第一章 第5课时 一元二次方程、不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次方程与不等式专题，依据高考评价体系梳理三个二次关系、分式及绝对值不等式解法等核心考点，通过教材改编题和模拟题分析考点权重，归纳解集求解、恒成立参数范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+分类突破+素养提升”策略，如典例2通过分类讨论含参不等式培养数学思维，实际应用题（花卉带宽度）强化用数学语言表达现实问题的能力。特设易错点分析和解题模板，帮助学生掌握分类讨论、分离变量等技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第5课时　一元二次方程、不等式 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 [考试要求]　 1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式． 2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． 3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2 以题引理·激活思维 1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　) A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) A　[结合图象易知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 3 2．(湘教版必修第一册P54例4改编)关于x的不等式≥1的解集为 (　　) A． B． C． D． √ B　[由≥1得≥0，其解集等价于≤x<2．故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 4 3．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若不等式mx2＋2mx－2<0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－2，0) B．(－2，0] C．(－∞，0) D．(－∞，0] √ B　[①当m＝0时，－2<0恒成立； ②当m≠0时，由题意知 解得－2<m<0．综上，－2<m≤0，故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 5 4．(北师大版必修第一册P41习题1－4B组T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集是，则a＋b的值是________． －13　[由题意知－是方程ax2＋bx＋1＝0的两根， 由根与系数的关系得 则a＝－12，b＝－1．所以a＋b＝－13．] －13 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 6 5．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 7 　[设花卉带的宽度为x m， 则所以0<x<5，因为草坪面积不超过总面积的， 所以(12－2x)(10－2x)≤×12×10，解得1≤x<5，所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5)．] 8 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 9 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _________________ __ __ {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 10 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f (x)·g(x)>0(<0)； (2) 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 11 3．绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为{x|x<－a，或x>a}； |x|<a(a>0)的解集为{x|－a<x<a}． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 12 4．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 13 1．一元二次不等式的解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根，体现了函数、方程、不等式三者间的内在联系． 2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论，注意数形结合在解题中的应用． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 14 考点一　三个二次的关系 [典例1]　(1)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1，且x≠2}，则(　　) A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2 C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2 精研考点·提升素养 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 15 (2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．ax＋c>0的解集为 C．8a＋4b＋3c<0 D．cx2＋bx＋a<0的解集为 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 16 (1)B　(2)ABD　[(1)由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根， 由根与系数的关系可得 解得故选B． 17 (2)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}， 故a<0，且 整理得到b＝－a，c＝－6a． 对于A，a<0，正确； 对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确； 对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误； 对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－，正确．故选ABD．] 18 名师点评：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 19 考点二　不等式的解法 [典例2]　(1)(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 (2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)． √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 20 (1)ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2， 所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0， 即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2， 所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1， 解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5， 因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．] 21 (2)[解]　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， ①当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0， 所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0<a<1时，解得1<x<． ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0， 即x>1． 22 ③当a<0时，<1，原不等式可化为·(x－1)>0， 解得x>1或x<． 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为⌀， 当a>1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为． 23 名师点评：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 24 [巩固迁移] 1．解关于x的不等式x2＋ax＋1<0(a∈R)． [解]　Δ＝a2－4． ①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀． ②当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝， 则原不等式的解集为． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 25 综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀； 当a>2或a<－2时，原不等式的解集为 ． 26 【教用·备选题】 (2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2－4x<ax－2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2]　　 B．[1，2) C．(0，2) D．(0，2] √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 27 B　[当a＝0时，解得x>，不满足条件； 故a≠0，关于x的不等式2ax2－4x<ax－2可得2ax2－(4＋a)x＋2<0， 所以(2x－1)(ax－2)<0， 即a(2x－1)<0， 方程(2x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝， 当a<0时，不等式可化为(2x－1)>0，x1＝，x2＝<0， x的取值范围为，不满足条件； 28 当a>0时，不等式可化为(2x－1)<0，x1＝，x2＝>0， 当x1>x2时，则，即a>4，x的取值范围为， 要使不等式有且只有一个整数解，则－1≤<0，又因为a>0，不满足条件； 当x1＝x2时，则，即a＝4，不等式的解集为⌀， 当x1<x2时，则，即0<a<4，x的取值范围为，要使不等式有且只有一个整数解，则1<≤2，解得1≤a<2，故实数a的取值范围是[1，2)．故选B．] 29 考点三　一元二次不等式恒成立问题 [典例3]　已知函数f (x)＝ax2－x＋a． (1)不等式f (x)>0的解集为R，求a的取值范围； (2)若不等式f (x)>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 30 [解]　(1)当a＝0时，原不等式可化为x<0，不符合题意； 故a≠0，要使f (x)>0的解集为R， 只需解得a>． 综上所述，a的取值范围为． 31 (2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意； 故a≠0，要满足题意，需 解得a≥，所以实数a的取值范围是． 法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0⇔ax2＋a>x⇔a>．因为x∈(1，＋∞)，，所以a的取值范围是． 32 【深度思考】　若∀a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，如何求实数x的取值范围？ [解]　(变更主元法)：若∀a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，即∀a∈[－1，3]，ax2－2ax＋x＋3－a≥0恒成立．把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则有g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立， 得解得 所以实数x的取值范围为[－1，0]∪． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 33 名师点评：恒成立问题求参数的取值范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 34 [巩固迁移] 2．(2025·安徽宿州期中)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x(y＋2)．若不等式x☉(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－6，6) D．(－2，2) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 35 B　[由已知得x☉(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－6<a<2． 故选B．] 36 3．若不等式x2＋mx＋1>2x＋m对满足|m|<2的所有实数m恒成立，则实数x的取值范围是(　　) A．－2<x<2 B．x≥3 C．x≤1 D．x≤－1或x≥3 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 37 D　[由|m|<2得－2<m<2，将不等式x2＋mx＋1>2x＋m整理成关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0， 令f (m)＝(x－1)m＋x2－2x＋1，要使关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0对－2<m<2的所有实数m恒成立， 则需即 即解得x≤－1或x≥3，故选D．] 38 4．若不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是____________． (－∞，3]　[设t＝sin x，因为x∈，所以t∈(0，1]，则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，所以a≤3．] (－∞，3] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 39 【教用·备选题】 已知函数f (x)＝mx2－(m－1)x＋m－1． (1)若不等式f (x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f (x)≥0对任意x∈恒成立，求m的取值范围． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 40 [解]　(1)不等式f (x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 故m≠0，要满足题意， 需 解得m<， 综上所述，m的取值范围为． 41 (2)不等式f (x)≥0对任意x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对任意x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝>0， 则不等式等价于m≥对任意x∈恒成立， 由x∈，1－x>0， 得＝＝1， 42 当且仅当1－x＝， 即x＝0时，等号成立， 所以＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． 43 【深度思考】　本题中，若不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，如何求x的取值范围？ [解]　不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，即(x2－x＋1)m＋x－3>0对任意m∈(0，2)恒成立． 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，所以x的取值范围为[3，＋∞)． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 44 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(1，2) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(五)　一元二次方程、不等式 √ C　[A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝(0，2)， 则A∪B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选C．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(2026·广东清远模拟)若关于x的不等式ax2－ax－1≥0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．(－4，0) B．[－4，0] C．(－4，0] D．[－4，0) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 46 C　[当a＝0时，ax2－ax－1＝－1≥0，显然解集为空集，满足题设； 当a≠0时，ax2－ax－1≥0在R上无解， 所以可得－4<a<0． 综上，－4<a≤0．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 47 3．(2026·江苏徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x|x>1，或x<－3}，则不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|－1≤x≤2} D．{x|x>1，或x<－2} 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 48 A　[由题意知－3，1为方程ax2＋bx－3＝0的两根， 所以 则不等式≥0可化为 解得－1<x≤2，故解集为{x|－1<x≤2}． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 49 4．(2026·天津模拟)若“－1<x<1”是“(x－a)(x－3－a)<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1，或a≥2} B．{a|－2<a<1} C．{a|－2≤a≤－1} D．{a|a≤－2，或a≥－1} 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 50 C　[由(x－a)(x－3－a)<0，解得a<x<3＋a， 因为“－1<x<1”是“(x－a)(x－3－a)<0”的充分不必要条件， 所以(两个等号不能同时成立)， 解得－2≤a≤－1， 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤－1}． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 51 5．(2025·北京大兴期中)若不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－1，＋∞) C．[－1，2] D．(－∞，－1] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 52 D　[法一(函数最值法)：令f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a， 所以f (x)的对称轴为x＝＋1， 当＋1≤0，即a≤－2时， f (x)max＝f (1)＝12－(a＋2)＋2a＝a－1， 所以a－1≤0，则a≤1，故a≤－2； 当＋1>0，即a>－2时， f (x)max＝f (－1)＝(－1)2＋(a＋2)＋2a＝3a＋3， 所以3a＋3≤0，则a≤－1，故－2<a≤－1． 综上，实数a的取值范围是a≤－1．故选D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 53 法二(数形结合法)：令f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a，由于二次函数开口向上，要使f (x)≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，只需解得a≤－1．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是(　　) A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 55 C　[如图，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，交DE于点F， 易知， 则AF＝x，FH＝40－x． 所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300， 解得10≤x≤30． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 56 二、多项选择题 7．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝ (－2，2]，则(　　) A．b≥0 B．b<0 C．c≤－4 D．2b＋c＝－4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 57 ACD　[由题可得集合A＝{x|－2<x<3}，且A∩B＝(－2，2]， 所以方程x2＋bx＋c＝0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2＝2．由根与系数的关系可知，－b＝x1＋x2＝2＋x1≤2＋(－2)＝0， 即b≥0，选项A正确，选项B错误； c＝x1x2＝2x1≤2×(－2)＝－4，选项C正确； 从而22＋2b＋c＝0，即2b＋c＝－4，选项D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 8．已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 59 ACD　[当a＝0时，＝－2(x＋2)>0⇒x<－2； 当a>0时，或x<－2， 故A正确； 当a<0时，(x＋2)>0， 若＝－2⇒a＝－1，则不等式无解； 若<－2⇒－1<a<0，则不等式的解为<x<－2，故D正确； 若>－2⇒a<－1，则不等式的解为－2<x<，故C正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 60 三、填空题 9．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值______________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1(答案不唯一，满足0<a≤2即可)　[因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1}⊆B， 设f (x)＝x2－x－a，则f (x)<0的整数解为0，1， 则f (0)<0，f (1)<0，f (－1)≥0且f (2)≥0， 解得0<a≤2．故a可取1(答案不唯一， 满足0<a≤2即可)．] 1(答案不唯一，满足0<a≤2即可) 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 61 10．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 [－1，0)∪(8，9] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 62 [－1，0)∪(8，9]　[不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0．设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k．由题意得x2－x1＝≤3，解得－1≤k≤ 9，又k>8或k<0，所以－1≤k<0或8<k≤9，所以实数k的取值范围为[－1，0)∪(8，9]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 四、解答题 11．已知f (x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6． (1)解关于a的不等式f (1)>0； (2)若不等式f (x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 [解]　(1)由题意知f (1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0， 解得3－2． ∴不等式的解集为{a|3－2}． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 64 (2)∵f (x)>b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴ 故a的值为3±，b的值为－3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 65 12．已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2． (1)若不等式f (x)≥－2对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a<0，解关于x的不等式f (x)<a－1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 [解]　(1)∀x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对任意实数x不恒成立，则a≠0，此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 66 (2)依题意，因为a<0，所以f (x)<a－1， 即ax2＋(1－a)x－1<0，(x－1)>0． 当－＝1，即a＝－1时，解得x≠1； 当－>1，即－1<a<0时，解得x<1或x>－； 当0<－<1，即a<－1时，解得x<－或x>1， 综上，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<－1时，原不等式的解集为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]． (1)求此二次函数的解析式； (2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围； (3)∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 68 [解]　(1)由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a>0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)·(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 (2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3为x2－2x－3<(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m<0，即(x－1)(x－m)<0．依题意，不等式(x－1)(x－m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m<1时，解得m<x<1，即不等式的解集为(m，1)，此时解集中不含正整数，故舍去．当m>1时，解得1<x<m，不等式的解集为(1，m)，要使解集中恰有一个正整数，则2<m≤3，所以实数m的取值范围是(2，3]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 70 (3)∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，即∀m∈[0，2]，不等式mx－x2＋3>0恒成立．令g(m)＝mx－x2＋3，m∈[0，2]， 则解得－1<x<， 即实数x的取值范围为(－1，)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 一、单项选择题 1．已知集合U＝{x∈N|－1<x<5}，A＝{0，1，3}，B＝{1，4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，4} B　[由题得U＝{0，1，2，3，4}，因为A＝{0，1，3}，所以∁UA＝{2，4}．又B＝{1，4}，所以(∁UA)∪B＝{1，2，4}．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 阶段评估(一)　(第1课时~第5课时) √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．命题“∃x>0，x2－3x－10>0”的否定是(　　) A．∀x>0，x2－3x－10>0 B．∃x>0，x2－3x－10≤0 C．∀x≤0，x2－3x－10≤0 D．∀x>0，x2－3x－10≤0 √ D　[“∃x>0，x2－3x－10>0”的否定是“∀x>0，x2－3x－10≤0”． 故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 73 3．(2025·辽宁大连三模)若全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x> －1}，则(　　) A．A⊆B B．∁UA⊆B C．B⊆∁UA D．B∩A＝⌀ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[因为A＝{x|x<1}，B＝{x|x>－1}， 所以A∩B＝{x|－1<x<1}，故AD错误； 所以∁UA＝{x|x≥1}，所以∁UA⊆B，故B正确，C错误．故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 74 4．(2025·天津耀华中学月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ B　[由x2＋x－2>0，得x<－2或x>1；由|x－2|<1，得－1<x－2<1，即1<x<3，所以“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的必要不充分条件． 故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 75 5．(2026·广东深圳模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 76 B　[依题意，a＋b＝2ab≤2×， 即(a＋b)2－2(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－2)≥0， 由于a＋b>0，所以a＋b－2≥0，a＋b≥2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b的最小值为2．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 77 6．“关于x的不等式mx2＋mx＋1≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　) A．0≤m≤2 B．2≤m≤5 C．－1≤m≤4 D．0≤m≤4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 78 C　[当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，由题意， 得解得0<m≤4， 综上，实数m的取值范围为0≤m≤4， 则“关于x的不等式mx2＋mx＋1≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是－1≤m≤4． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 79 二、多项选择题 7．(2026·山东济南模拟)已知a>b>0，下列说法正确的是(　　) A．若c>d，则ac>bd B．若c>0，则 C． D．a2＋ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 80 BD　[对于A，不妨取2>1>0，－3>－4，则2×(－3)<1×(－4)，故A错误； 对于B，a>b>0，c>0，则ab＋ac>ab＋bc， 即，故B正确； 对于C，a>b>0，则(a＋b)2>4ab⇒，故C错误； 对于D，a>b>0，则a2>b2，，所以a2＋，故D正确．故选BD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 81 8．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy有最大值 B． C．4x2＋y2有最小值 D．4x＋2y有最小值2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 82 ABC　[对于A，2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A正确； 对于B， ，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以4x2＋y2≥，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确； 对于D，4x＋2y＝22x＋2y≥2，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 83 三、填空题 9．(2025·重庆八中月考)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝，则集合B的真子集有________个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 7 7　[∵∈Z，∴x为奇数，∴B＝{1，3，5}， ∴集合B中有3个元素，∴集合B的真子集个数为23－1＝7．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 84 10．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[a＝[(a＋b)＋(a－b)]，由－1<a＋b<3，2<a－b<4，得1<(a＋b)＋(a－b)<7， 所以[(a＋b)＋(a－b)]<，即． 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， 所以－(a＋b)＋(a－b)<＋2，即t∈．] 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 85 四、解答题 11．已知集合A＝，集合B＝{x|x2－mx－3<0}． (1)求集合A； (2)若________，求实数m的取值范围． ①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，在这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 86 [解]　(1)不等式≤0等价于(x－1)(x＋3)≤0，且x≠－3， 解得－3<x≤1． 解x(x－3)≥0，得x≤0或x≥3， 所以A＝{x|－3<x≤0}． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 87 (2)若选①：A∪B＝B，则A⊆B， 又B＝{x|x2－mx－3<0}， 即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立， 令f (x)＝x2－mx－3，则 解得m≤－2， 所以m的取值范围为(－∞，－2]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 88 若选②：“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A⊆B， 又B＝{x|x2－mx－3<0}， 即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立， 令f (x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2， 所以m的取值范围为(－∞，－2]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 89 若选③：“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则有A⊆B， 又B＝{x|x2－mx－3<0}， 即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立， 令f (x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2， 所以m的取值范围为(－∞，－2]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 90 12．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}， 所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根， 所以 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 91 (2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0， 当m>2时，不等式解集为{x|2<x<m}； 当m＝2时，不等式解集为⌀； 当m<2时，不等式解集为{x|m<x<2}． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 92 13．设函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2(a∈R)． (1)若a＝－2，求f (x)<0的解集． (2)若不等式f (x)≥2x－3对任意实数x>1恒成立，求a的取值范围； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)由函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2(a∈R)， 若a＝－2，可得f (x)＝－2x2＋3x－4， 又由f (x)<0，即不等式－2x2＋3x－4<0， 即2x2－3x＋4>0，∵Δ＝9－4×2×4<0，且函数图象开口向上， ∴不等式2x2－3x＋4>0的解集为R，即f (x)<0的解集为R． 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 93 (2)由f (x)≥2x－3对任意实数x>1恒成立， 即(x2－x＋1)a≥x－1对任意x∈(1，＋∞)恒成立， ∵x2－x＋1>0，∴a≥， ∵x>1， ∴＝， 当且仅当x－1＝时，即x＝2时，等号成立， ∴a≥，∴a的取值范围是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 94 14．(2025·河南南阳期中)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 95 (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 以题引理 精研考点 课后作业 阶段评估 第5课时　一元二次方程、不等式 96 [解]　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 y＝＋10≥2＋10＝30， 当且仅当，即x＝100时取等号． 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 97 (2)设月利润为W万元，则有W＝x－1 000－10x－＋13x－1 000， 由题知＋13x－1 000≥400，整理得x2＋130x－14 000≥0，解得x≥70． 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 98 谢 谢 ！ $