专题12 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题4大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题12 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题 4大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 马尔科夫链 题型02 数列递推在概率中的应用 题型03 赛制问题（多局比赛） 题型04 决策性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 马尔科夫链与状态转移 能识别具有无后效性的随机过程，写出状态转移概率矩阵，利用全概率公式建立递推关系，求解有限步后的概率分布 新高考热点题型，常以传球、赌徒破产、游走等模型出现，易错点在于状态划分不完整或转移概率计算错误 数列递推在概率中的应用 能根据概率问题的递推关系（如 ），结合初始条件求解通项公式，进而计算概率或期望 中高档难度，常与马尔科夫链结合，易错点在于递推关系推导错误或数列求解不熟练 赛制问题（多局比赛） 能计算各类赛制（如五局三胜、七局四胜、抢7等）下的获胜概率，理解“连胜”“先赢”等条件对概率的影响，能利用组合数或递推求解 高频应用考点，常以体育比赛为背景，易错点在于未考虑比赛提前结束或局次顺序的独立性 决策性问题（最优策略与期望收益） 能利用期望最大化原则或概率比较，对是否继续、选择哪种方案等问题做出决策，理解“停时”思想（如抽奖、游戏、投资决策） 综合应用考点，考查建模与优化能力，易错点在于忽略不同策略下的概率分布变化或误用期望公式 知识点01 马尔科夫链 1. 定义 若随机过程 满足 则称 为马尔科夫链。其核心性质是无记忆性：将来只依赖于当前状态，与过去状态无关。 2. 状态与转移概率 所有可能取的值称为状态。 称为从状态 到状态 的一步转移概率。 转移概率矩阵 满足：每行元素之和为 1。 3. 两状态马尔科夫链的递推 设系统只有状态 和 ，记 。由全概率公式： 整理为 ，其中 ，。 4. 典型模型：赌徒破产问题 甲有本金 元，乙有 元。每局甲赢的概率为 ，输的概率为 ，赢则得1元，输则失1元。设 为甲从资金 出发最终获胜的概率。则有 解得： 当 时，； 当 时，。 知识点02 赛制问题（多局比赛） 1. 基本假设 每局比赛结果相互独立，甲每局胜的概率为 ，乙胜的概率为 。 2. 几局几胜制的概率公式（设获胜所需局数为 ） 三局两胜（）： 五局三胜（）： 通用公式（总局数 从 到 ）： 注意：最后一局必须获胜，前 局中恰好获胜 局。 3. 期望比赛总局数（以三局两胜为例） 4. 递推法处理局中比分 设 表示甲已赢 局、乙已赢 局时，甲最终获胜的概率。则有 边界条件：（甲已达目标），（乙已达目标）。 题型一 马尔科夫链 解｜题｜技｜巧 马尔科夫链的核心是“无记忆性”：下一状态只依赖于当前状态，与过去无关。解题步骤：① 明确所有可能的状态（有限个）；② 写出状态转移概率矩阵 ，其中 ；③ 若求 步后的状态分布，用初始分布乘以 ；④ 常考稳态分布：解方程 且 。对于吸收态问题，需建立递推关系求解吸收概率或期望步数。 【典例1】（2026高三下·福建泉州·专题练习）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广东揭阳·期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 题型二 数列递推在概率中的应用 解｜题｜技｜巧 将概率问题转化为数列递推关系是常见技巧。通常设 表示第 步或第 个状态下的概率，根据全概率公式建立 与 的线性递推式（如 ）。然后利用特征根法或迭代法求通项，再结合初始条件求解。注意有时递推涉及多个变量（如 相互关联），需联立消元。 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． (1)求； (2)若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； (3)设集合中任选一个元素，求满足的概率． 【典例2】（25-26高二下·江西吉安·期中）一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． (1)求； (2)求的分布列； (3)证明数列为等比数列，并求． 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【变式2】（24-25高三下·江苏徐州·阶段检测）甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. (1)求和的值； (2)求； (3)设，数列的前n项和为，若，证明：. 题型三 赛制问题（多局比赛） 解｜题｜技｜巧 赛制问题常见类型：五局三胜、七局四胜等。常用方法：① 利用二项分布，将比赛场次视为独立试验，注意比赛提前结束的条件（如先赢3局则结束）；② 分类讨论：分别计算3-0、3-1、3-2等获胜概率；③ 引入状态转移：设 表示甲赢 局、乙赢 局时的获胜概率，建立递推边界（如 或 ），倒推求解；④ 若双方胜率不同，注意每局独立且概率恒定。对“连胜”等特殊规则需调整状态定义。 【典例1】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【典例2】（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． (1)当时，求的概率； (2)试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 题型四 决策性问题（最优策略与期望收益） 解｜题｜技｜巧 决策问题通常要求选择策略使期望收益最大或期望损失最小。解题步骤：① 明确所有可行策略及对应的随机结果；② 计算每种策略下的期望收益（可能涉及条件概率或递推）；③ 比较期望值，选择最优策略。常见模型：是否继续赌博、是否购买保险、库存管理等。 【典例1】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【典例2】（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【变式1】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【变式2】（24-25高二下·吉林·期中）已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 期末重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立. (1)记5个布娃娃中恰有1个有奖品的概率为，当时，取得最大值，求； (2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终获利（奖金减去成本）的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃； 3．（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 4．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 6．（2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 7．（2026·湖北·三模）近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． (1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； (2)求小明第次在场景A下射击的概率； (3)求小明在次射击后总得分的期望． 8．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）为坚决落实《深化新时代教育评价改革总体方案》中加强学生体育评价的相关要求，某中学举办以投篮为主题的体育活动，活动规则如下：某同学每次投篮投进的概率为（），各次投篮投进与否相互独立.若该同学连续投进次，则成功，获得奖品；若连续不进次，则失败，活动结束.记为已经连续投中次后，最终获得成功的概率，为已经连续不进次后，最终获得成功的概率（）. (1)若，，， （i）证明：； （ii）求该同学成功的概率； (2)用，，表示该同学成功的概率. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题 4大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 马尔科夫链 题型02 数列递推在概率中的应用 题型03 赛制问题（多局比赛） 题型04 决策性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 马尔科夫链与状态转移 能识别具有无后效性的随机过程，写出状态转移概率矩阵，利用全概率公式建立递推关系，求解有限步后的概率分布 新高考热点题型，常以传球、赌徒破产、游走等模型出现，易错点在于状态划分不完整或转移概率计算错误 数列递推在概率中的应用 能根据概率问题的递推关系（如 ），结合初始条件求解通项公式，进而计算概率或期望 中高档难度，常与马尔科夫链结合，易错点在于递推关系推导错误或数列求解不熟练 赛制问题（多局比赛） 能计算各类赛制（如五局三胜、七局四胜、抢7等）下的获胜概率，理解“连胜”“先赢”等条件对概率的影响，能利用组合数或递推求解 高频应用考点，常以体育比赛为背景，易错点在于未考虑比赛提前结束或局次顺序的独立性 决策性问题（最优策略与期望收益） 能利用期望最大化原则或概率比较，对是否继续、选择哪种方案等问题做出决策，理解“停时”思想（如抽奖、游戏、投资决策） 综合应用考点，考查建模与优化能力，易错点在于忽略不同策略下的概率分布变化或误用期望公式 知识点01 马尔科夫链 1. 定义 若随机过程 满足 则称 为马尔科夫链。其核心性质是无记忆性：将来只依赖于当前状态，与过去状态无关。 2. 状态与转移概率 所有可能取的值称为状态。 称为从状态 到状态 的一步转移概率。 转移概率矩阵 满足：每行元素之和为 1。 3. 两状态马尔科夫链的递推 设系统只有状态 和 ，记 。由全概率公式： 整理为 ，其中 ，。 4. 典型模型：赌徒破产问题 甲有本金 元，乙有 元。每局甲赢的概率为 ，输的概率为 ，赢则得1元，输则失1元。设 为甲从资金 出发最终获胜的概率。则有 解得： 当 时，； 当 时，。 知识点02 赛制问题（多局比赛） 1. 基本假设 每局比赛结果相互独立，甲每局胜的概率为 ，乙胜的概率为 。 2. 几局几胜制的概率公式（设获胜所需局数为 ） 三局两胜（）： 五局三胜（）： 通用公式（总局数 从 到 ）： 注意：最后一局必须获胜，前 局中恰好获胜 局。 3. 期望比赛总局数（以三局两胜为例） 4. 递推法处理局中比分 设 表示甲已赢 局、乙已赢 局时，甲最终获胜的概率。则有 边界条件：（甲已达目标），（乙已达目标）。 题型一 马尔科夫链 解｜题｜技｜巧 马尔科夫链的核心是“无记忆性”：下一状态只依赖于当前状态，与过去无关。解题步骤：① 明确所有可能的状态（有限个）；② 写出状态转移概率矩阵 ，其中 ；③ 若求 步后的状态分布，用初始分布乘以 ；④ 常考稳态分布：解方程 且 。对于吸收态问题，需建立递推关系求解吸收概率或期望步数。 【典例1】（2026高三下·福建泉州·专题练习）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项可得A、B、C；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式，可得D. 【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确； 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）， 由全概率公式：， 由条件概率公式：，B错误； 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率， 由概率的加法公式：， 其中， 代入得：，C正确； 选项D：递推关系：， 整理为：，初始值， 故，因此， 即，D正确. 【典例2】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 【答案】(1) (2)分布列 1 2 3 (3)， 【分析】（1）计算从1号盒取出1红1白的组合数与总取法组合数的比值，即为所求事件概率. （2）先确定的所有可能取值，对每个取值分情况计算两步取球的概率乘积之和，整理得到分布列. （3）对于一般情形的，引入变量分别表示第号盒为3红1白、2红2白的概率，根据取放球规则建立概率递推关系，构造等比数列求解2红2白的概率，再结合期望定义与递推恒等式简化计算期望. 【详解】（1）设事件号盒子里有2个红球， 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取1，2，3， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为 1 2 3 （3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且，化简得① 得， 而，则数列为等比数列，首项为，公比为，所以， 所以第号盒子有两个红球和两个白球的概率为． 又由② 由①②得 所以 又因为，所以 因此． 【点睛】方法归纳：本题为概率与数列结合的综合题，求解多轮操作的概率问题时，可通过定义状态变量建立递推关系，构造等差或等比数列求解通项；期望计算可先推导状态变量的恒等式，简化运算无需逐一求解所有状态的概率. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出第n次推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，显然数列递减， 所以当时，， 所以M的最小值为． 故选：A. 【变式2】（25-26高二下·广东揭阳·期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． (1)求的值： (2)求（用表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，结合全概率公式可得，进而构造等比数列求解即可. 【详解】（1）因为，， ， 所以由全概率公式得： ． （2）设，依题意可知：，则 ， 即， 构造等比数列，设，解得， 则， 又，，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，． 所以 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据游戏规则分析的所有可能取值，结合第2轮游戏两种分组概率，算出每个概率值，即可求出数学期望； （2）构造递推，得出为等比数列，利用等比数列通项公式即可求得概率； （3）先推导出，再结合甲对阵不同对手的获胜概率，代入化简即可. 【详解】（1）第1轮甲乙对打，故第2轮甲乙不可能对打，则第2轮甲只能和丙或丁对打. 若第3轮甲乙对打，则甲乙在第2轮都胜或都负；故的所有可能取值为1，2， 第2轮甲丙对打，则甲和丙在第1轮都胜或都负，其概率为， 第3轮甲乙对打，则第2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲和乙同胜或同负；此时， 则，所以. （2）设在第轮游戏中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为， 在第轮游戏中，甲和乙对打，则第轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打， 故，故， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）同理可知，故， 又，则，故， 所以在第轮游戏中，甲获胜的概率为. 题型二 数列递推在概率中的应用 解｜题｜技｜巧 将概率问题转化为数列递推关系是常见技巧。通常设 表示第 步或第 个状态下的概率，根据全概率公式建立 与 的线性递推式（如 ）。然后利用特征根法或迭代法求通项，再结合初始条件求解。注意有时递推涉及多个变量（如 相互关联），需联立消元。 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． (1)求； (2)若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； (3)设集合中任选一个元素，求满足的概率． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）先利用等差数列的求和公式确定所在的组，再计算即可得出结果； （2）利用错位相减法求得，确定的大致范围，结合“被3整除”的条件筛选计算求出对应的最小值； （3）依题意有，化简可得，分类依次计算即可得出结果. 【详解】（1）将数列进行分组，第组有个，则前组有个数， 由于，所以前11组有66个数， 恰好就是第11组的最后一个数，即； （2）设前组数之和为， 则， ， 两式相减得： ， 所以； 前6组数之和，共有21个数，第7组为7个， 所以使得的最小正整数为23； 假设存在使得能被3整除，则， 因为321能被3整除，所以也能被3整除，而64不能被3整除， 所以能被3整除，所以最小为24； （3）设前组与第组的前个数之和为，其中， 依题意，有， 即，等价于，即， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 取，则， 所以满足条件的的取值个数为， 所以满足的概率为. 【典例2】（25-26高二下·江西吉安·期中）一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． (1)求； (2)求的分布列； (3)证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)的分布列为 1 2 3 P (3)证明见解析， 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解； （2）求出的所有可能取值及概率，即可求出分布列； （3）先求出和的分布列，可得，变形可得，然后利用等比数列定义证明，进而利用等比数列通项公式求解即可． 【详解】（1）由题意可知摸一次球后盒子中有2个红球即为摸到黑球， 故． （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的分布列为 1 2 3 P （3）设的分布列为 1 2 3 P 其中，且， 而，，， 所以的分布列为 1 2 3 P 所以 ， 即，而， 所以数列为等比数列， 所以，故． 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式结合互斥事件的概率公式求解； （2）求出递推关系，构造等比数列，利用累加法求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 【变式2】（24-25高三下·江苏徐州·阶段检测）甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. (1)求和的值； (2)求； (3)设，数列的前n项和为，若，证明：. 【答案】(1)，； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意得到，再构造等比数列求解通项即可； （3）由（2）得到，确定，再结合待定系数法得到，累加求和，再通过放缩得到，利用错位相减法求和即可； 【详解】（1）第1次传花后到乙或丙手里，，第2次传花后乙或丙有的概率将花传到甲手里，故， 经过4次传花共有16种情形， 甲    乙     丙     甲     乙 甲    乙     丙     甲     丙 甲    乙     丙     乙     甲 甲    乙     丙     乙     丙 甲    乙     甲     乙     丙 甲    乙     甲     乙     甲 甲    乙     甲     丙     乙 甲    乙     甲     丙     甲 甲    丙     甲     乙     甲 甲    丙     甲     乙     丙 甲    丙     甲     丙     甲 甲    丙     甲     丙     乙 甲    丙     乙     甲     丙 甲    丙     乙     甲     乙 甲    丙     乙     丙     甲 甲    丙     乙     丙     乙 其中花回到甲手里共有6种情形， 根据古典概型得. （2）结合题意得概率为经过次传花后花回到甲手里， 要使传花n次后，花回到甲手里，则第次传花，花不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传花都有的概率将花传到甲手里， 故， 所以与之间的递推关系为：. 得，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）由（2）知，所以， 设， 其中， 所以 故， 所以 因此， 设数列的前n项和为，则，① 所以，② 由①－②得， ， 所以，即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用待定系数得到，再通过放缩得到. 题型三 赛制问题（多局比赛） 解｜题｜技｜巧 赛制问题常见类型：五局三胜、七局四胜等。常用方法：① 利用二项分布，将比赛场次视为独立试验，注意比赛提前结束的条件（如先赢3局则结束）；② 分类讨论：分别计算3-0、3-1、3-2等获胜概率；③ 引入状态转移：设 表示甲赢 局、乙赢 局时的获胜概率，建立递推边界（如 或 ），倒推求解；④ 若双方胜率不同，注意每局独立且概率恒定。对“连胜”等特殊规则需调整状态定义。 【典例1】（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 【典例2】（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． (1)当时，求的概率； (2)试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）确定对应的事件，再由独立事件概率乘法公式即可求解； （2）分别计算，再代入求解即可. 【详解】（1）的含义是：该题正确选项为3个，且小明选1个选项时选到正确选项， 已知该题恰有2个正确选项的概率，因此恰有3个正确选项的概率为​； 当正确选项为3个时，从4个选项中随机选1个，选到正确选项的概率为​， 因此： （2）计算（随机选1个选项的期望得分） 若题目有2个正确选项（概率）：选对概率（得3分），选错概率（得分）， 此时期望为： 若题目有3个正确选项（概率）：选对概率（得2分），选错概率（得分）， 此时期望为： ， 因此总期望： ​ ② 计算（随机选2个选项的期望得分） 从4个选项选2个共种选法： 若题目有2个正确选项（概率）：全对（1种，得6分）、一对一错（4种，得分）、全错（1种，得分）， 期望为： 若题目有3个正确选项（概率）：全对（3种，得4分）、一对一错（3种，得分）， 期望为： 因此总期望： ， 代入不等式 得：，解得：， 又， 故存在满足条件的，取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： （2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. （3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 【答案】(1) (2) (3)双败赛制对强队更有利 【分析】（1）用列举法写出随机选出2支队伍的各种情况，然后由概率公式得结论； （2）分析单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的所有情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式计算； （3）分别分析出在两种赛制下A赢的情况，然后结合独立事件和互斥事件的概率公式计算出两种赛制下A赢的概率，作差比较后可得. 【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：， 其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：， 所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为. （2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，， 设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立， 设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件， ； ②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以 所以； 所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为； （3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况： ①  A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为 ； 在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况： ①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ； ③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ， 所以A获得冠军的概率为 ， ， 所以当时，，因此双败赛制对强队更有利. 题型四 决策性问题（最优策略与期望收益） 解｜题｜技｜巧 决策问题通常要求选择策略使期望收益最大或期望损失最小。解题步骤：① 明确所有可行策略及对应的随机结果；② 计算每种策略下的期望收益（可能涉及条件概率或递推）；③ 比较期望值，选择最优策略。常见模型：是否继续赌博、是否购买保险、库存管理等。 【典例1】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论； （2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求. 方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求. 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 【典例2】（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 【变式1】（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 【变式2】（24-25高二下·吉林·期中）已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】(1)2 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 期末重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合全概率公式可得答案； （2）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得答案. 【详解】（1）设表示甲第局获胜， 由题可得，， 由全概率公式可得：； （2）若，甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为：. 则甲获胜概率为：. 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立. (1)记5个布娃娃中恰有1个有奖品的概率为，当时，取得最大值，求； (2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元.以最终获利（奖金减去成本）的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃； 【答案】(1) (2)买下剩下所有的45个布娃娃 【分析】（1）求出的表达式，再利用导数分析的单调性，并求出其最大值点，从而求得； （2）由（1）可知，则剩下45个娃娃中的奖品数服从二项分布，由此求得奖品数的期望，从而求得奖金的期望，作出相应的决策. 【详解】（1）由题意可得， ， 令得. ∵，∴. 当时， ；当时， . 在上单调递增，在上单调递减. ∴在时取得极大值，即最大值. 的最大值点为，因此当时，取最大值. （2）由(1)可知， 设剩下45个布娃娃中有Y个奖品，获利为X元， 则，又. 因此 因此以最终获利的期望作为决策依据，该买下剩下所有的45个布娃娃. 3．（2025·内蒙古包头·二模）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． (1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． （2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． （3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 4．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 【答案】(1)方案一的分布列见解析，期望为，方案二的分布列见解析，期望为 (2)方案一检测总费用的期望值为1460元，方案二检测总费用的期望值为1620元，选择方案一更好 【分析】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为，设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； (2) 设方案一、方案二的检测总费用分别为，则，，结合（1）利用期望的性质计算可得. 【详解】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为， 当时，有两种情况： ①第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为； ②第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阳性，其概率为； 所以, 当时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者， 所以, 所以的分布列为： 2 所以； 设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为. 所以， 所以的分布列为： 所以； （2）设方案一、方案二的检测总费用分别为， 所以， 所以方案一检测总费用的期望值（元）， 方案二检测总费用的期望值（元）. 因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好. 5．（25-26高二下·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】(1)先确定每轮得分的期望值，再相加计算； (2)①先找与的递推关系，再构造等比数列求 的通项；②先根据全概率公式得到第k轮得分期望与的关系，再将代入的求和式，结合等比数列求和公式计算得到​的表达式. 【详解】（1）设第轮试验得分为 ，则总得分，满足 第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此; 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车. ; 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：, 第3轮使用B型车的概率：, . 总期望得分. （2）①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率. 第轮使用A型车分为两种情况： 1.第轮用A型车且成功的概率为；2.第轮用B型车且失败的概率为 ， 则得递推关系式： 初始条件： 令 ，即， 所以，即， 数列 为等比数列，首项，公比， 故，即. ②设第轮得分期望为，则 将代入上式得： 前轮得分期望和为： 6．（2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到乙队进入决赛甲队夺冠的概率和乙队没进入决赛甲队夺冠的概率，相加即可. 【详解】（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． （2）由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 7．（2026·湖北·三模）近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． (1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； (2)求小明第次在场景A下射击的概率； (3)求小明在次射击后总得分的期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据条件概率公式求解； (2)由全概率公式求解出与的关系式，再由递推式的关系结合数列知识求出； (3) 利用期望可加性求解. 【详解】（1）设事件“小明在前次射击中得到分”， 事件“这分均在场景B下获得”， 则，．   所以． （2）设第次在场景下射击为事件， 则 ，，，   由全概率公式可得，   即，   则，   且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，   则，所以； （3）设第轮得分期望为，则，   所以前轮期望总得分为． 8．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）为坚决落实《深化新时代教育评价改革总体方案》中加强学生体育评价的相关要求，某中学举办以投篮为主题的体育活动，活动规则如下：某同学每次投篮投进的概率为（），各次投篮投进与否相互独立.若该同学连续投进次，则成功，获得奖品；若连续不进次，则失败，活动结束.记为已经连续投中次后，最终获得成功的概率，为已经连续不进次后，最终获得成功的概率（）. (1)若，，， （i）证明：； （ii）求该同学成功的概率； (2)用，，表示该同学成功的概率. 【答案】(1)（i）证明见解析（ii） (2) 【分析】（1）（i）分析连续不进 1 次下一次投篮的两种情况，由此建立与的关系式，进而证明等式 （ii）分别对建立递推关系，结合（i）的结论，联立方程求解 （2）分别对、建立递推关系式，列出的表达式，根据全概率公式计算即可 【详解】（1）（i）当处于 “连续不进 1 次” 的状态时，下一次投篮有两种可能： 投进：概率为，此时状态变为 “连续投中 1 次”，后续成功的概率为； 不进：概率为，此时连续不进次数达到 2 次，直接失败，成功概率为 0。 即，得证 （ii）由题意得 因为，所以，解得，所以 故成功概率 （2）对： 对： 递推可得 特别地，， 代入的表达式得 整理得 成功概率 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $