第一章 第2课时 常用逻辑用语 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“常用逻辑用语”专题，依据高考评价体系梳理了充分条件、必要条件、充要条件的判定与应用，全称量词与存在量词的意义及命题否定两大核心考点，通过教材改编题、近三年模拟题分析，明确“充分必要条件判定”占50%、“量词命题否定”占30%的高频考点分布，归纳选择、填空、证明三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的备考策略，如以2025天津卷“sin2x=0”的条件判定为例，提炼“定义法+集合法”双路径解题技巧，培养学生逻辑推理素养。特设“二级结论速记”（集合角度理解充分必要性）和“易错陷阱警示”（量词命题否定的“改量词否结论”规律），帮助学生高效掌握答题技巧，教师可据此精准定位学生薄弱点，实现针对性复习。

第2课时　常用逻辑用语 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 [考试要求]　 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 第2课时　常用逻辑用语 2 1．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 以题引理·激活思维 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 3 B　[因为⇒a>b，⇒a<b，所以ac>bc a>b， 而由a>b ac>bc，所以“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故A，C错误．又⇒a＝b， a＝b，所以由ac＝bc a＝b，由a＝b⇒ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故B正确，D错误．故选B．] 4 2．(苏教版必修第一册P47T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) A　[因为命题“∀x∈R，x2＋1≥m”是真命题， 所以m≤(x2＋1)min，又因为y＝x2＋1≥1， 所以(x2＋1)min＝1，所以m≤1．故选A．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 5 3．(多选)(人教A版必修第一册P29探究改编)下列说法正确的是(　　) A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 B．命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题 C．命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定是真命题 D．命题“有一个偶数是素数”是真命题 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 6 BD　[命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题； 命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题，所以该命题是真命题； 命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”，如x＝－1，所以该命题是真命题，故其否定是假命题； 命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题．故选BD．] 7 4．(北师大版必修第一册P45复习题一A组T1(3)改编)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－3<x< <x<3 C．－1<x<3 D．<x<3 C　[不等式2x2－5x－3<0的解集是是(－1，3)的真子集，所以“－1<x<3”是“不等式2x2－5x－3<0成立”的一个必要不充分条件，故选C．] √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 8 5．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)若集合A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，B＝{x|3－m≤x≤5＋m}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________________． [5，＋∞)　[A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}， 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 所以A是B的真子集，故解得m≥5， 所以实数m的取值范围是[5，＋∞)．] [5，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 9 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件 p是q的__________条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 ____________ p是q的充要条件 ______ p是q的________________条件 p q且q p 充分 必要 充分不必要 p⇔q p q且q⇒p 既不充分也不必要 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 10 [二级结论]　从集合的角度理解充分必要性 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔A⫋B； (2)p是q的必要不充分条件⇔A⫌B； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 11 2．全称量词命题与存在量词命题   全称量词及其命题 存在量词及其命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 __________________ ____________________ ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 12 1．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 2．充分、必要条件的常用判定方法：定义法、集合法和等价转化法． 3．“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且B A． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 13 考点一　充分、必要条件 考向1　充分、必要条件的判定与探求 [典例1]　(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 精研考点·提升素养 √ √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 14 (1)A　(2)AC　[(1)由x＝0，得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0，得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立．所以“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A． (2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．] 15 考向2　充分、必要条件的应用 [典例2]　(2025·吉林延边一模)若“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是(　　) A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0 √ B　[由“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”， 得{x|0≤x<1}⊆{x|x≥m}，但{x|0≤x<1}≠{x|x≥m}， 所以m≤0．故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 16 考向3　充分、必要条件的证明 [典例3]　证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件． [证明]　充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根．设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，故充分性成立． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 17 必要性：若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则m<0，证明如下：设方程x2－2x＋m＝0的一正一负根分别为x1，x2， 则解得m<0， 所以若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，解得m<0，故必要性成立．所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件． 18 名师点评：(1)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验； (2)充要条件的证明要落实充分性和必要性两个层面的证明，特别注意逻辑推理的方向性． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 19 [巩固迁移] 1．(2025·上海三模)a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件(　　) A．3a>4b B．a2>b2 C．a>|b| D．2a>3b √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 20 C　[对于A，若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不是充分条件； 对于B，当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，所以B不是充分条件； 对于C，若a>|b|，又因为|b|≥b，所以a>b，所以C是充分条件； 对于D，a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不是充分条件．故选C．] 21 2．(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　) A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 22 BC　[对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝ －16<0，方程没有实数根，故A错误； 对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0， 即－2<a<6， 所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2<a<6}的子集， 显然－2<a<4符合，故B正确； 23 对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得a>6，故C正确； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得a<－3，故D错误． 故选BC．] 24 3．请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答． 已知集合A＝，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}，且x∈A是x∈B的______条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 25 [解]　由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝， 由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝． 若选择条件①，则集合A是B的真子集， 得解得m≥4． 26 当m＝4时，B＝，A⫋B，符合题意． 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得 解得0<m≤3． 当m＝3时，B＝，则B⫋A，符合题意． 若选择条件③，则集合A＝B，得 无解，所以不存在满足条件③的实数m． 27 【教用·备选题】 1．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 28 2．“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－ B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 √ D　[ln(x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”．故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 29 3．(2025·浙江绍兴二模)已知集合A，B，C均为非空集合．若a∈B是a∈A的充分不必要条件，a∈A是a∈C的充分不必要条件，则a∈B是a∈C的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ A　[由a∈B是a∈A的充分不必要条件，即B是A的真子集，由a∈A是a∈C的充分不必要条件，即A是C的真子集， 所以B是C的真子集，即a∈B是a∈C的充分不必要条件． 故选A．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 30 4．已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a≥ C．a>2 D．0<a≤2 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 31 A　[命题p：1<2x<4，即p：0<x<2， 因为p是q的充分不必要条件， 显然当x＝0时，满足q：x2－ax－1<0， 所以当0<x<2时，x2－ax－1<0恒成立， 则a>x－在0<x<2上恒成立， 又函数f 在(0，2)上单调递增，且f (2)＝，所以a≥． 故选A．] 32 5．(2026·浙江台州模拟)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数． (1)若x∈A是x∈B的充要条件，则b＝________； (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________． (1)　[(1)由已知可得A＝B， 则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝． (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⫋B， 所以所以b>，则b的取值范围是．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 33 6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0． [证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根， 所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 34 ②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． 综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0． 35 考点二　全称量词与存在量词 考向1　含量词命题的否定及真假判断 [典例4]　(1)(2026·湖南长沙模拟)命题“∀x∈R，ex≤x＋1”的否定是(　　) A．∃x∉R，ex>x＋1 B．∃x∈R，ex>x＋1 C．∀x∉R，ex≤x＋1 D．∃x∈R，ex≥x＋1 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 36 (2)已知p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0；q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0．若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为(　　) A．[－3，4] B．(－3，4] C．(－∞，－3) D．[4，＋∞) √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 37 (1)B　(2)A　[(1)命题“∀x∈R，ex≤x＋1”的否定是“∃x∈R，ex>x＋1”．故选B． (2)由题意知，p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0为假命题， 则¬p：∃x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题， 当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，开口方向向上， 此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3． 又q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，即Δ＝16－4a≥0， 解得a≤4．综上，a的取值范围为[－3，4]．] 38 考向2　含双量词成立问题 [典例5]　已知f (x)＝x2－2x－1，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． (1，2) 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 39 (1，2)　[当x∈[－1，2]时，f (x)＝(x－1)2－2，则f (x)max＝f (－1)＝2， 因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)<g(x2)成立，因此函数f (x)在[－1，2]上的最大值小于函数g(x)在[2，4]上的最大值， 而当0<a<1时，x∈[2，4]，logax<0，不符合题意， 于是a>1，函数g(x)＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4>2，即1<a2<4，解得1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2)．] 40 名师点评：含量词命题的解题策略 (1)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． (2)一般地，已知函数y＝f (x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]． ①若∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，总有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)max<g(x)min； ②若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)max<g(x)max； ③若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)min<g(x)min． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 41 [巩固迁移] 4．(2026·陕西西安模拟)若p：∀x>0，ln x＋x2＋2>0，则(　　) A．p是真命题，且¬p：∃x>0，ln x＋x2＋2≤0 B．p是真命题，且¬p：∃x≤0，ln x＋x2＋2≤0 C．p是假命题，且¬p：∃x>0，ln x＋x2＋2≤0 D．p是假命题，且¬p：∃x≤0，ln x＋x2＋2≤0 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 42 C　[因为当x＝时，ln x＋x2＋2＝－3＋－1<0，所以p是假命题， 因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以¬p：∃x>0，ln x＋x2＋2≤0．故选C．] 43 5．若命题“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是_________________． 　[若“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“∀x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．令f (x)＝， 由x∈， 所以f (x)min＝f (4)＝－，所以λ≤－．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 44 6．已知函数f (x)＝与g(x)＝x2－2ax＋4(a>0)，若对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________________． 　[因为f (x)＝为减函数，x1∈(0，1)， 故f (x1)∈． 对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)， 所以f (x1)的值域是g(x2)值域的子集． 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 45 ①当0<a<2时，g(x)min＝g(a)＝4－a2≤，解得≤a<2， 此时g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立． ②当a≥2时，函数g(x)在[0，2]上单调递减， g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立， g(x)min＝g(2)＝8－4a≤，解得a≥，即a≥2． 综上所述，a∈．] 46 【教用·备选题】 (2026·云南昆明模拟)已知命题：“∃x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2] C．(－∞，1] D． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 47 A　[已知命题“∃x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1<0”为假命题，可知其否定“∀x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1≥0”为真命题． 由2x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)， 得a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立． 在2x＋中，因为x>0，则2x＋，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立． 因为a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤2， 所以实数a的取值范围是(－∞，2]．故选A．] 48 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(二)　常用逻辑用语 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(2026·天津模拟)设a，b∈R，则“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 50 B　[由a2＋a＝b2＋b，得a2－b2＋a－b＝(a－b)·(a＋b＋1)＝0，得a＝b或a＋b＋1＝0，所以“a2＋a＝b2＋b”不是“a＝b”的充分条件， 反过来，a＝b能推出a2＋a＝b2＋b，“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要条件． 所以“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要不充分条件． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 51 3．已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2．故选D．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 52 4．(2025·辽宁沈阳一模)若命题“∃x∈R，sin x<a”是假命题，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[因为“∃x∈R，sin x<a”是假命题，所以“∀x∈R，sin x≥a”是真命题；即a要小于等于sin x的最小值，又当x∈R时，sin x∈ [－1，1]，故a≤－1．故选C．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 53 5．(2026·湖南长沙模拟)设a为常数，命题p：∃x∈[0，1]，a－2x≤0，则p为真命题的充要条件是(　　) A．a≥1 B．a≤1 C．a≥2 D．a≤2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[由p为真命题，则当x∈[0，1]时，a－2x≤0能成立，即a≤2x能成立，所以a≤(2x)max＝2．故选D．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 54 6．关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是(　　) A．m< C．m<－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解， 则Δ＝1－4m≥0，解得m≤， 结合选项可知m≤的一个必要不充分条件的是m<．故选A．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 55 7．(2025·河北石家庄一模)如果ab>0，那么“a>b”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 56 C　[若ab>0，a>b，则b－a<0， 则<0，即，充分性成立； 若ab>0，<0， 所以b<a，必要性成立， 所以如果ab>0，那么“a>b”是“”的充要条件．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 57 8．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，命题q：∃x<0，x2＝x3，则 (　　) A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题 C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[对于命题p，因为x2－x＋1＝>0，所以p是真命题；对于命题q，由x2＝x3可得x＝0或x＝1，所以q为假命题，则¬q是真命题．故选B．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 58 二、多项选择题 9．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．m>－2 B．m>－1 C．m>0 D．m>1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 59 CD　[由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0， 即m>－1， 当－1＝0，即x＝1时，的最小值为－1，故m>－1，所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 60 10．(2025·河北保定三模)已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1<x<3}，则下列结论正确的是(　　) A．∃a∈R，A∩B＝A B．∃a∈R，A∩B＝B C．∀a∈R，A∩B≠⌀ D．∃a∈R，A∪(∁RB)＝R 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 61 BCD　[已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1<x<3}， 当a>0时，A＝；当a＝0时，A＝R； 当a<0时，A＝． 对于A，由对集合A分析知A∩B≠A，故A不正确； 对于B，当a＝－1时，A＝(－∞，6)，此时A∩B＝B，故B正确； 对于C，由对集合A分析知∀a∈R，A∩B≠⌀，故C正确； 对于D，当a＝2时，A∪(∁RB)＝R，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 62 11．(2026·湖北武汉模拟)使关于a，b的不等式ab＋1>a＋b成立的充分不必要条件是(　　) A．a>1且b>1 B．a<1且b<1 C．|a|<1且|b|<1 D．|a|>1且|b|>1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 63 ABC　[不等式ab＋1>a＋b等价于(a－1)(b－1)>0， 即 对于A，由a>1且b>1能推出 不能推出a>1且b>1，故A符合题意； 对于B，由a<1且b<1能推出反之不能，故B符合题意； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 64 对于C，|a|<1且|b|<1等价于－1<a<1且－1<b<1， 故|a|<1且|b|<1能推出反之不能，故C符合题意； 对于D，|a|>1且|b|>1等价于a>1或a<－1且b>1或b<－1， 故|a|>1且|b|>1不能推出故D不符合题意．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 65 三、填空题 12．(2025·辽宁抚顺二模)命题p：“∃x∈[－1，3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－1)　[由题意，¬p：∀x∈[－1，3]，x2－2x－m>0为真命题，所以m<x2－2x，当x∈[－1，3]时恒成立， 又y＝x2－2x在x∈[－1，3]上的最小值为－1， 所以m<－1， 所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．] (－∞，－1) 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 66 13．(2026·江西宜春模拟)已知命题p：∀x∈R，x2＋4x＋a＋1>0，且p为真命题时，a的取值集合为A．设B＝{x|2m<x<2＋m}为非空集合，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 67 　[依题意，关于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0恒成立， 所以Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3， 所以实数a的取值的集合A＝{a|a>3}． 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件， 所以B为A的真子集． 又B＝{x|2m<x<2＋m}为非空集合， 所以≤m<2， 所以实数m的取值范围为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 68 14．已知f (x)＝x2，g(x)＝－m．若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 　[当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m． 由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥．] 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 69 15．已知f (x)＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题： p1：x＝是f (x)的零点； p2：x＝2是f (x)的零点； p3：f (x)的两个零点之和为1； p4：f (x)有两个异号零点． 若只有一个假命题，则该命题是(　　) A．p1 B．p2 C．p3 D．p4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 70 A　[由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题． 若p1是假命题，p2，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意； 若p2是假命题，p1，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝，此时p4为假命题，不符合题意． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 71 16．已知集合A＝{x|x(x－4)≥0}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}． (1)若∀x∈A，均有x∉B，求实数a的取值范围； (2)若a>2，设p：∃x∈B，x∉A，求证：p成立的充要条件为2<a<3． 2025课标新变化：借助逻辑用语进行数学论证和交流． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 以题引理 精研考点 课后作业 第2课时　常用逻辑用语 72 [解]　(1)A＝{x|x(x－4)≥0}＝{x|x≤0，或x≥4}． 因为∀x∈A，均有x∉B，所以A∩B＝⌀． 当a≤2时，B＝⌀，满足题意； 当a>2时，解得－1≤a≤，所以2<a≤． 综上，a≤，即a的取值范围是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 73 (2)证明：充分性：当2<a<3时，则3<a＋1<4，3<2a－1<5， 所以当x∈(a＋1，4)时，x∈B，x∉A，所以∃x∈B，x∉A为真命题，充分性成立； 必要性：若p：∃x∈B，x∉A为真命题，则¬p：∀x∈B，x∈A为假命题． 先求¬p：∀x∈B，x∈A为真命题时a的取值范围， 因为a>2，所以B≠⌀，由¬p：∀x∈B，x∈A，得B⊆A． 则2a－1≤0或a＋1≥4，解得a≤或a≥3，所以a≥3． 因为¬p：∀x∈B，x∈A为假命题，所以2<a<3． 综上，若a>2，则p成立的充要条件为2<a<3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 74 谢 谢 ！ $