精品解析：山东省文登区第二中学等校2025-2026第二学期期中教学质量检测初三数学

2025-2026第二学期期中教学质量检测初三数学 一、选择题 1. 下列各数中，可使式子有意义的的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（ ） A. ①②④ B. ②④⑥ C. ①③④ D. ①④⑥ 4. 一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） ①最简二次根式与是同类二次根式，则； ②若m是的小数部分，则； ③若的斜边长，另两边长a，b恰好是关于x的方程的两个根，则； ④若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ②③④ 7. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 8. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在Rt中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若关于的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是______． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值________ 13. 如果，且满足，，那么代数式_________ 14. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 15. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR=_________ 16. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形是菱形； （2）当以为对角线的正方形面积为96时，求t的值． 23. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 24. 如图，四边形是菱形，连接交于点E，点F为直线上方一点，且满足． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点A作，交于点H，交于点G，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期期中教学质量检测初三数学 一、选择题 1. 下列各数中，可使式子有意义的的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有符合条件． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； B选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； D选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 3. 下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（ ） A. ①②④ B. ②④⑥ C. ①③④ D. ①④⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 4. 一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则并结合无理数和有理数的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，为有理数，该选项不符合题意； B、，其结果为无理数，该选项符合题意； C、，为有理数，该选项不符合题意； D、，为有理数，该选项不符合题意． 5. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 方程配方后得到． 6. 下列说法正确的是（ ） ①最简二次根式与是同类二次根式，则； ②若m是的小数部分，则； ③若的斜边长，另两边长a，b恰好是关于x的方程的两个根，则； ④若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题需逐个判断四个说法的正误，分别利用同类二次根式定义、二次根式化简、勾股定理、一元二次方程根与系数关系和根的判别式进行判断，最终得到正确选项． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 整理得：， 解得或， 当时，，舍去， ， 故①正确； ，是的小数部分， ，， ， ， ， 故②正确； ，是方程的两根， 由根与系数的关系得：，， 斜边， 由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：， ，是边长， ， 当时，，舍去， ， 故③错误； 方程两根互为相反数， 两根之和为， 解得：， 当时，常数项， 判别式，方程无实根，舍去； 当时，常数项， 判别式方程有实根，符合要求， ， 故④错误； 综上所述，只有①②正确． 7. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接，作于，则，，求出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：∵在矩形中 ，，， ∴， 如图，连接，作于， 由题意可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在Rt中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点．根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式得到的值． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点， 由题可得，， ， 又， ，即平分， 又， ， 正方形和正方形的面积分别为，且，， 正方形的面积， 正方形和正方形的面积之比为， ， ， 即等于． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值． 二、填空题 11. 若关于的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0，解得：k=-2，再把k=-2代入原方程求解． 【详解】将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0， 解得：k=-2， ∴原方程为：+x－2=0， 则(x+2)(x－1)=0， 解得：x=-2或x=1， ∴另一个根为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 13. 如果，且满足，，那么代数式_________ 【答案】2037 【解析】 【分析】由已知条件可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值. 再将用含的式子替换，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，且满足，，即、， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系得：，， ， ， ． 14. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 15. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR=_________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，，则，由四边形是正方形，可求得，进而由组合图形的面积求得． 【详解】解：如图，连接，，交于点，       ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 【答案】7.5 【解析】 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解． 【详解】连接、、，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时， ， ∴的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】牢记积的乘方公式，二次根式的运算中化简二次根式是核心． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：整理得：， ∴， ∴或， 解得． 19. 已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 （1） （2） 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得：、，再利用完全平方公式变形进行求值即可； （2）将多项式展开，利用、进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，、， ． 20. 已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的综合应用，解题核心是先利用根与系数的关系表示出与，再结合已知条件列方程求解，最后验证判别式保证方程有实根． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即且，解得：且； ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴或． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、．设点P、Q运动的时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形是菱形； （2）当以为对角线的正方形面积为96时，求t的值． 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质易证明四边形是平行四边形，根据题意得到，则，利用勾股定理求出长，当时，平行四边形是菱形，据此列方程求解即可； （2）先根据正方形面积求出边长，再利用正方形边长和的关系得到的长度，作于点M，分两种情况：当点在点左侧或点在点右侧，在中，根据勾股定理求出长，利用列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 四边形是矩形， 且、， ， ， 四边形是平行四边形， 、点P、Q的速度都是每秒1个单位， ， 在中，由勾股定理得：， 当时，四边形是菱形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是菱形； 【小问2详解】 解：正方形面积为96， 正方形的边长为， 分两种情况： ①如图1所示：作于点M， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 、， 由题意得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：； ②如图2所示： 由①知，、、， ， ， 解得：； 综上所述，以为对角线的正方形面积为96时，t的值为或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的性质、菱形的判定定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 23. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 24. 如图，四边形是菱形，连接交于点E，点F为直线上方一点，且满足． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点A作，交于点H，交于点G，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再由，可得，可得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点G作，垂足为I，设，由角平分线定理可得，，利用勾股定理计算出和，构造方程，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：过点G作，垂足为I， 设， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $