学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷01（北京专用：人教A版必修第二册）

**基本信息** 2025-2026高一数学期末模拟卷（人教A版必修第二册），以复数、立体几何、概率统计等知识为载体，通过“鳖臑”文化情境、燃油效率图表分析等设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数模、百分位数、线面关系、向量投影|结合燃油效率图表考查数据分析（数学语言）| |填空题|5/25|正四棱台外接球、斜二测画法、概率公式|融入斜二测直观图还原（空间观念）| |解答题|6/85|立体几何证明、解三角形、统计案例、概率应用|17题三选一条件设计（分层能力考查），19题四棱锥综合空间角与距离计算（逻辑推理）|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 6. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 8.我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 10.已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 12.已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． .13.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______. 14. 某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 15．已知随机事件满足，则下列结论 ① ② ③ ④ 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17．（满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 18.（满分13分）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2） 用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 19.（满分15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 20.（满分15分）某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． （1）求甲积2分的概率； （2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 21.（满分15分）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小；(2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ ____________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名 准考证号： 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 3 [A][B][C][D] 艾痴 7[A]B][C]D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共25分) 12 13. 妇 14 器 数学第1页（共6页） ■ 请在各题且的答题区域内作答、超出里色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) W D 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请南南争票的题域数作锋，黑色限安域帕率数： 18.(13分) 频率组距 0.22 0.08 02468101214次数/千步 数学第3页（共6页） ■ 请静题第内作超色保宝第癢死效： 19.(15分) M 、 D B 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 荫在谷毯甘的答毯区域内作答，道山羔色定形边位限定区域的答来九效 20.(15分) 数学第5页（共6页） 请在套懋目的套懋竖资肉作套；超细囊皂矩形础程报怜致的套案无效！ 请在各题目 21.(15分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 6. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 8.我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 10.已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 12.已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． . 13.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______. 14.某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 15．已知随机事件满足，则下列结论 ① ② ③ ④ 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17．（满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 18.（满分13分）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2） 用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 19.（满分15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 20.（满分15分）某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． （1）求甲积2分的概率； （2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 21.（满分15分）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小；(2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 故选：C 2. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 故选：D 3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 4.已知向量，，且在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为向量，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为， 所以，解得. 故选：C. 5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L， ∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误； 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误； 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L， 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误； 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选：D 6. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 8.我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 故选：C 9.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 10.已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，，，得，解得，即， 由，，得， 由与的夹角为钝角，得，解得且， 所以实数t的取值范围为. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 12.已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【解析】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 13.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______. 【答案】 【解析】把直观图还原为平面图形，如图所示， 依题意，， 所以，， 则， 所以原平面四边形的周长为. 故答案为： 14.某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】因为学生甲得到“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 15．已知随机事件满足，则下列结论 ① ② ③ ④ 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 则，而， 所以，②正确，③错误，④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【解析】（1）因为分别是的中点，则， （3分） 而平面，平面， 所以平面． （6分） （2）因为平面，平面，则， （8分） 而，，平面， （10分） 则有平面，又平面， （12分） 所以平面平面． （13分） 17．（满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【解析】（1）选条件①： 由正弦定理得， 又， 所以 ， 又，所以， （3分） 解得，或， 因为，所以，即. （7分） 选条件②: 由正弦定理得， 所以， 因为在中，， （3分） 所以，即， 则，因为，所以. （7分） 选条件③： ， 整理得， 由正弦定理得， （3分） 由余弦定理得， 因为，所以. （7分） （2）已知，，则面积， 由正弦定理得，其中. 化简得： ， （10分） 为锐角三角形，且， 所以，得， （12分） 所以，，即， 因此 所以面积的取值范围是. （14分） 18.（满分13分）某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （2） 用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 【解析】 （1）由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为： . （7分） （2） 用样本估计总体，步数在内的概率为，有人， 步数在内的概率为，有人， （11分） 因为，所以元的预算足够. （13分） 19.（满分15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【解析】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， （3分） 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （5分） （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， （8分） 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （10分） （3）由已知得，，， ， （13分） 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． （15分） 20.（满分15分）某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． （1）求甲积2分的概率； （2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 【解析】（1）记事件“甲限时滚铁环过关”， 事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”， （3分） 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （7分） （2）设事件“乙限时滚铁环过关”， 事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （12分） 又与相互独立， 所以两人的积分之和为4分的概率， 所以两人的积分之和不超过3分的概率为． （15分） 21.（满分15分）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小；(2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【解析】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （5分） （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （9分） （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， （12分） 故, （13分） 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， （14分） 因此. （15分） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D C D B D C B C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 12．2 13．8 14. ①. ②. 15.①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（满分13分） 【解析】（1）因为分别是的中点，则， （3分） 而平面，平面， 所以平面． （6分） （2）因为平面，平面，则， （8分） 而，，平面， （10分） 则有平面，又平面， （12分） 所以平面平面． （13分） 17．（满分14分） 【解析】（1）选条件①： 由正弦定理得， 又， 所以 ， 又，所以， （3分） 解得，或， 因为，所以，即. （7分） 选条件②: 由正弦定理得， 所以， 因为在中，， （3分） 所以，即， 则，因为，所以. （7分） 选条件③： ， 整理得， 由正弦定理得， （3分） 由余弦定理得， 因为，所以. （7分） （2）已知，，则面积， 由正弦定理得，其中. 化简得： ， （10分） 为锐角三角形，且， 所以，得， （12分） 所以，，即， 因此 所以面积的取值范围是. （14分） 18．（满分13分） 【解析】 （1）由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为： . （7分） （2） 用样本估计总体，步数在内的概率为，有人， 步数在内的概率为，有人， （11分） 因为，所以元的预算足够. （13分） 19．（满分15分） 【解析】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， （3分） 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （5分） （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， （8分） 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （10分） （3）由已知得，，， ， （13分） 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． （15分） 20．（满分15分） 【解析】（1）记事件“甲限时滚铁环过关”， 事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”， （3分） 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （7分） （2）设事件“乙限时滚铁环过关”， 事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （12分） 又与相互独立， 所以两人的积分之和为4分的概率， 所以两人的积分之和不超过3分的概率为． （15分） 21．（满分15分） 【解析】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （5分） （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （9分） （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， （12分） 故, （13分） 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， （14分） 因此. （15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) N M D 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 频率组距 0.22 0.08 02468101214次数芹步 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) M N D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 13 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(13分) A M B D 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 频率组距 0.22 0.08 02468101214次数/千步 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 名 D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！