精品解析：2026年湖南株洲市株洲县渌口镇水口中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 某平台交易额突破2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是（ ） A. 平移 B. 翻折 C. 旋转 D. 缩小 6. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个正五边形一定互为位似图形 B. 物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C. 取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D. 经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 10. 下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：______． 12. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以 ____________ ． 13. 因式分解：___________． 14. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为_____米． 15. 如图，，与分别相切于点，，，相交于点，是上一点，，，则的面积是 _________________． 16. 如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 20. 学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训．根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图（如图①和如图②，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种球类中某种球类的学生人数） 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）参加篮球队的有 人，参加足球队的人数占全部参加人数的 %． （2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 度． （3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸球的方式确定参加权，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球（不放回），小虎再随机地摸出一球，若小明摸出的小球所标数字比小虎摸出的小球所标的数字大，则小明参加，否则小虎参加，请通过画树状图（或列表法）分析这种规则对双方是否公平？ 21. 如图，在矩形中，，， （1）在图中作出线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； （2）连接，四边形是什么特殊图形，并求出四边形的面积． 22. 项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 23. 已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P． （1）若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度； （2）若点是线段的中点，求点P的坐标； （3）若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答） 24. 如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果是的中点，求的值； （3）连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴上数的表示与相反数的几何意义，解题的关键是确定点表示的数的范围，进而分析的范围． 先判断点表示的数的范围，再计算的范围，结合数轴上点的位置确定对应点． 【详解】解：由数轴可知，点在与0之间，即：， 将不等式两边同时乘以，得：， 观察数轴： 点表示，不满足； 点在与之间，不满足； 点在0与1之间，不满足； 点在0与2之间，满足． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则判断A；根据合并同类项的法则判断B；根据积的乘方法则判断C；根据同底数幂的除法法则判断D． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3. 某平台交易额突破2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：亿． 故选：A． 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：根据三视图的定义，其俯视图是 ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三视图，牢记三视图的定义（对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图）是解题的关键． 5. 一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是（ ） A. 平移 B. 翻折 C. 旋转 D. 缩小 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移、翻折、旋转的性质得到变换后的图形与原图形全等，缩小不是全等变换，变换前后的图形不全等．由此即可得到结论． 【详解】三角形经过平移、翻折、旋转后，所得三角形与原三角形全等， 把一个三角形缩小后，所得三角形与原三角形不全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等变换．掌握常见的全等变换是解答本题的关键． 6. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数为， 故选：B． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得反比例函数经过的象限和每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个正五边形一定互为位似图形 B. 物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C. 取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D. 经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形、影子形成、中点四边形和矩形性质．选项A错误，因为位似图形需要特定位置关系；选项B错误，因为影子长度还受光源和物体距离影响；选项C错误，因为菱形的中点四边形是矩形，不一定是菱形；选项D正确，因为矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分面积． 【详解】选项A：两个正五边形不一定位似，因为位似要求对应点连线交于一点，而正五边形可能旋转或平移； 选项B：影子长度还取决于物体与光源的距离和角度，不仅与高度有关； 选项C：连接菱形四边中点所得四边形，对边平行于对角线，由于菱形对角线垂直，中点四边形是矩形，但只有当对角线相等时才是菱形，故不一定． 选项D：∵ 矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，∴ 经过该点的任意直线将矩形分成两个全等图形，面积相等，故选项D正确． 故选D． 10. 下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂公式计算即可． 【详解】． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以 ____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式方程的两个分母分别为和，则该分式方程的最简公分母为， 因此把分式方程化为整式方程，方程两边需同乘以． 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 15. 如图，，与分别相切于点，，，相交于点，是上一点，，，则的面积是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】由、分别切于、，由切线的性质，即可得，，又由圆周角定理，求得的度数，进而求得的大小，由切线长定理，可求得的度数，求得的度数，易得是的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得与的长，从而求得答案． 【详解】解：、分别切于、， ，， ， ， ， 、分别切于、， ，，， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， 即，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 的面积为：． 16. 如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为______； （2）若点F是的中点，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，18题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】． 【解析】 【分析】牢记不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：． ∴原不等式组的解集是：． 19. 某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A，B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】（1）A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）B型文创用品最多可以购买25件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得，求解即可； （2）设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品，根据题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； 【小问2详解】 解：设购买m件B型文创用品，则购买件A型文创用品， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为25， 答：B型文创用品最多可以购买25件． 20. 学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训．根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图（如图①和如图②，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种球类中某种球类的学生人数） 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）参加篮球队的有 人，参加足球队的人数占全部参加人数的 %． （2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 度． （3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸球的方式确定参加权，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球（不放回），小虎再随机地摸出一球，若小明摸出的小球所标数字比小虎摸出的小球所标的数字大，则小明参加，否则小虎参加，请通过画树状图（或列表法）分析这种规则对双方是否公平？ 【答案】（1）， （2） （3）这个规则对双方公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据折线图与扇形图首先根据参加乒乓球队的人数与百分比得出总人数，再利用扇形图即可得出参加篮球队的人数，以及参加足球队的人数占全部参加人数的百分比； （2）求出喜欢排球队的人数所占百分比，然后乘以，即可得出所占的圆心角的度数； （3）利用画树状图法得出小虎参加的概率以及小明参加的概率，然后判断即可． 【小问1详解】 解：∵结合折线图与扇形图，得出参加乒乓球队的人数为，占总数的， ∴总人数为：（人）， ∴参加篮球队的有：（人）， 参加足球队的人数占全部参加人数的：， 故答案为：， 【小问2详解】 解：， ∴喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度； 故答案为： 【小问3详解】 解：树状图如下： ∵共有种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明参加的结果是种， ∴小明参加的概率，小虎参加的概率， ∵， ∴这个规则对双方公平． 【点睛】本题主要考查了折线图与扇形统计图，游戏的公平性以及利用树状图求概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 如图，在矩形中，，， （1）在图中作出线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； （2）连接，四边形是什么特殊图形，并求出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，四边形的面积． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质，勾股定理． （1）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径画弧交于点，，作直线，分别交边，于点，； （2）如图，交于点，由作图得到垂直平分，所以，，再证明得到，然后根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形进行判定；设菱形的边长为，则，，在中利用勾股定理求得，最后根据菱形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图，即为所作的图形； 【小问2详解】 解：四边形为菱形．理由如下： 如图，交于点， 由作法得垂直平分， ，， 四边形为矩形， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ∵， 四边形为菱形； 设菱形的边长为，则，， 在中，， 解得， 即， 四边形的面积． 22. 项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【解析】 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 23. 已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P． （1）若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度； （2）若点是线段的中点，求点P的坐标； （3）若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与坐标轴交点，属二次函数综合题目，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围． （1）把代入抛物线，令求得、坐标，进而得到的长度； （2）根据题意得顶点的坐标为，然后设代入，得点的横坐标为，求得函数的解析式，把点的坐标代入得，从而求得函数的解析式； （3）把抛物线化为顶点式：，求得其顶点坐标，设，然后表示出，根据求得的值，然后表示出、的值从而表示出的面积，进而求得面积的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入抛物线，得： ，即， 令，得：， 解得：，， ； 【小问2详解】 解：依题意得顶点的坐标为， 设据，得点的横坐标为，即， 所以，把点的坐标代入得， 即点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 把抛物线化为顶点式：， 可知，设， 把代入得， ，， ， 即， 或， 又点不与端点、重合， ， 即， 则， 由可得， ， ， 的面积， 边长为正数， ，， ， ． 24. 如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果是的中点，求的值； （3）连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合已知条件，可推导四边形是平行四边形，又有邻边相等，即证四边形是菱形； （2）连接交于点，根据是的中点，可知，从而得到是等边三角形，最后结合菱形的性质以及等边三角形的边角关系即可解答； （3）已知的半径是2，且是等腰三角形，分三种等腰三角形的情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接、， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点， 是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，平分，，， ，， 在中，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：若的半径，设， 由（1）知，，，连接， 当是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 则,， 由三角形内角和定理可得，，解得， ， 根据勾股定理得， 故； ②当时， 则， ， ， ， 即，解得，不符合题意，舍去； ③如图，当时， ， ， ， ，， ， ， 即， 设，则， ， 即， 解得，（舍）， ， 四边形是菱形， ． 综上，边的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $