8.2.1随机变量及其分布列分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以“概念巩固-综合应用-拓展探究”为路径，覆盖随机变量及其分布列核心知识，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|随机变量概念、分布列性质|多选题辨析概念（1-2题），基础计算巩固分布列求法（3-6题）| |B层|分布列综合应用、参数关系|结合等差数列（8题）、实际取球情境（9题），提升推理能力| |C层|复杂情境概率模型|五局三胜制比赛问题（15题），融合多步概率计算，发展应用意识|

8.2.1　随机变量及其分布列 A层 基础达标练 1.(多选题)如果ξ是一个随机变量,则下列命题中的真命题有(　　) A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B.ξ取所有可能值的概率之和是1 C.ξ的取值与自然数一一对应 D.ξ的取值是实数 2.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球,令随机变量X= D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X 3.随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,c为常数,则P<X<的值为(　　) A. B. C. D. 4.设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X-3|=1)=(　　) A. B. C. D. 5.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,则P(X=2)=　. 6.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a,b,c成等差数列,且c=ab. X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得3分的概率是　　　　　.  7.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子,其中肉粽1个,蛋黄粽2个,豆沙粽3个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取2个. (1)用ξ表示取到的豆沙粽的个数,求ξ的分布列; (2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. B层 能力提升练 8.(多选题)已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列,则(　　) X -1 0 1 P a b c A.a= B.b= C.c= D.P(|X|=1)= 9.袋子中装有大小相同的8个小球,其中白球5个,分别编号1,2,3,4,5;红球3个,分别编号1,2,3.现从袋子中任取3个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)=(　　) A. B. C. D. 10.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是(　　) A.0, B.- C.[-3,3] D.[0,1] 11.若随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 9c2-c 3-8c 则常数c=　　　　　.  12.随机变量Y的分布列如下: Y 1 2 3 4 5 6 P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则x=　　　　　;P(Y>3)=　　　　　.  13.设随机变量X的分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5).求: (1)常数a的值; (2)PX≥的值; (3)P<X<的值. 14.设集合S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S. (1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的样本点; (2)设ξ=m2,求ξ的分布列. C层 拓展探究练 15.甲、乙两所学校之间进行排球比赛,采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜,比赛结束),约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛,共比赛两局,后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验,在男生排球比赛中,每局甲校获胜的概率为,乙校获胜的概率为,在女生排球比赛中,每局甲校获胜的概率为,乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. (1)求甲校以3∶1获胜的概率; (2)记比赛结束时女生比赛的局数为ξ,求ξ的概率分布. 参考答案 1.ABD　根据概率性质,可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确; ξ取所有可能值的概率之和是1,所以B正确; ξ的取值是实数,不一定是自然数,所以C错误,D正确.故选ABD. 2.BCD　只有A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布. 3.B　由分布列性质,得=1, 即c=1,c=, 所以P<X<=P(X=1)+P(X=2)=×=.故选B. 4.B　根据分布列的性质,得出+m+=1,所以m=,随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=.故选B. 5.　设10个球中有m个白球,则=1-,解得m=5.P(X=2)=. 6.　由题意,得2b=a+c,c=ab,a+b+c=1,且a≥0,b≥0,c≥0,联立得a=,b=,c=, 故该名运动员得3分的概率是. 7.解 (1)由题意,可得,ξ的所有可能取值为0,1,2, P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=, 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)由(1),可得,选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率为P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=. 8.BD　∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. 由分布列的性质,得a+b+c=3b=1,∴b=. ∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-. 9.D　由题意,可知X=3共有两种情况,第一种情况表示3个小球中有1个3,P1=,第二种情况表示3个小球中有2个3,P2=,所以P(X=3)=P1+P2=.故选D. 10.B　由题意,可设随机变量X取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d,则由分布列的性质,得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=. 由解得-≤d≤. 11.　由随机变量分布列的性质可知, 整理得 12.0.1　0.45　由pi=1,得x=0.1. P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45. 13.解 由题意,随机变量X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质,得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. (2)PX≥=PX=+PX=+PX=1=, 或PX≥=1-PX≤=1-=. (3)∵<X<,∴X=, ∴P<X<=PX=+PX=+PX==. 14.解 (1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S,且m+n=0,所以A包含的样本点为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9, 且有P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=4)=,P(ξ=9)=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P 15.解 (1)甲校以3∶1获胜,则甲校在第四局获胜,前三局胜两局, P=. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3, P, P(ξ=2)=+=, P(ξ=3)=1-, 故ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $