第六章 6.6 数列求和(二) 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“裂项相消法求和”核心考点，依据高考评价体系梳理了通项拆分、求和抵消、不等式证明等考查要求。通过近五年模拟题分析，明确等差型占30%、放缩型占25%的高频考点分布，归纳出等差型、无理型、指数型、放缩型四大常考命题点，构建完整的解题思路体系。 课件亮点在于“真题示例+题型分类+技巧提炼”的备考策略，如以2026·佛山模拟指数型裂项为例，深入剖析“通项变形—错位抵消—结果化简”三步法，培养学生的推理能力和模型意识。特设“易错陷阱警示”和“裂项模板库”，通过每周精练的高仿真训练，让学生熟练掌握拆分技巧，教师可据此精准定位薄弱环节，实现高效备考。

数列求和(二) 落实主干知识 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧 ①=_________.②=____________. ③=_________________. ④=______________. ⑤=_____________________. - - 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当n≥2时，=-.(　　) (2)=.(　　) (3)已知等差数列{an}的公差为d，则=.(　　) (4)=1+.(　　) 自主诊断 × √ × √ 2.化简式子+++…+，得 A. B. C. D. √ 解析　 +++…+ =×+×+×+…+× =×=. 3.(2026·苏州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，an=，若Sn=8，则n等于 A.77 B.78 C.79 D.80 √ 解析　依题意，an==-， 所以Sn=-1+-+…+-=-1， 由Sn=-1=8，解得n=80. 4.已知数列{an}满足an=2n-1，则数列的前5项和为 A. B. C. D. √ 解析　因为an=2n-1，所以an+1=2n+1-1. 所以= ==-. 所以的前5项和为++…+ =-=1-=. 返回 探究核心题型 例1　(2025·铜陵模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1，a7的等比中项. (1)求{an}的通项公式； 题型一　裂项相消法求和 命题点1　等差型 解　设{an}的公差为d(d≠0)， 则S7=7a4=35，所以a4=5， 又a3为a1，a7的等比中项， 则=a1a7⇒(5-d)2=(5-3d)(5+3d)， 解得d=1，故an=a4+d(n-4)=n+1. 例1　(2025·铜陵模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=35，a3为a1，a7的等比中项. (2)若bn=，记{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. 证明　由(1)可知bn===， 所以Tn=×+×+×+…++ ==-， 易知+>0，所以Tn<， 令f(n)=+(n∈N*)，显然f(n)在定义域上单调递减，f(n)≤f(1)=， 所以Tn≥-×=，故≤Tn<. 例2　(2025·永州模拟)已知函数f(x)=(x<-2)，点(n∈N*)在曲线y=f(x)上，且a1=1. (1)求证：数列为等差数列； 命题点2　无理型 证明　因为点在曲线y=f(x)上，所以an=，且an>0， -=4(n∈N*)，又=1， 故数列是首项为1，公差为4的等差数列. 例2　(2025·永州模拟)已知函数f(x)=(x<-2)，点(n∈N*)在曲线y=f(x)上，且a1=1. (2)设bn=，记Sn=b1+b2+…+bn，求Sn. 解　由(1)知=1+4(n-1)=4n-3， 则=. 因为an>0，所以an=， 则bn===， 故Sn=b1+b2+…+bn=++…+=. 例3　(2026·佛山模拟)已知在数列{an}中，a2=4a1，且当n≥2时，an=3an-1+2. (1)求a1，a2的值； 命题点3　指数型 解　在数列{an}中，a2=4a1， 又当n≥2时，an=3an-1+2， 则a2=3a1+2， 联立解得 例3　(2026·佛山模拟)已知在数列{an}中，a2=4a1，且当n≥2时，an=3an-1+2. (2)求{an}的通项公式； 解　在数列{an}中，当n≥2时，an=3an-1+2， 则an+1=3an-1+3=3(an-1+1)， 又由(1)知a1=2，则a1+1=3， 所以=3， 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则an+1=3×3n-1=3n，所以an=3n-1. 例3　(2026·佛山模拟)已知在数列{an}中，a2=4a1，且当n≥2时，an=3an-1+2. (3)设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn<. 证明　由(2)知an=3n-1， 则bn===， 则数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn =+++…+ ==-， 又n∈N*，则>0，所以-<，即Sn<. 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (1)求a2的值； 命题点4　放缩型 解　令n=1，=2a1=a2--1-， 又a1=1，解得a2=4. 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (2)求数列{an}的通项公式； 解　由题意得2Sn=nan+1-n3-n2-n， 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)， 两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-， 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1)， 两边同时除以n(n+1)，得-=1. 又因为-=1，所以是首项为=1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n-1)×1=n，即an=n2. 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (3)证明：对一切正整数n，有++…+<. 证明　方法一　由=<=-，n≥2， ①当n=1时，=1<； ②当n=2时，+=1+<； ③当n≥3时，++…+<1++-+-+…+-=-<， 综上所述，对一切正整数n，有++…+<. 例4　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N*. (3)证明：对一切正整数n，有++…+<. 证明　方法二　由==< =2， ①当n=1时，=1<； ②当n≥2时，++…+ <1+2=-<. 裂项相消法的原则及规律 (1)裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 思维升华 常见的几种裂项结构： ①等差型：=(an≠0，d≠0). ②无理型：=-)(a>0，b>0). ③指数型：=-. ④放缩型：(ⅰ)<=； (ⅱ)-<<-； (ⅲ)2(-)<<2(-). 思维升华 跟踪训练1　(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式； 解　由已知Sn+1+2=an+3n+Sn， 则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2， 即an+1-an=3n-2，则当n≥2时，an-an-1=3n-5，an-1-an-2=3n-8，…，a2-a1=1， 等式左右两边分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1==， 又a1=2，则an=+2=(n≥2). 又a1=2符合上式，所以an=(n∈N*). 跟踪训练1　(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn. (2)求满足an>的n的最小值； 解　由(1)得an=，且an>， 即>， 化简可得(3n-1)(n-3)>0， 又n∈N*，即n>3， 所以满足an>的n的最小值为4. 跟踪训练1　(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1+2=an+3n+Sn. (3)已知bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：-≤Tn<-. 证明　依题意得，bn====， 则Tn= ==--， 又n∈N*，所以∈， 所以Tn=--∈，即-≤Tn<-. 例5　(2025·无锡模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=+an-2. (1)求数列{an}的通项公式； 题型二　数列求和在不等式中的应用 解　2Sn=+an-2， ① 且an>0， 当n=1时，代入①得a1=2； 当n≥2时，2Sn-1=+an-1-2. ② ①-②得2an=-+an-an-1，整理得an+an-1=-=(an-an-1)(an+an-1)， 因为an>0，所以an-an-1=1(n≥2)， 又a1=2，所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an=n+1. 例5　(2025·无锡模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=+an-2. (2)设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和.若-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范围. 解　bn=，Tn=2×+3×+4×+…+(n+1)×， ③ Tn=2×+3×+4×+…+n×+(n+1)×， ④ ③-④得Tn=2×+++…+-(n+1)×=+-=-， 所以Tn=-， 例5　(2025·无锡模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=+an-2. (2)设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和.若-Tn≤对任意的n∈N*恒成立，求k的取值范围. 解　又Sn=-Tn≤，化简得k≥， 令cn=，cn+1-cn=， 所以c1<c2>c3>c4>…， 所以cn的最大值为c2=，所以k≥. 所以k的取值范围为. 利用数列求和解决不等式恒成立问题的一般思路 (1)将不等式转化为数列求和的形式. (2)通过求和公式或递推关系求出数列的和. (3)分析和的表达式或性质，确定不等式恒成立的条件. 思维升华 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (1)求数列的通项公式； 解　根据题意，当n≥2时，(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an⇔(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2Sn-2Sn-1⇔(n+1)Sn-1 =(n-1)Sn. 方法一　因为=， 所以Sn=··…··S1=····…···1=(n≥2)， 当n=1时，S1=1，也满足Sn=. 故数列{Sn}的通项公式为Sn=. 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (1)求数列的通项公式； 解　方法二　可得=， 所以数列是常数列， ==⇔Sn=. 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (2)若数列的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，<Tn<. 证明　Sn=⇔Sn-1=⇔an=Sn-Sn-1=n，n≥2， 首项a1=1也满足上式，所以an=n， 所以<=<， 设bn==-， 数列{bn}的前n项和为-+-+…+-=1-=， 所以Tn>； 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足(n-1)Sn-1-(n-3)Sn=2an，n≥2，a1=1. (2)若数列的前n项和为Tn，证明：当n≥2时，<Tn<. 证明　分析可得，数列从第2项开始放缩成-， 设cn= 数列的前n项和为1+1-+-+…+-=2-=， 所以当n≥2时，<Tn<. 返回 课时精练 1.(2026·成都模拟)已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且an(2Sn-an)=1. (1)求S1，S2； 1 2 3 4 答案 知识过关 解　由an(2Sn-an)=1， 令n=1，有=1， 因为an>0，所以a1=1. 令n=2，有a2(a2+2a1)=1， 即+2a2=1，由a2>0， 解得a2=-1.所以S1=1，S2=. 1.(2026·成都模拟)已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且an(2Sn-an)=1. (2)证明：是等差数列； 1 2 3 4 答案 证明　当n≥2时，由an=Sn-Sn-1， 代入an(2Sn-an)=1， 化简得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1， 即-=1(n≥2)， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. 1.(2026·成都模拟)已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，且an(2Sn-an)=1. (3)求数列的前n项和Tn. 1 2 3 4 答案 解　由(2)可知=n. 因为{an}是正项数列，所以Sn>0，从而Sn=. 由==-)， 所以Tn=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)+(-)] =+--1)， 所以数列的前n项和Tn=+--1). 2.(2025·南昌模拟)设{an}是各项都为正数的递增数列，已知a1=1，且an满足关系式(an+1+an-1)2=4an+1an，n∈N*. (1)证明：数列{}是等差数列； 1 2 3 4 答案 证明　由{an}是各项都为正数的递增数列， 得an+1>an≥a1=1， 而=4an+1an，则an+1+an-1=2， 整理得=1， 因此-=1，又=1， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列. 2.(2025·南昌模拟)设{an}是各项都为正数的递增数列，已知a1=1，且an满足关系式(an+1+an-1)2=4an+1an，n∈N*. (2)令bn=(-1)n，求数列{bn}的前2n项的和T2n. 1 2 3 4 答案 解　由(1)知=1+(n-1)×1=n，所以an=n2， 则bn=(-1)n=(-1)n=(-1)n·， b2n-1+b2n=-+=， 所以T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n) ===-. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，5a4+S5=60，S7=49. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 答案 解　设数列{an}的公差为d， 依题意可得 即解得 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，5a4+S5=60，S7=49. (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，若bn=，求证：Tn<1. 1 2 3 4 答案 证明　由(1)可得Sn==n2， 所以bn==-. Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…+ =1-<1. 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式； 1 2 3 4 答案 能力拓展 解　由an+1=3an+1， 得an+1+=3， 又a1+=，所以是首项为，公比为3的等比数列，an+=， 因此{an}的通项公式为an=. 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (2)证明：++…+<. 1 2 3 4 答案 证明　方法一　(等比放缩) 由(1)知=， 因为当n≥1时，3n-1≥3n-3n-1=2×3n-1， 所以≤，即≤， 于是++…+≤1++…+=<，所以++…+<. 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (2)证明：++…+<. 1 2 3 4 答案 证明　方法二　(裂项放缩) 由== <=3，所以++…+ <3=3<. 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1. (2)证明：++…+<. 1 2 3 4 答案 证明　方法三　(糖水不等式) 由=≤=， ++…+≤1++…+ =<. 返回 $