6.4.3 余弦定理、正弦定理 测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本练习以余弦定理、正弦定理为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一公式应用到实际问题解决的进阶，培养数学运算、推理能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|余弦/正弦定理直接应用、三角形形状判断|单选题1-5（如已知三边求最大角）、填空题12-13（如三角形解的个数），强化公式记忆与基本运算| |能力提升|多命题判断、实际测量问题、面积与外接圆综合|单选题6-8（如云外楼高度测量）、多选题9-11（如周长面积最值），培养几何直观与逻辑推理| |综合应用|复杂图形计算、动态问题与最值探究|解答题15-19（如两山顶距离测量、角平分线与面积关系），提升综合建模与问题解决能力|

2025--2026学年第二学期高一数学余弦定理、正弦定理测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（     ）． A． B． C． D． 2．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 4．记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 6．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（   ） ①若，则定为等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形； ⑤动点的轨迹一定通过的内心． A． B． C． D． 7．云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形只有1个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 10．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （    ） A． B．若， ，则有两解 C．当时为直角三角形 D．的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 13．已知中，，，则满足三角形有两个解的的取值范围______． 14．在中，内角的对应边分别为，满足且的面积为，则的值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 16．本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．本小题15分如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. (1)求的长度； (2)求，之间的距离. 18．本小题17分在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 19．本小题17分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)已知D为边上的一点，，且.记，的面积分别为，，若，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得， ， ． 2．A 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 3．B 【分析】根据三角形的面积公式，及余弦定理即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 4．A 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 5．A 【详解】由余弦定理得：，又因为， 所以. 6．C 【分析】逐一结合三角函数性质、余弦定理、向量线性运算及三角形五心的向量特征判断各命题正误，统计正确命题个数即可. 【详解】 对①，在中，由得或， 即或，故为等腰三角形或直角三角形，故①错误； 对②，由余弦定理得，已知，且，故， 又，则，即为钝角，为钝角三角形，故②正确； 对③，由，移项得，即， 故，如图所示：    与同高，面积比等于底边长之比，因此，故③错误； 对④，若，则为的重心； 若，则为的外心， 当三角形的重心与外心重合时，为等边三角形，故④正确； 对⑤，由得， 其中、分别为、方向上的单位向量， 二者和的方向与的角平分线方向一致， 故动点的轨迹为的角平分线，必过的内心，故⑤正确； 综上，正确命题为②④⑤，共个，故C正确. 7．D 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 8．A 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 9．ACD 【分析】利用正弦定理求解判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于A，外接圆半径，该圆面积为，A正确； 对于B，由正弦定理得，而，因此有两解，B错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，C正确； 对于D，由选项C得，， 当且仅当时取等号，则，因此周长的最大值为. 10．AB 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 11．AC 【分析】利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简求解即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；通过余弦定理及可得或（舍），再利用正弦定理即可判断C；化简得，结合的取值范围即可判断D. 【详解】对于A， ， 由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，所以，所以， ，， 即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，整理得， 由，所以或（舍），即有一解，故B错误； 对于C，因为，所以， 两边平方得，即， 由余弦定理得， 所以，即，解得或（舍）， ，则，由正弦定理有，解得， 故为直角三角形，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，所以，所以， 所以的取值范围是，故D错误. 12．1 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 13． 【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足，代入即可求得边的取值范围. 【详解】如图，，，垂线段， 由正弦定理知，三角形有两个解， 则满足，即， 所以的取值范围为. 14．/ 【分析】利用余弦定理根据已知的三边关系式建立与的关系，再通过三角形面积公式建立与的关系，通过同角的平方关系得到的关系，代入即可计算． 【详解】因为，根据余弦定理； 又因为，解得：； 因为，故， 化简得：，即， 即，解得或（舍去）； 代入可得，因为，故． 15．(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理，得； （3）因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1） 在中，利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理即可求得的长度； （2） 在中，利用正弦定理求出的长度，进而得到的大小，最后在中利用余弦定理求得的距离. 【详解】（1）在中，由题意可知，， 所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为． （2）在中， 因为点测得的俯角为，所以， 则． 由正弦定理得， 即． 在中，， 由余弦定理得 ， 所以． 故之间的距离为． 18．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）根据题意由角平分线定理得，结合三角形面积之间的关系分析求得，再由面积公式计算. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 即， 所以，又，所以； （2）因为，所以为角的平分线，由（1）知， 所以， 所以， ， 因为，所以，所以， 在和中，由余弦定理得： ， ， 由角平分线定理得， 所以，即， 将代入得，解得，则， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $