精品解析：河南郑州市中牟县河南衡水高考复读学校2026届高三下学期模拟预测（二）数学试题

高三预测（二） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】，则，解得， ， ， 的子集个数为：． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 4. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 270 B. C. 630 D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示5个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【详解】表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3， 此时的系数为； 从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为， 所以展开式中的系数为． 6. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 7. 已知函数，若为在区间上的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将原式辅助角变形为，由零点得；根据的性质，结合取值范围排除，得到，再配凑，利用诱导公式与余弦二倍角代入求值． 【详解】由题意得，其中，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 ． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，，渐近线的斜率的绝对值为， 所以，因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科技公司为了研究在大语言模型（LLM）领域每月的研发投入x（单位：百万元）与模型推理性能得分y（单位：分）之间的关系，技术团队收集了近12个月的实验数据作为样本，得到经验回归方程．已知平均每月研发投入为20百万元，平均推理性能得分为130分，则下列说法正确的是（ ） A. B. x与y正相关 C. 当某月研发投入为30百万元时，推理性能得分约为170分 D. 根据该模型，若研发投入翻倍，推理性能得分也一定翻倍 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点算出，由判定正相关，代入预测，再根据一次函数非正比例特征排除D． 【详解】对于A，，，所以，解得，A正确； 对于B，因为，所以x与y正相关，B正确； 对于C，令，可得，C正确； 对于D，由题意得时，，而时，，推理性能得分并没有翻倍，D错误． 10. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 11. 在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面，则三棱锥的体积为 B. 球的半径为1 C. 若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为 D. 设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】作和分别垂直，得到，结合体积公式，可判断A错误；取为的中点，且为外接球的球心，求得球的半径，可判定B正确；取，连接，在中，利用余弦定理，求得，可判定C正确；根据向量的运算法则，求得的取值范围，得到球心到的距离的取值范围，结合圆的弦长公式，可判定D正确. 【详解】对于A，作垂直于点，垂直于点，所以， 当平面平面时，三棱锥的体积，所以A错误； 对于B，设为的中点，根据直角三角形的性质，可得， 即为外接球的球心，可得球的半径为，所以B正确； 对于C，如图1所示，取，且， 连接，则，且与BD的夹角，即为， 因为，所以， 在中，，且， 由余弦定理得， 又因为，所以，所以C正确． 对于D，取的中点，连接， 如图2所示，过点分别作垂足分别为 因为分别为的中点，且， 在直角中，可得， 同理可得，所以， 设向量夹角为，可得， 又因为，可得 ， 因为，可得，所以，即 又由球心到的距离为，可得， 则截得的弦长为， 所以直线被球所截得的长度的取值范围为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 【答案】3 【解析】 【详解】由题设，不妨设，所以， 又，则，故准线方程为， 所以点P到C的焦点的距离为． 13. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC经过点，直角边AB，AC分别经过点，，则面积的最大值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】分别在以及中利用正弦定理表示，再利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为三角形为等腰直角三角形，所以. 如图，设，则． 在中，由正弦定理得，， 所以． 在中，由正弦定理得，， 所以． 所以，等号在时取到， 此时面积的最大值为． 14. 若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小． 【详解】设直线l与的图象相切于点， 直线l与的图象相切于点， 则，，得，得 ，令，则，， ，故， 设，显然为的一个零点，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 而，，， 的两根位于两侧，已知一根为1， 另一根位于区间内， 当时，， ，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 的最大值为2． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【小问1详解】 由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 16. 已知函数，其中，． （1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，参变分离，构造函数求最值即可． （2）转化为的最小值小于0，得到，再求以b为自变量的函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 依题意，等价于，． 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 ，设，则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以， 所以． 设，则， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 17. 如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面，因为平面，所以， 在直角中，，，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以， 因为且，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到平面，证得，再由，证得，得到平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，根据，求得，得到，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作直线，以为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 则，，， 设，则， 由（1）知，所以，即，得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆的长轴长为4，点在C上． （1）求C的方程； （2）点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设，直线PM的方程为，直线PN的方程为， 因为直线PM、PN均与圆相切，所以， 将上式两边同时平方后整理得，，， 为方程的两根， 所以，又，所以，所以． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件求解即可； （2）（ⅰ）设出直线PM方程，根据相切构造同解方程即可求出； （ⅱ）设出直线MN方程，代入，再联立直线与椭圆的方程，求得，最后求解出． 【小问1详解】 由题意得，，故， 将点代入椭圆方程，解得， 所以C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设，直线， 则， 化简得，．（*）． 由消去y，得， 由，可得， 则， 代入（*）式，得， 化简得，，所以m=0或， 若，则直线过点， 这意味着三点共线，那么直线与为同一条直线， 这与题设‘过点作两条（不同的）直线’矛盾，故舍去. 所以，所以． 19. 现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． （1）在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； （2）在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； （3）在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）分类列举计算概率即可． （2）设i号箱子中是两个红球和一个黑球的概率，利用全概率公式列出递推式为，求出，再分别求出，，，即可求得期望． （3）求出第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率，再求剩下箱子中的两个小球颜色均相同的概率． 【小问1详解】 设“第一轮操作结束后，2号箱子中是2个红球”为事件A， 若2号箱子中是2个红球，则应从1号箱子中取出红球，从2号箱子中取出黑球， 若放入1号箱子的是红球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 若放入1号箱子的是黑球，则从1号箱子取出红球的概率为，从2号箱子取出黑球的概率为， 所以． 【小问2详解】 由题意得，X的所有可能取值为0，1，2， 设从第i号箱子中取出球之前，该箱子中是两个红球和一个黑球的概率为， 则， 所以， 又因为，所以，所以， 即，所以． 所以，，， 所以． 【小问3详解】 第一轮操作结束后，共有k个箱子中小球颜色相同的概率为， 则第二轮操作结束后，所有箱子中小球颜色均相同的概率． 设“第二轮操作结束后，所有箱子中的两个小球颜色均相同”为事件B， 则． 因为， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三预测（二） 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 270 B. C. 630 D. 6. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若为在区间上的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科技公司为了研究在大语言模型（LLM）领域每月的研发投入x（单位：百万元）与模型推理性能得分y（单位：分）之间的关系，技术团队收集了近12个月的实验数据作为样本，得到经验回归方程．已知平均每月研发投入为20百万元，平均推理性能得分为130分，则下列说法正确的是（ ） A. B. x与y正相关 C. 当某月研发投入为30百万元时，推理性能得分约为170分 D. 根据该模型，若研发投入翻倍，推理性能得分也一定翻倍 10. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面，则三棱锥的体积为 B. 球的半径为1 C. 若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为 D. 设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________． 13. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC经过点，直角边AB，AC分别经过点，，则面积的最大值为_________． 14. 若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16. 已知函数，其中，． （1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的长轴长为4，点在C上． （1）求C的方程； （2）点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值，并求出该定值； （ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长． 19. 现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束． （1）在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率； （2）在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望； （3）在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $