第6章变量之间的关系单元试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以现实情境为载体，覆盖变量关系核心知识，通过汽车耗油、叠碗高度等实例考查数学建模与图像分析能力，适配七年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|常量变量、图像分析|结合钓鱼线拉力、容器放水等情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|6题/18分|函数关系式、表格数据|通过弹簧长度、矩形菜园等问题，培养推理意识| |解答题|6题/52分|图像信息提取、建模应用|设计轿车耗油、骑行距离等综合题，强化模型意识与应用能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册第6章 变量之间的关系单元试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（    ） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 2．（本题3分）一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 3．（本题3分）如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 4．（本题3分）在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 7．（本题3分）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 8．（本题3分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A．B．C．D． 9．（本题3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 10．（本题3分）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）球的表面积S与半径R之间的关系是． 对于各种不同大小的球，请指出公式中变量是_______． 12．（本题3分）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 13．（本题3分）李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 14．（本题3分）甲、乙两车从城出发前往城，过程中，汽车离开城的距离与时刻的关系如图所示，则被墨水遮住的时刻是_____． 15．（本题3分）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 16．（本题3分）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 三、解答题（共52分） 17．（本题8分）长方体的底面积为，当长方体的高变化时长方体的体积也随之变化， (1)设长方体的体积为，长方体的高为，则与的关系是什么？ (2)当长方体的高每增加，长方体的体积如何变化？ 18．（本题8分）飞机飞行时距离地面的高度和相应高度处的气温有密切的联系．下面表格是飞机当日距离地面的高度（千米）与相应高度处的气温的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 根据上表，回答以下问题： (1)由上表可知距离地面的高度5千米的上空气温为_______； (2)求当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式． 19．（本题9分）一条公路旁分别分依次有三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，到达目的地村停止运动，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． (1)A，B两村相距___________km； (2)求甲、乙两人骑自行车的速度． 20．（本题9分）数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 … 10 12 14 16 … (1)当时，______； (2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示） (3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释） 21．（本题9分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 22．（本题9分）周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家离森林公园的距离是___________米； (2)小华在新华书店停留了___________分钟； (3)买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； (4)本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A A C B D B 1．C 【分析】在变化过程中，固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，根据题意判断各量是否变化，进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵铁丝总长度固定为，围成的长方形的周长等于铁丝的长度， ∴长方形的周长是固定不变的量， 故改变长方形的长时，长方形的宽会随之变化，长方形的面积也会随之变化， 因此长、宽、面积都是变量． 2．A 【分析】先根据题意得到函数关系式，再根据定义区分常量和变量． 【详解】解：∵剩余油量=原有油量-总耗油量，总耗油量=平均每千米耗油量×行驶路程 ∴根据题意得 根据定义：数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量 ∴本题中60和0.1是数值不变的量，和是数值变化的量，因此常量为60、0.1，变量为、，对应选项A． 3．A 【详解】解：当鱼还在水中时，钓鱼线的拉力不变； 随着鱼上浮，钓鱼线的拉力逐渐变大； 当鱼浮出水面时，钓鱼线的拉力不变． ∴钓鱼线的拉力与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述． 4．D 【分析】根据已知表示出买件礼盒超过100元部分的应付款，然后加上100元，即可得到总应付款，据此列式解答． 【详解】解：∵凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒件， ∴方方应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是：． 5．A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 7．C 【分析】本题考查了变量、自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据变量、自变量、因变量的定义，判断三角形个数与火柴棒根数的变化关系，逐一验证选项的正确性． 【详解】解：变量是变化的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量：三角形个数和火柴棒根数都在变化，故都是变量，故选项A正确； 是主动变化的三角形个数，是自变量； 随的变化而变化，是因变量，故选项B、D正确，选项C错误． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 10．B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 11．S和R 【分析】根据变量的定义，在变化过程中，数值发生变化的量称为变量，结合公式即可判断． 【详解】在公式中，是数值始终不变的量，是常量，对于不同大小的球，半径的数值发生变化，表面积的数值也随之发生变化，因此变量是和． 12． 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 13． 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 14． 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是从函数图象中获得正确的信息．先计算出甲、乙两车的平均速度，再设乙车出发小时后两车相遇，列出方程解答即可． 【详解】解：由图示知：，两城相距，甲车从出发，乙车从出发；甲车到达城，乙车到达城； 乙车的平均速度为：， 甲车的平均速度为：， 设乙车出发小时后两车相遇， 根据题意，得， 解得：； 所以甲、乙两车相遇时，对应的值是． 故选：． 15．720 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． 16． 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 17．(1) (2)长方体的体积增加 【详解】（1）解：长方体的体积为与长方体的高为的关系式为：； （2）解：当长方体的高每增加，长方体的体积， 所以当长方体的高每增加时，长方体的体积增加． 18．(1) (2) 【分析】（1）由表格直接可得结果； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律得出答案． 【详解】（1）解：由表格得距离地面的高度5千米的上空气温为； （2）解：从表格中两个变量的变化对应值的变化规律可知，海拔高度每升高1千米，气温就减少， 所以当日飞机飞行时的气温t与距离地面的高度h之间的关系式为． 19．(1) (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用． （1）当时，由图可知、两村的距离； （2）根据函数图象，得出当时，设甲，乙的速度分别为，，根据得出，进而根据当时，甲到达村，则根据相遇后乙的路程除以时间得出速度，即可求解． 【详解】（1）解：当时，由图可知，即、两村相距； 故答案为：． （2）解：当，甲、乙相距， 此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当时，甲到达村， 设甲，乙的速度分别为，， ∴， ∴， ∵乙的速度为， ∴， 答：甲的速度为，乙的速度为． 20．(1)18 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米，据此求解； （2）由（1）求出一个碗的高度，然后表示出y即可； （3）将代入列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米， ∴当时，； （2）解：由（1）得，增加一个碗的高度为 ∴； （3）解：不可能，理由如下： 当时，得：， 解得：，不是整数 ∴y的值不可能是35厘米． 21．(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 22．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案． （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间． （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离＝运动速度运动时间，计算即可得到答案． （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是米； 故答案为：； （2）解：(分钟)， ∴小华在新华书店停留了分钟； 故答案为：； （3）解：小华从新华书店到森林公园的路程为(米)， 所用时间为(分钟)， ∴小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是：(米/分)； 故答案为：； （4）解：根据函数图象可知，小华一共行驶了(米)． 故答案为：． 答案第8页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $