安徽宿州市皖北十三校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

数学 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，则取到的正品数 为2的概率为( A品 B.月 c.目 D.8 2.若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.则a1+a2+a3+.+a10=( A.1023 B.-1023 C.1 D.-1 3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( 88 05101520253033/x 0510152025303x 相关系嫩 相关系数r2 20 。· ·· 05101520253095x 05101520253035安 相关系数3 相关系数 A.r2<14<0<r3<T B.T4<r2<0<ri<r3 C.r4<r2<0<r3<ri D.r2<T4<0<1<r3 4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=01，则P(X<2.5)=( A.0.2 B.0.4 C0.6 D.0.8 5.某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y(亿元)2 3 4 久 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：y=1.2x+0.6, 则m的值为( ) A.4.5 B.4.8 C.5 D.5.4 第1页，共4页 6.将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书分发给甲 乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是( A、150 B.100 C.25 D50 7.已知事件1，B相互独立0<P(B)<1,若P(A)=04,P(B1A)=0.3,则P(AB)=( A.0.18 B.0.12 C.0.28 D.0.42 8.已知函数fx)=xlnx-emx,对定义域内任意x1<x2,都有)-f2l<1,则正实数m的 x1-x7 取值范围为( ) A、(0, B.2,+o) C.(0,e] D.[e,+o) 二、多选题：本题共3小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 9.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 3 4 5 P 0.1 q 0.4 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( A.E(Y)=5 B.E(X)=3 C.D(Y=4.8D.D(X=2.4 10.下列关于概率统计的说法，正确的是( A若随机变量X~B(5,3,则E(W=2,D(CX)=号 B.若随机变量X~N(1,o);Y~N(0,o),则P(X>1)>P(Y>1) C.若一组样本数据(x,y)(i=1,2,,n)的对应样本点都在直线y=-x+1上，则这组样本数 据的相关系数为-1 D.设关于分类变量X与Y的独立性检验的零假设为Ho:X与Y无关，根据分类变量X与Y的成对 样本数据，计算得到x2=4.2,依据a=0.05的独立性检验(x0.o5=3.841),没有充分证据推断 H不成立，即认为X与Y无关， 11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一 个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为P().则下列结论正确的是( 二9二8-76二5-4-3-2-10123456789 AP(6)=4 B.E(n)=0 C.若出发点改变，其余不变，则E(n)不变D.若出发点改变，其余不变，则D()不变 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分。 12.用1,2、3，，9这9个数字组成没有爪灯数字的三位数，其中偶数的个数为 13.曲线y=2在点(-1，-3)处的切线方程为 14.在(+)10的展开式中，系数最大的项是第 项 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.(本小题13分)在二项式(x+)”(n∈N)的展开式中前3项的二项式系数和为16， (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求含x2的项的系数， 16.(本小题15分)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且 甲第一局获胜的概率为p(0<p<1)从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率 为p2,若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为1一p. (1)当p=时，求甲第二局获胜的概率。 (②)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为记这场比赛需要进行的局数为X,求X的分布 列与期望， 17.(本小题15分)一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆 虫的6组观测数据如下表： 温度x/°C2123 24 27 29 32 产卵数y/个6 11 20 27 57 77 经计算得：元==1x1=26,y=号21=33，-1(x:-刀01-习=557,2=1(x1-习2= 84,=101-习2=3930，线性回归模型的残差平方和2101-)2=236.64，e8.0605≈ 3167,其中x1,y分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1,2,3,4,5,6. (I)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程)=6x+a(精确到01)： (IⅡ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=0.06e0.2303x,且决定系数R2=0.9522. ()试与(I)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好， ()用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数） 第3页，共4页 18.(本小题17分) “你好！我是DeepSeek,很商兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把 你的任务交给我吧”，DeepSeek)从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问愿的“好参 谋、好助手”，A1大模型正在改变着我们的工作和生活的方式为了了解不同学历人群对 DeepSeekt的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 使用情况 学历 合计 经常使用不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeekl的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“A/模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相過，决赛阶段共有3道题目， 甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束规定：若对同一道题目，两人同时答对或 答错，每人得0分：若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加 得分为正数者获胜两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙 两名选手正确回答每道题的概率分别为号 ()求比赛结束后甲获胜的概率： ()求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率， 附：x2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d' 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=t(x-1)-2lnx(t∈R) (1)若f(x)>0恒成立，求实数t的值： (2)当t=0时，方程f(x)+x2-x=m有两个不同的根，分别为x1,x2(x1<x2) ①求实数m的取值范围： ②求证：lnx1+x2>1-m. 弟4页，北4 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，则取到的正品数为2的 概率为() A名 B号 c号 D 【答案】D 【解析】解：5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测， 则取到的正品数为2的概率为P=是=多 =0 故选：D 根据古典概型概率公式结合组合数计算即可. 本题考查古典概型、排列组合等基础题，考查运算求解能力，是基础题 2.(2-x)0=a0+ax+a2x2+…+a0x0.则a,+a2+a3+.+a0=() A.1023 B.-7023 C.7 D.-7 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题 本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1,又由于所求之和不含ao,令x=0, 可求出a的值，代入即求答案. 【解答】 解：令x=1代入二项式2-x)0=a0+ax+a2x2+..+a0x0, 得(2-1)10=00+a,+.+a0=1, 令x=0得a0=20, 210+a1+a2+.+a0=1, a1+a2+..+a0=-1023, 故选B 第1页，共16页 3对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是() y本 503050 05101520253033/x 05101520253033x 相关系数 相关系数 14 y◆ 03050 05101520253035x 05101520253035x 相关系数3 相关系数 A.r2<T4<0<T3<r1 B.4<T2<0<r1<T3 C.r4<r2<0<r3<r7 D.r2<r4<0<r1<T3 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，属于基础题 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小 【解答】 解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r接近于7，r接近于一1， 由此可得r2<r4<T3<r 故选：A. 4.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)=0.7，则P仪<2.5)=() A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 【答案】C 【解析】解：已知随机变量X~N(2,02),其均值μ=2， 根据正态分布的对称性，PX≤2)=0.5， 又因为P(2<X≤2.5)=0.1，对于连续型随机变量，单点概率为0，即P(2<X<2.5)=0.7, 因此，P(X<2.5)=P(X≤2)+P(2<X<2.5)=0.5+0.1=0.6 第2页，共16页 故选：C 根据正态分布的对称性即可求解 本题考查了正态分布的对称性，属于基础题 5.某能源汽车制造公司近5年的利润情况如下表所示： 第X年 72345 利润y亿元234m7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：y=1.2x+0.6,则m的 值为() A.4.5 B.4.8 C.5 D.5.4 【答案】C 【解析】解：已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为：y=7.2X+O.6, 因为X=12+3+445=3,y=243+44m+☑ 16+m 5 5 5 所以16+m=12×3+0.6,解得m=5. 5 故选：C 求出x、y,代入回归直线方程可得答案 本题考查回归直线方程相关知识，属于中档题！ 6现将红楼梦》、《水浒传》、三国演义》、西游记》、史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3 人，每人至少分得1本，已知西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是() A.150 B.100 C.25 D.50 【答案】D 【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，有C3CC+C3CC3=25种分组方法 A A ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有25×2=50种分发方式. 故选：D 根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将西游记》所在的组 第3页，共16页 分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算即可. 本题考查排列组合的应用，考查学生逻辑思维能力，属于中档题 7.已知事件A,B相互独立，0<PB)<1,若P(A)=O4,PB/A)=0.3,则P(AB)=() A.0.18 B.0.12 C.0.28 D.0.42 【答案】A 【解析】解：PB1A=P4P=04P=0.3可得PB)=O3, 0.4 P(A) P(A)=0.4P(A)=7-P(A=1-0.4=0.6, 又事件A,B相互独立， ·P(AB)=PA)PB)=0.6×0.3=0.18. 故选：A. 根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可。 本题考查了相互独立事件的乘法概率公式，属于基础题」 8.已知函数fx)=xnx-emx,对定义域内任意X,<X2,都有f&上f2<1,则正实数m的取值范围 X7-X2 为() A(01 B.+) c.0,e1 D.e,+∞) 【答案】B 【解析】解：函数f)=xlnx-emx,对定义域内任意x,<X2,都有上f<7, X1-X2 所以EX上xf&x2L<0, X1-X2 令函数gX)=fX)-x=xlnx-x-emx 则g(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以g'(x)=lnx-memx≤0在(0，+∞)上恒成立， 所以lnx≤memx,即xlnx≤mxemx=emxInemx. 令函数hx)=xlnx,则h'x)=lnx+1, 所以hx)在0上单调递减，在仓，+∞上单调递增 第4页，共16页 当x∈(7，+∞时，hx)>0,且emx>1, 当x∈(01)时，hx)<0, 所以x≤emx,所以lnx≤mx,即m≥nx 令函数x)=g,则0)= 所以px在(e,+∞)上单调递减，在(O,e)上单调递增， 所以px)max=p(e)=君 所以m之已 故选：B 令函数g(X)=f仪)-x=xlnx-x-emx,根据已知条件得到gX在(O,+∞)上单调递减，再进一步转 化求解即可」 本题考查了导数的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设离散型随机变量X的分布列为 x72345 P0.1q0.40.20.1 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有() A.E(Y)=5 B.E (X)=3 C.DY)=4.8 D.DX)=2.4 I答案】BC 【解析】解：根据分布列的性质可得0.1+q+0.4+0.2+0.1=1,得q=0.2, 根据期望公式可得以EX)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.7=3 根据方差公式可得D(X)=(1-3)2×0.1+2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2× 0.1=1.2, EY)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×3+1=7, DY)=D2X+1)=22DX)=4×1.2=4.8. 故选：BC 先计算q的值，然后用公式求E(X)、DX的值，再利用期望、方差的性质计算EY),DY)即可. 本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差，属于中档题， 10.下列关于概率统计的说法，正确的是() 第5页，共16页 A.若随机变量X~B5),则E(X)=2,D(X)=号 B.若随机变量X~N(1,σ方Y~N(0,σ)，则PX>1)>PY>) C.若一组样本数据仪y)1=7,2,,n的对应样本点都在直线y=-x+7上，则这组样本数据的相关系 数为-7 D.设关于分类变量X与Y的独立性检验的零假设为Ho:X与Y无关，根据分类变量X与Y的成对样本数据， 计算得到X2=4.2,依据a=0.05的独立性检验Xoo5=3.84),没有充分证据推断H不成立，即认为X 与Y无关。 【答案】ABC 【解析】解：对于选项A,因为随机变量X~B5) 所以E(X)=5×号=2，DX)=5×号×(1-号)=号故A正确： 对于选项B,因为随机变量X~N(1,σ，Y~N(Oo), 所以PX>)=0.5,PY>1)PY)0)=0.5, 所以PX>)>PY>1),故B正确： 对于选项C,当一组样本数据仪y)1=7,2,,n)的对应样本点都在直线y=-x+1上时， 变量x与y负线性相关，此时r=一1，故C正确； 对于选项D,因为X2=42>3.841=X005, 所以根据a=O.05的独立性检验，推断H,不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于O.05, 故D错误， 故选：ABC 根据二项分布期望和方差的公式可判断A；根据正态分布的性质可判断B;根据样本相关系数r的含义可判 断C；根据独立性检验的原理可判断D 本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立性检验的应用， 属于基础题， 11如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共 移动6次，设质点位于点n的概率为P们)，则下列结论正确的是() 二9二8二7二6二5二4二3二210123456789 第6页，共16页 AP⑥= B.E(n)=0 C.若出发点改变，其余不变，则E)不变D.若出发点改变，其余不变，则D)不变 【答案】ABD 【解析】解：设质点向右移动的次数为X,很显然离散型随机变量X满足二项分布X~B(6), 则P(同=PX=6列=分=故A正确： 因n=X-(6-X)=2X-6,E(X)=6×2=3, 则E血)=E2X-6)=2EX)-6=2×3-6=0,故B正确： 假设出发点为m,则n=m+X-(6-X)=2X+m-6, 则E血)=E(2X+m-6)=2EX)+m-6=2×3+m-6=m,故C错误； 因DX)=6x×号=号则D)=D2X+m-可=4DX)=4x号=6故D正确， 故选：ABD 设质点向右移动的次数为X,则X~B(6,根据二项分布的概率公式、期望公式、方差公式以及性质逐 一判断。 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用7,2,3，，9这9个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 【答案】224 【解析】解：要组成没有重复数字的三位数偶数，个位必须是偶数， 1到9中偶数有2、4、6、8，共4种选择 确定个位后，百位从剩下的8个数字中选不能重复)，有8种选择， 十位再从剩下的7个数字中选，有7种选择， 根据分步乘法计数原理，偶数的个数为：4×8×7=224. 故答案为：224 13曲线y一父在点(-？-处的切线方程为一 【答案】5x-y+2=0 【解析】【分析】 第7页，共16页 本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题 先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程 【解答】 x2(~1-3在曲线上 解：因为y=-1 所以y'=2+22-卫=5 (x+2)2 X+22, 所以y1x=-1=5, 则曲线y=2在点(-1一3)处的切线方程为： X+2 y-(-3)=5K-(-11,即5x-y+2=0. 故答案为：5x-y+2=0. 14.在父+)的展开式中，系数最大的项是第_项？ 【答案】解：设第r+1项的系数最大， 则cw2≥c0'2-； Co2r≥C6'2+1 2≥，1 r71-r 10-rr+1 解得码≤r≤号因为r∈乙，所以r=7 故系数最大的项为第8项」 四、解答题：本题共5小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题73分) 在二项武侵m∈N商展开式中前9项的二现式柔数利为6 ()求展开式中所有项的二项式系数的和. (2求含x2的项的系数 【答案】32： 40. 第8页，共16页 【解析】解：()庙二项式定理可得，展开式中前3项的二项式系数分别为CCC 所以C9+C+C2=16即1+n+nm,)=16解得n=5或n=-6合去)， 2 展开式中所有项的二项式系数的和为25=32； 项式N+长的通项公式为7=C5xr(侵=C5x5号r=01…互 令5-是=2，解得r=2 所以含x2的项的系数为C22=40. ()由已知条件求出n的值，利用二项式系数和的性质求出结果即可； 2康得仪十是的通项公式。令X的区指敏等2术得的值。可得合x附项的系数 本题考查了二项式定理的应用，属于基础题， 16.(体小题75分) 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为卫(0<卫< )从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为p2,若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的 概率为1-p (1)当p=时，求甲第二局获胜的概率. (2)没甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为) 记这场比赛需要进行的局数为X,求X的分布列与期望. 【答案】()号 2分布列见解析，期望为罗 【解析】解：(1)设A,=“甲第i局获胜”，其中i=1,2,3, 依题意得P(A)-p,当p-射， 由全概率公式得P(A2)=P(A,A2)+P(A,A)=P(A)PA2A)+PA)P(A2A)=p·p2+ 1-2=+1-2= 所以甲第二局获胜的概率为号 (2)甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为(1-P尸，依题意得(1-pP=号解得p=子 X的可能取值为2,3， 第9页，共16页 P(X=2)=P(A,A)+PAA=p~p2+(1-pp=+写x号-先 PX=3)=P(A A2A3)+P(A A2A3)+P(A A2A3)+P(A A2A3) =p(1-p2)(1-p)+(1-p(1-p)p2+p(1-p2)p+(1-p)(1-p(1-p2)=1-p3+p2-p= 1-9+眉2-号-是 所以X的分布列为： X 2 3 P 14 2 翌 EX)-2×号+3x号-% (1)根据全概率公式即可求解； (2)依题意得(1-pP=号 X的可能取值为2,3，求出各自对应的概率即可求解 本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题. 17.(体小题75分) 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度xC 21 23 24 27 29 32 产卵数y/个 11 20 27 57 77 经计算得：X=∑，X=26y=Σy:=33,∑，X-x)0y:-y)=557,,,-X)2=4 ∑，y:-y)P=3930,线性回归模型的残差平方和∑，(y;-y;尸=23664，e80605≈3167，其中x, y分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1,2,3,4,5,6. (1若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y=bx+a精确到0.7)月 (l)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=0.06®02303x,且决定系数R2=0.9522. )试与(1中的回归模型相比，用R说明哪种模型的拟合效果更好 )用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数结果取整数). 〔答案】解：1依题意，n56b==,-,=≈a6 %,k,-XP 第10页，共16页 a≈33-6.6×26=-138.6， ÷y关于x的线性回归方程为y=6.6X-138.6 1)1)利用所给数据，∑=，y:-y2-236.64=,(y1-yP=3930, 得线性回归方程y=6.6x-138.6的决定系数 R3=1- ,y,-y -7、236.64 3930 ≈1-0.0602=0.9398. i(vy 0.9398<0.9522. 因此，回归方程y=0.06配0.2303比线性回归方程y=6.6x一138.6拟合效果更好. (ii)油)得温度x=35C时，y=0.06e02303x35=0.06×e80605 又：e80605≈3767， ·y≈0.06×3167≈790个). 所以当温度x=35C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【解析】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了决定系数的应用问题，属于中档题 (1求出的值，计算a,b,求出回归方程即可； II))根据决定系数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣； i)代入求值计算即可. 18.(体小题17分) “你好哦是DeepSeek,很高兴见到你.我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务 交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查 了200人，得到如下数据： 单位：人 第11页，共16页 使用情况 学历 合计 经常使用不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 175 85 200 (1)依据小概率值a=O.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同 时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分： 若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜两人分别独 立答题互不影响。每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选于正确回答每道题的概率分别为号 求比赛结束后甲获胜的概率； 附：X2= n ad-bc)2 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.007 2.706 3.847 6.635 7.879 10.828 【答案】认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 0品 【解析】解：(1)零假设Ho:DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得X2=-200x6x5036x50≈4604<6.635 100x100x115x85 依据小概率值a=O.01的独立性检验，没有充分证据推断H,不成立，因此可以认为H成立，即认为 DeepSeek的使用情况与学历无关； 2))当甲，乙同时回答第i1=1,2,3)道题时，甲得分为X;, PX,=10=x=品PX,=0=号x号+号x号PX,=10=号x号-号 2.11 比赛结束甲获胜时的得分X可能的取值为710,20,30， 则PX=0=品P=品PX=20=C××品P=品 第12页，共16页 PX=0=C3×品x+Cxx(品P= 所以比赛结束后甲获胜的概率P=PX=30)+P(X=20)+P(X=10)=7000+20 27 27 279 +1000 447 =7000 i)设A=“比赛结束后甲获胜”，B=“比赛结束后乙答对一道题” 则P(AB)=Cg×号×（品P+Cg×品xC3×号x×号×号+C×号x×(品P=器 则PBA)=P0-器-器 243 P(A) 1000 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为名 (1)先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6635去比， 根据独立性检验的理论即可做出判断； (2))对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况， 再根据n重伯努利实验的概率计算式计算即可； )由)可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条 件概率的计算式计算即可. 本题主要考查了独立性检验的应用，考查了独立事件和互斥事件的概率公式，以及条件概率公式，属于中 档题 19.体小题17分) 已知函数fx)=t(X-)-2lnx化∈R). (1)若fX>0恒成立，求实数t的值： (2)当t=0时，方程2fx)+x2-X=m有两个不同的根，分别为x,x2x1<x2 ①求实数m的取值范围； ②求证：lnx,+X2>1-m. 【答案】t=2①m∈0，+∞片②证明：由题意可知：gX)=g(X2)=m, 即x-X,-lnx,=x3-x2-lnx2=m且0<x,<1<x2, 构造函数：hh(X)=g(X)-g(2-x)(0<x<1, 圆hhhh h=9)+92-x=2X-1+22-x=12=<0 所以hh(x在(0,1)上单调递减，故hhx)>hh(1)=g()-g(2-1)=0, 所以g(X)>g(2-x, 第13页，共16页 又因为0<x,<1,所以gX)>g2-x, 又因为gX)=gX2),所以gX2)>g2-x), 因为gX)在(1，+∞)上单调递增，2-X,>1,x2>1, 所以X2>2-X,得X,+X2>2 要证lnx,+x2>7-m, 即证lnx,+x2>1-X-x1-lnx, 即x2>1-X号+X, 即证x2+X7>7-x3+2x, 因为X1+X2>2,故只须证明：1-x名+2X7≤2， 因为1-x3+2X1=2-x3+2X1-1=2-X,-1)2<2成立. 所以原不等式lnx,+x2>7-m成立 【解析】解：()由题意函数f)=t(x-)-2lnx化∈R), 对函数求导可得f'x)=t-是因为f()=0,若fx)≥0即fx)之f() 由于x=7不是定义域区间的端点，且fX在定义域上连续， 故f()不仅是函数f(X的最小值，同时也是极小值， 所以f()=t-2=0,解得t=2. 检验：当t=2时，f6x)=2x-2-2nxx>0以则f)=2-是=2. 当x>1时，fX)>0,fX在(1，+∞)上单调递增， 当0<x<1时，f'(x)<O,fx)在(0)上单调递减， 所以f心的最小值为f(1),即f)≥f()=0成立， 综上，t=2 (2)①由题意函数f(x)=t(X-1)-2lnx化∈R), 当t=0时，fx)=-2lnx, 又方程fx)+x2-x=m有两个不同的根，分别为x,x2(x1<x2, g(x)=f(x)+x2-x=x2-x-Inx(x >0). 对函数求导可得gX)=2X-1-1=2x+7)-1仪>0). 令gX)>0,解得x>1,g'仪)<0，解得0<x<1, 所以gX)在(1，+)上单调递增，在0，)上单调递减，则g心的最小值为g()=0 第14页，共16页 当m<0时，g(x)=m无解， 当m=0时，gx)=m一解，都不符合题意； 当m>0时.ge-m-2)-m=em-2P-em-2+2+m-m>em-2-2+号>0，g)-m= 0-m<0. 因为0<e-m-2<1,gx在(0，)上单调递减， 结合函数零点存在性定理可得g(X)=m在O,1)上唯一解； 令s(X)=ex-x-1,则s'x)=e*-1, 当x∈(0+∞时，s'X)>0,S(X在0，+∞)上单调递增， 当X∈(-∞，0)时，s'(X)<OSX)在(-，0)上单调递减， 所以当x=0时，S(X取得最小值，即s心)≥S(0)=0,所以ex≥X+7, 所以g(em+)-m=(em+1)P-em+1-2m-7=em+1(em+1-1)-2m-7 ≥m+2)m+1)-2m-1=m2+m+1>0,又g(1)-m=0-m<0, 因为em+1>2>7,gx)在(7，+)上单调递增： 所以gx)=m在(1，+∞上有唯一解； 综上所述，方程影f)+x2-x=m有两个不同的根时，m∈0，+∞： ②证明：由题意可知：gX)=gX2)=m, 即x号-x,-lnx7=x3-x2-lnx2=m且0<x1<1<X2, 构造函数：hhx)=gx)-g(2-x)0<x<1), -2x-1y<0. 则hhx)=gx)+g2-x)=2x-1-又+22-x)-1-2=2号 1 所以hh(x在(0,1)上单调递减，故hhx)>hhh()=g()-g(2-)=0,所以gx)>g(2-x), 又因为0<x,<1,所以g(X)>g2-X, 又因为g(X)=gX2),所以gX2)>g2-X, 因为g(X在(1，+∞)上单调递增，2-X,>1,X2>7, 所以x2>2-X,得x,+X2>2 要证lnx,+x2>7-m, 即证lnx,+X2>1-X号-x,-lnx, 即X2>1-x号+X, 第15页，共16页 即证x2+X7>1-X号+2X1, 因为x1+X2>2,故只须证明：7-x号+2X1≤2， 因为1-x号+2X1=2-X+2x1-7=2-X1-1)2<2成立. 所以原不等式lnx,+x2>1-m成立. (1)由f心)≥0=f(1)可判断f(1)=0,解得t值并验证： (2)①令9x)=fx)+x2-X=x2-x-lnx(x>0),利用g()=0,结合9x)的单调性和零点存在 性定理，判断m取值范围； ②构造函数hX)=g(X)-g2-x)0<x<),证得x,+x2>2,再将问题转化为证明x2+x,>1- x3+2x,由不等式性质可得 本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，是难题， 第16页，共16页