8.2.1随机变量及其分布列同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

8.2　离散型随机变量及其分布列 8.2.1　随机变量及其分布列 一、基础达标 1.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为(　　) ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1; ②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2; ③某同学射击3次,命中的次数X3; ④某电子元件的寿命X4. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球,5个黑球,每次任取一球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为X,则表示“放回4个球”的事件为(　　) A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 3.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 1-4q q 则实数q=(　　) A. B. C. D. 4.设某项试验的成功率是失败率的3倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=1)=(　　) A.0 B. C. D. 5.(多选题)如果ξ是一个随机变量,则下列命题中的真命题有(　　) A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B.ξ取所有可能值的概率之和是1 C.ξ的取值与自然数一一对应 D.ξ的取值是实数 6.(多选题)下列选项中的随机变量X服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚均匀的骰子,所得点数为X B.某运动员罚球命中的概率为0.8,命中得1分,不中得0分,X为罚球一次的得分 C.从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,X= D.从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件,X为抽到的次品件数 7.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6,其中a是常数,则P(<X<4)=　　　　　.  8.袋中有8个球,其中5个黑球,3个红球,从袋中任取3个球,求取出红球的个数X的概率分布,并求至少有一个红球的概率. 二、能力提升 9.若随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P(X<a)=0.7时,实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2) 10.已知随机变量X的分布列如表所示,若Y=2X+1,则P(Y=3)的值为(　　) X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 11.(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则(　　) A.15a=1 B.P(0.4<ξ<0.8)=0.2 C.P(0.1<ξ<0.6)=0.2 D.P(ξ=1)=0.3 12.设随机变量ξ的概率分布列为 ξ 0 1 P 9a2-a 3-8a 则常数a=　　　　　.  13.某企业有甲、乙两个研发小组,甲组研究新产品成功的概率为,乙组研究新产品成功的概率为,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求恰好有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,不成功则会亏损50万元;若新产品B研发成功,企业可获得利润100万元,不成功则会亏损40万元,求该企业获利ξ万元的分布列. 三、拓展探究 14.(多选题)设随机变量ξ的分布列如下: ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 则下列结论正确的是(　　) A.P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3) B.当an=(n=1,2,3,4)时,a5= C.若{an}为等差数列,则a3= D.{an}的通项公式可能为an= 15.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X,Y的取值集合均为{0,1,2,3,…,n}(n∈N*),则X,Y的散度D(X||Y)=P(X=i)ln.若X,Y的概率分布如表所示,其中0<p<1,则D(X||Y)的取值范围是　　　　　.  X 0 1 P Y 0 1 P 1-p p 16.从甲、乙、丙等10人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出. (1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列; (2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,求n次传球后球在甲手中的概率. 参考答案 1.C　对于①,半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对于②,沿直线y=2x进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;对于③,某同学射击3次,命中的次数可以一一列举出来,故③是离散型随机变量;对于④,某电子元件的寿命可为任意值,不能一一列举出来,故④不是离散型随机变量.故选C. 2.B　根据题意可知,若取到黑球,则将黑球放回,然后继续抽取,若取到红球,则停止抽取,所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球,第5次取到了红球,故X=5.故选B. 3.D　由题意得+1-4q+q=1,q=.故选D. 4.D　由已知得X的所有可能取值为0,1,且P(X=1)=3P(X=0),代入P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=1)+P(X=1)=1,所以P(X=1)=,故选D. 5.ABD　根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确;ξ取所有可能值的概率之和是1,所以B正确;ξ的取值是实数,不一定是自然数,所以C错误,D正确.故选ABD. 6.BCD　由两点分布的定义可知,对于A,X=1,2,3,4,5,6,所以不属于两点分布;对于B,X=0,1,属于两点分布;对于C,X=0,1,属于两点分布;对于D,抽取一次,则或为正品或为次品,记抽到正品为1,记抽到次品为0,故X=0,1,属于两点分布.故选BCD. 7.　因为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6,所以=1,所以a=,所以P(<X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,故答案为. 8.解 由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=. 所以X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P 设“至少有一个红球的概率”为事件M, 则P(M)=P(X≥1)=1-P(X=0)=1-, 故至少有一个红球的概率为. 9.C　由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.4,P(X<2)=0.7,则当P(X<a)=0.7时,实数a的取值范围是(1,2].故选C. 10.A　因为Y=2X+1,则当Y=3时,X=1,所以P(Y=3)=P(X=1)=0.1.故选A. 11.ABC　选项A,由已知可得,a+2a+3a+4a+5a=1,即15a=1,故该选项正确;选项B,P(0.4<ξ<0.8)=P(ξ=0.6)=3a==0.2,故该选项正确;选项C,P(0.1<ξ<0.6)=P(ξ=0.2)+P(ξ=0.4)=P(ξ=)+P(ξ=)==0.2,故该选项正确;选项D,P(ξ=1)=×5=≠0.3,故该选项错误.故选ABC. 12.　由题意得P1+P2=1且0≤Pi≤1(i=1,2), 所以解得a=.故答案为. 13.解 (1)因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为,且相互独立,所以,恰好有一种新产品研发成功的概率P=. (2)根据题意,ξ的可能取值有-90,50,80,220. P(ξ=-90)=,P(ξ=50)=,P(ξ=80)=,P(ξ=220)=, 所以分布列为 ξ -90 50 80 220 P 14.ABC　对于A,P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2),1-P(ξ≥3)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4)-P(ξ=5)=P(ξ=1)+P(ξ=2), ∴P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3),故A正确;对于B,当an=(n=1,2,3,4)时,a5=1-,故B正确;对于C,若{an}为等差数列,则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=1,则a3=,故C正确;对于D,当{an}的通项公式为an=时,a1+a2+a3+a4+a5=1-=1-≠1,故D错误.故选ABC. 15.[0,+∞)　根据已知公式D(X||Y)=P(X=i)ln,得D(X||Y)=lnlnln,4p(1-p)=-4p2+4p,令y=-4p2+4p,开口向下,对称轴为p=,所以在0<p<1上,0<-4p2+4p≤1,则≥1,则D(X||Y)=ln≥0,故答案为[0,+∞). 16.解 (1)依题意,X可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练,且记An表示事件“经过n次传球后,球在甲手中”,设n次传球后球在甲手中的概率为pn,n=1,2,3,…,则有p1=0,An+1=·An+1+An·An+1,所以pn+1=P(·An+1+An·An+1)=P(·An+1)+P(An·An+1)=P()·P(An+1|)+P(An)·P(An+1|An)=(1-pn)·+pn·0=(1-pn), 即pn+1=-pn+,n=1,2,3,…,所以pn+1-=-(pn-),且p1-=-,所以数列表示以-为首项,-为公比的等比数列, 所以pn-=-×(-)n-1,所以pn=-[1-],即n次传球后球在甲手中的概率是[1+]. 9 学科网（北京）股份有限公司 $