安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量测评数学试题A卷

临化中学2025-2026学年（下)高一5月份教学质量测评 数学试题A卷 命题人：屈金涛 审题人：王露杰 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.（7.2.2导改)若复数z满足z(2-)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 2.(9.2.2导改)已知一组数据1,6，x,2,7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为() A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 3.(9.1.2导改)某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n等于() A.80 B.100 C.192 D.200 4.(6.2.4导改)已知a=(V3,1),设与五方向相同的单位向量为e,若a在五上的投影向量为v3e,则a与的夹 角0=() B. c 2π 6 4 D 3 5.(8.3.2限改)已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为() 1 A. 3 B.1 D.15 2 4 6.(6.4.3限)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°，且△ABC的面积为5V3, 则△ABC的周长为() A.8+V21 B.9+V21 C.10+21 D.14+√21 7.(6.3限改)已知向量a+b=(11),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为0，则() A.al =bl B.a∥c C.b Lc D.0=135° 8.如图，己知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径，点M,C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC 第1页 作平面a,使sB∥a,设a与sM交于点N,则的值为（) M 2 A. B. 3 1-2 c.3 D.3 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.(9.2.4导改)已知一组大小不等的数据x(i=1,2,3,…,n)的平均数为x,方差为s2,标准差为s,极 差为a,若y=-2x+3,则下列关于数据y:(i=1,2,3,…,n)的结论正确的是() A.平均数为-2x+3B.方差为4s2 C.标准差为-2s D.极差为-2a 10.(课本例题改)设复数z在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位，则下列说法正确的是() A.z2=|z2 B.若点Z坐标为(-1,3)，且z是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=12 C.若|z=1,则z=士1或z=士i D.若1≤|z-2i训≤V2,则点Z的集合所构成的图形的面积为π 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点P,Q分别在线段C1D,AC上，则下列说法正确的是（) A,异面直线DC和BC所成的角为 D B.直线BC与平面ABCD1所成的角等于 3 C.点C到平面ABC1D1的距离为2√2 D D.线段PQ长度的最小值为4目 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(教材习题6.3改)定义平面斜坐标系x0y,记Lx0y=120°，e1,e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量.若 OP=xe+y2,则称(x,y)为P的斜坐标.己知A,B的斜坐标分别为(1,2)，(2,1)，则AB= 13.(教材练习题)过△ABC所在平面外一点P,作P01平面ABC,垂足为O,连接PA,PB,PC.若PA1PB, PB1PC,PC1PA,垂足都为P,则点O是△ABC的心 14.已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,,若2 bcos C=ccos B,则，+1+1的最小 tanA tanB'tanc' 值为 共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (9.2.3导改)2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾 分类意识.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学 生的竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. 频率 个组距 0.035 0.025 0.020 5060708090100竞赛成绩/分 (I)求图中a的值： (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数. 16.(15分) (6.3限改)已知向量a,满足=2，=（√3，-3） ()求： (2)若a与b同向，求a的坐标； (3)若a-2=2V7,求a与d-2b的夹角0的余弦值. 第2页/共 17.(15分) (教材知识点)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)证明余弦定理：a2=b2+c2-2 bccos A. (②)证明正弦定理：品4=品。=品c b 18.(17分) (8.6限)如图，四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. (1)若AD1PB,证明：AD∥平面PBC: (2)若AD1DC,且二面角A-CP-D的正弦值为厘 ,求AD 7 D 19.(17分) 在如图所示的三棱锥P-ABC中，PM为高，N为PC的中点，MN∥平面PAB,AB=3,BC=4,AC=5. (1)求证：PB=PC (2)若PB=BC,PM=V3 ①求AB与平面PBC所成角的正弦值； ②求点A到平面PBC的距离. 2页临化中学2025-2026学年（下)高一5月份教学质量测评数学试题A卷【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 B D 0 A C 0 A 9 10 11 12 13 14 AB BD ACD 3 垂 2v7 3 1.【答案】B 【详解】2=14+71=11+702+0=15+251=3+5i,则z=3-5i. 2-i 5 5 2.【答案】D 【详解】己知一组数据1,2，x,6,7的平均数为4， 则1+2+x+6+=4,解得x=4. 5 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得1,2,4,6,7共5个数据， 由5×70%=3.5，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 3.答案C 解析因为80：1000=8：100，所以n:(200+1200+1000)=8:100,所以n=192. 4.【答案】A 【分析】根据投影向量定义结合向量夹角公式计算求解即可. 【详解】~a5方向上的授影响量为品-五=V3@, ÷a西=V3,:a=(3,1)=3+12=2 .c0s0= 品990g8 5.【答案】C 【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R,圆锥M的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得L= 3R,根据勾股定理求得h=2V2R,再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R, 圆锥M的母线长为l, 则4rR2=πR2+πlR,所以l=3R, 球0的体积为g,圆锥的商h=V一R=2V2R, 圆锥M的体积为·πR2.2V2R=2V2mR 3, 2V2πR3 所以圆维M的体积与球0的体积的比值为盖= .故选：C. 2 6.答案B 解析由题意及三角形的面积公式，得absin C-5√3，即ax5x35V3,解得4，根据余弦定理得c2=a+b. 2abc0sC-16+25-2x4×5×221,即c2i,所以△4BC的周长为9+V27. 第1页/共7页 7.答案D 解析根据题意知，b=(1,1),-=(-3,1),则=(-1,1)，b(2,0), 对于A,d=V2,Ib=2,则|d=b不成立，A错误； 对于B,=(-1,1),=(1,1),则a与c不平行，B错误： 对于C,b=(2,0),=(1,1),则b1c不成立，C错误； 对于D.1.1.62.0:则a6-2,a=i,1b=2,则cos0-号号又01s0,所以135，D正 8.【解析】连接MB交AC于点D,连接ND,NA,NC,则平面NAC即为平面a, 因为SB/a,平面SMBna=DN,SBc平面SMB, 所以SBI∥DN, 因为AB为底面圆的直径，点M,C将弧AB三等分， 所以∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30°，MC=BC=AB, 所以MC/AB且MC=AB, 所以%-s= 又5BDN,所以贺=8-专 所以器号 故选：A. 9.【答案】AB 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案。 【详解】因为一组大小不等的数据x(i=1,2,,n)的平均数为x,而y:=-2x1+3,所以数据y(i=1,2,,n)的 平均数为-2x+3,所以A正确： 数据x(i=1,2,,n)的方差为s2,由方差的性质可得数据y(1=1,2,,n)的方差为4s2,所以B正确： 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据y:(i=1,2,,n)的标准差为V4s2=2sl,所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差a>0,新数据的极差应为2a,所以D错误. 10.【答案】BD 【分析】根据复数的乘法运算及模长公式可判断选项A;由点Z的坐标为(-1,3)，可得z=-1+3i,代入方程， 解方程即可判断选项B;根据模长公式，模长为1，举出反例即可判断选项C:根据复数的几何意义可判断1≤ |z-2≤√2对应的图形为圆环，求出圆环面积即可判断选项D, 【详解】解：设复数z=a+bi,则在复平面内对应点为Z(a,b), 选项A,因为z2=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2+2abi-b2,|z2=a2+b2, 所以z2与引z2不一定相等，A错误； 选项B,由点Z坐标为(-1,3)，则z=-1+3i,所以(-1+3)2+p(-1+31)+q=0, 化简整理符-8-p+9+(3p-0i=0,则8pP6200,解得=2.g=10. 所以p+q=12,B正确； 选项C,当2=+i时，以-1，C错误： 选项D,由1≤|z-2i≤V2,|z-2i2=|a+(b-2)川2=a2+(b-2)2, 第2页共7页 根据复数的几何意义可知，1≤|z-2训≤V√2表示圆心为(0,2)内半径长为1，外半径长为V2的圆环， A 2 -1o1x 所以圆环面积S=π×(22-π×12=π，D正确。 11.【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证CB11面ABC1D1,进而确定直线BC与平面ABC1D1所成的 角、C到平面ABC1D1的距离，由BC1∥AD1,异面直线D1C和BC1所成角即为AD1与D1C所成角∠CD1A求大小，过 P作PE⊥CD于E,再过E作EQ⊥AC于Q,利用线面垂直及勾股定理求PQ的最小值， 【详解】因为BC1I∥AD1,故异面直线D1C和BC1所成角即为AD1与D1C所成角∠CD1A, 而△CD1A为等边三角形，故LCDA=爱故A正确： B 因为AB1面BCC1B1,CB1C面BCC1B1,故AB⊥CB1,又BC1⊥CB1, 由AB∩BC1=B,AB,BC1C面ABC1D1,故CB1⊥面ABC1D1, 而BC∩面BCC,B1=B,故直线BC与平面ABCD所成的角∠CBC=,故B错误； 而C到平面ABC:D,1的距离为学=9=2V2,故C正确： 2 过P作PE⊥CD于E,再过E作EQ⊥AC于Q, 面DCC1⊥面ACD,面DCC1∩面ACD=CD,PEC面DCC1,故PE⊥面ACD, 而ACc面ACD,则PE⊥AC,又PE∩EQ=E,PE,EQc面PEQ, 所以AC1面PEQ,易知PQ即为异面直线C1D,AC上两点的距离， 令DE=PE=x∈0,4，则CB=4-x,EQ-号(4-x), 所以PQ=VPE2+EQ2=x2+4--, 3x2-8x+16 3(x2+ 2 2 当x一封，PQa后-5放D正确 第3页供7页 12.【答案】V3 【详解】已知A(1,2),B(2,1),则0A=e+2e2,0B=2e+e2 .AB=0B-0A=2e+e2-(e+2e2)=e-e2, 己知|el=Ie2引=1，∠x0y=120°， aB=(e-e2)2=le2+le22-2e·e2=le2+le212-2 lejl.le2l·cos120° =12+12-2×1×1×(-)=3, AB=V3. 13.【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB,PCc平面PBC, 所以PA⊥平面PBC, P 又BCC平面PBC,所以PA⊥BC, 因为PO⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以P01BC, 又PA∩P0=P,PA,P0c平面POA,所以BC1平面POA, 又OAC平面PA0,所以BC⊥OA, 同理可得，AB1OC,AC1OB,则点O是△ABC的垂心. 14.【解析】由正弦定理2 bcosC=ccosB可转化为2 sinBcosC=sinCcosB,两边同时除以cosBcosC可得2tanB= tanC,A+B+C=π→A=π-(B+C)→tanA=tan[n-(B+C)]=-tan(B+C), tanA =-tan(B+C)=tanB+tanc 3tanB 1-tanBtanc 1-2tan2B 则品+品+品c2+品+ 1 1=2tan2B=-1十 1 oGan6e3心 =2tanB+7 39 当且仅当tanB=时取到等号； 2 故答案为9 15.【答案】(1)0.01 (2)中位数为78，平均数为76.5 【分析】(1)利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出： (2)用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数. 【详解】(1)由频率分布直方图可知，各组的组距都是10， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以10(a+0.020+0.025+0.035+a)=1, 化简得10(2a+0.08)=1,即20a+0.8=1,即20a=0.2,即a=0.01, 所以图中a=0.01.一 -一5分 (2)由(1)知a=0.01, 因此各组的频率分别为10×0.01=0.10,10×0.020=0.20， 10×0.025=0.25,10×0.035=0.35,10×0.01=0.10, 对应这100名学生各组的人数分别为10,20,25,35,10， 第4页/供7页 各组的组中值分别为55,65,75,85,95， 则x=55x10+65×20+75×25+85×35+95x10=76.5, 100 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分。 由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80]中间，设为x, 则0.1+0.2+70×0.25=0.5→x=78. -13分 10 16.【答案】2v3(21,-V33)-2 【分析】(1)利用平面向量模长公式计算求解： (2)先求出与b同向的单位向量，再由同向向量与单位向量方向一致结合=2求出的坐标； (3)利用模长公式求出d.,进而求出d·(a-2),再利用向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】(1)已知6=(3，-3)，则=（③2+(-3）2=2V3. 一4分 (2)与6洞向的单位向量为8=高-是-（怎，-9 已知=2， a=2e=(1-V3). 一9分 (3)1a-26=|2+4-4.万-4+4×12-4à.五=28，解得a.6=6, a.(a-2b)=|2-2d.i=4-2×6=-8, w0=限-品=-29 70 -15分 17.(1)因为BC=AC-AB,即BC2=(4C-AB)2, 即BC2=AC2+AB2-2AC.AB,即a2=b2+c2-2 bccos A.- —6分 (2)当△ABC为直角三角形时，不妨设B为直角，易知品。-品。=2成立， 当△ABC为锐角三角形时，则B,C为锐角， m 如图，过点B作与BC垂直的单位向量，则，BA)=-B,,CA=三-C, 由BA=BC+CA,则有j·BA=j·(BC+CA)=j·BC+jCA, 即cos(经-B)=BC]cos+川CAcos(径-C),即c sin B=bsinG,即aa singsinc' 同理，过点C作与CA垂直的单位向量m,可得品A一品C 因此有，品品。C 当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钱角，仿照上述方法同理可得，品A一品。一品C 、C 综上，对于任意△ABC,有： b sinA-sinB sinc -15分 第5页/供7页 18.(1)证明因为PA⊥平面ABCD, 而ADC平面ABCD, 所以PA⊥AD, 又AD⊥PB,PB∩PA=P, PB,PAC平面PAB, 所以AD⊥平面PAB, 而ABC平面PAB, 所以ADLAB. 因为BC+AB2=AC2, 所以BC⊥AB, 根据平面知识可知AD∥BC, 又ADE平面PBC,BCC平面PBC, 所以AD∥平面PBC. 一一7分 (2)解如图所示，过点D作DE⊥AC于点E, 再过点E作EF⊥CP于点F,连接DF, 因为PA⊥平面ABCD, PAc平面PAC, 所以平面AC⊥平面ABCD, 又平面PACn平面ABCD=AC, DEC平面ABCD, 所以DE⊥平面AC, 因为CPc平面AC,所以DE⊥CP, 又EF⊥CP,EF∩DE=E, EF,DEC平面DEF, 所以CP⊥平面DEF,所以DF⊥CP, 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 即sin∠DFE受，即tan∠DFEV6. 因为AD⊥DC,设AD=x,0<<2, 则DC=V4-x2, 由等面积法可得，DB4- 2 又CB=(4-x2)-44 42, 而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF=4-x2 2V2, 又DE⊥平面PAC,EFc平面PAC, 所以DE⊥EF, √4-2 故tan∠DFE-DE 2 EF 4-x2 6, 22 解得=V3,即AD=V3. -17分 第6页/供7页 19.【答案】(1)证明见解析 20时：② 【分析】(1)根据线面平行的判定与性质推导平面DMNI/平面PAB,可得OMIIAB,结合△ABC为直角三角形推 出BC⊥平面PDM,可知PD垂直平分BC,即可证得PB=PC. (2)①由面面垂直的判定定理得平面PBC1平面PDM,过M作ME⊥PD可得ME⊥平面PBC,结合AB/DM,可 知∠MDP即为AB与平面PBC所成角，结合己知边长计算即可得所求正弦值. ②利用线面角的几何意义，点A到平面PBC的距离等于线段AB的长度乘以AB与平面PBC所成角的正弦值，代入 数据计算即可. 【详解】(1)如图，取BC的中点D,连接DM,DN,DP D,N分别为PC,BC的中点，∴DNIIPB. 又DN2平面PAB,PAB PB平面PAB, ·.DNI∥平面PAB. MNI∥平面PAB,DN∩MN=N,DN,MNc平面DMN, .平面DMNI/平面PAB. 又平面ABC∩平面DMN=DM,平面ABC∩平面PAB=AB, .DM//AB. 在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5, ·.AC2=AB2+BC2,AB⊥BC, DM⊥BC,又BC⊥PM,PM∩DM=M, ·.BCI平面PDM,又PDC平面PDM,.BC⊥PD 又D是BC中点，PD垂直平分BC, ∴.PB=PC. 一一8分 (2)由(1)可知，BC⊥平面PDM,BCc平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDM. 如图，过点M作ME1PD,E为垂足，则MEI平面PBC, D B .∠MDE为DM与平面PBC所成的角. 在等边△PBC中，PD-BC-2V3, 在Rt△PDM中，由PM=V3,可得∠MDP=30°， .∠MDE=∠MDP=30°， 又：AB/DM,AB与平面PBC所成角的大小为30°，即正弦值为 -13分 ②设点A到平面PBC的距离为d,AB与平面PBC的夹角为B, 则由①可知0=30°， d=ABsin0=3×经-号 -17分 第7页供7页