 2．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 一、单选题过关练习 1．下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反意义的量的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据“零上”与“零下”是具有相反意义的量进一步得出答案即可． 【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作， 故选：B． 3．某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确； 水位为时，记作，故B选项说法正确； 表示达到警戒水位，故C选项说法正确； 表示水位为8.5m，故D选项说法不正确； 故选：D． 4．某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作（　　） A．升 B．+1200升 C．升 D．1500升 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． 【详解】解：因为吐出与吸入具有相反意义， 所以某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作“+1200升”， 故选：B． 5．在，，0，，，14，，这些数中，其中负分数的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，关键是熟悉负分数的定义．根据负分数的定义求解即可． 【详解】解：这些数中，，是负分数，共2个， 故选：． 6．在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握非负数的定义是解题关键； 非负数包括正数和零，因此需要找出所有大于或等于零的数． 【详解】解：∵ 非负数是正数或零， ∴ 在给定有理数中，非负数的有：（正数）、（正数）、（正数）、（零），共个； 其他数（、、、）均为负数， ∴非负数有个， 故答案为：B． 二、填空题 7．能够写成分数（，是整数，）的数叫做______． 【答案】有理数 【分析】此题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，而整数和分数都可以写出分数（，是整数，）的形式，据此可得答案． 【详解】解：能够写成分数（，是整数，）的数叫做有理数， 故答案为：有理数． 8．小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为______元． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为元． 故答案为：． 9．如果元表示支出100元，那么收入150元表示______． 【答案】元 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵元表示支出100元， ∴150元表示元． 故答案为：元． 10．如果向东走为正，则向西走10米记作：______米． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的意义， 根据向东走记作“”，可知向西走记作“”，即可得出答案． 【详解】解：因为向东走记作“”， 所以向西走10米记作米． 故答案为：． 11．潜水艇上浮50米，记作米，下潜120米应记作_____米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，确定相反意义的量是解题关键．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：潜水艇向上浮50米记为米，则向下潜120米记为米， 故答案为：． 12．在，25，0，，中，非负数是_______． 【答案】25，0， 【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答． 【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02． 故答案为：25，0，0.02． 13．微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 【答案】元 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若二维码收款用“”表示，那么向商家付款就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作元， 故答案为：元． 14．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为___________． 【答案】零下 【分析】本题考查正数，负数的应用，解题的关键是正确理解正负数的意义，即可． 【详解】解：∵气温为零上记作， ∴表示气温为零下． 故答案为：零下． 15．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 16．在，，，，，中自然数是______． 【答案】，， 【分析】本题考查了自然数的定义，根据自然数是从开始的整数，即可求解． 【详解】解：根据自然数是从开始的整数可知，，，是自然数． 故答案为：，，． 17．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 18．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 三、解答题 19．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？ ，，54，0，，， 【答案】正数：，54，；负数：，，；既不是正数也不是负数：0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数和0的定义是解题的关键．根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数即可解答． 【详解】解：正数：、54、； 负数：、、； 既不是正数也不是负数：0． 20．如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 【答案】向西走5米记作米，原地不动记作0米 【分析】本题考查正负数的实际应用，具有相反意义的量，0的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键．向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示．原地不动记作0米． 【详解】解：题目中规定向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示， ∴向西走5米记作米； 原地不动没有移动距离，根据0的意义，记作0米． 21．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据正数的定义、分数的定义、整数的定义、负有理数的定义作答即可． 【详解】解：如图： 22．把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【答案】25，4.7，，；，，，；25；；25，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正有理数集合{25，4.7，，，…}； 负有理数集合{，，，，…}； 正整数集合{25，…}； 负整数集合{，…}； 整数集合{25，，0，…}． 23．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 【分析】（1）根据整数的定义进行分析，即可； （2）根据分数的定义进行分析，即可； （3）根据非正数的定义进行分析，即可； （4）根据负数，有理数的定义进行分析，即可； （5）根据自然数的定义进行分析，即可． 【详解】（1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）非正数集合：； （4）负有理数集合：； （5）自然数集合：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的分类． 24．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 六上自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 第01讲 正数与负数 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 自然数、整数、分数 题型2 正数、负数的意义 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的意义 题型5 有理数的分类 1. 回顾自然数、分数的意义与应用，了解数的发展历程。 2. 理解负数产生的实际背景，掌握正数、负数的概念及表示方法。 3. 能正确用正、负数表示具有相反意义的量，区分 0 的特殊意义。 4. 明确有理数的定义，会对有理数进行分类。 知识点讲解 1. 自然数 像0、1、2、3、……这种表示计数个数或顺序的数叫作自然数。自然数的产生是源于： （1）计数的需要； （2）排序的需要； 2. 分数、小数 （1）分数和小数的产生是源于：测量、分配的需要； （2）分数与整数的关系 分数可以看作两个整数相除，例如； （3）分数与小数的关系 分数都可以化成有限小数或无限循环小数； 反之，有限小数、无限循环小数都可以化成分数； 分数（）可以看作两个整数相除()，其中b和a必须是整数。“”虽有分数的“外形”但因为不是整数，所以 不属于分数。 3. 相反意义的量 生活中有许多相反意义的量，如零上温度与零下温度；高于海平面与低于海平面；向东行走与向西行走。 4 正、负数的产生 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，如在零上温度前面添上符号“+”（读作“正”），这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写)。 把另一种与之意义相反的量规定为负，前面添上负号“-”（读作“负”）来表示，这样的数就叫作负数。 5. 零的意义、非负数 0既不是正数，也不是负数；0和正数统称非负数。 6. 有理数的意义 正整数、负整数、0都是整数；正分数、负分数都是分数。 所有整数都可以写成分母为1的分数。 能够写成分数形式的数叫作有理数。 7. 有理数的分类 无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数。譬如：“”、“1.010010001……（每两个1之间的0逐次多1个）” 题型归纳 【题型1】自然数、整数、分数 【例1】把下列分数化为小数 （1） ； （2） （3） （4） ； （5） （6） 【例2】把下列小数化为分数 （1）0.2； （2） （3）0.0125 （4）0. 【技巧归纳】 1. 分母只含有因数2和5的分数一定可以化为有限小数，否则只能化为无限循环小数； 分母为n的分数化为循环小数时，循环位数最多是（n-1）位。 2. 有限小数和无限循环小数一定可以化为分数. 【变式练习】 1．把，，按从小到大的顺序排列，并用“”符号连接：___________． 2．把下列小数化成分数． 0.12，0.076，1.35，2.02． 3．读完下面这段话，回答问题 六年级（2）班的教室长，宽，讲台长，宽，班级有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【题型2】 正数、负数的意义 【例1】把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【例2】（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为______． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为_____． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作_____． 【变式练习】 1．如果规定向东为正，那么走米表示______． 2．如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 3．把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________……} (2)正分数集合{________________________……} (3)非负整数集合{________________________……} 4．把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 【题型3】 正数、负数的实际应用 【例1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 【例2】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式练习】 1．某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 2．10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【题型4】 有理数的意义 【例1】在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式练习】 1．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．在，这些数中，有理数有__________个． 3．下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【题型5】 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非负整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【易错点拨】 1. 非负整数是指0和正整数； 2. 负分数一定属于负有理数，但负有理数不一定是负分数。 【例2】判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 【变式练习】 1. 把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 2．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 一、单选题过关练习 1．下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 2．冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（   ） A． B． C． D． 3．某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 4．某机器吐出1500升空气记作“升”，则其吸入1200升空气记作（　　） A．升 B．+1200升 C．升 D．1500升 5．在，，0，，，14，，这些数中，其中负分数的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在有理数、、、、、、、中，非负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．能够写成分数（，是整数，）的数叫做______． 8．小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为______元． 9．如果元表示支出100元，那么收入150元表示______． 10．如果向东走为正，则向西走10米记作：______米． 11．潜水艇上浮50米，记作米，下潜120米应记作_____米． 12．在，25，0，，中，非负数是_______． 13．微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 14．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为___________． 15．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有________个． 16．在，，，，，中自然数是______． 17．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是______． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 18．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 三、解答题 19．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？ ，，54，0，，， 20．如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 21．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 22．把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 23．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 24．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $