9.2.2 总体百分位数的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体百分位数的估计”，通过复习频率分布直方图、中位数等旧知，以“80%家庭用水量临界值”问题导入，搭建从已知到未知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于结合定义辨析、步骤拆解及直方图估算实例，培养学生用数学眼光抽象数据特征、用数学思维推理计算，用数学语言表达现实问题。小结系统，例题典型，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

9.2 用样本估计总体 第九章 统计 9.2.2 总体百分位数的估计 复习引入 1. 频率分布直方图有哪些相关概念？其特点是什么？ 2. 什么是中位数？ 3.如何设定标准，使80%家庭用水量不超过a？根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能求出这个临界值a吗？ 1. 频率分布直方图有哪些相关概念？其特点是什么？ （1）关键概念 ①横轴：数据分组区间，每组宽度为组距. ②纵轴：，不是频率. （2）特点 ①各小矩形的宽为组距，高为频率与组距的比. ②单个矩形面积 = 组距 × = 该组频率. ③所有小矩形的面积之和为1. 3 2. 什么是中位数？ 将数据从小到大排列后，处于中间位置的数. 3.如何设定标准，使80%家庭用水量不超过a？根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能求出这个临界值a吗？ 把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8. 可以发现，区间[13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分. 一般地，我们取这两个数的平均数=13.7， 并称此数为这组数据的第80百分位数,或80%分位数. 教材导学 阅读教材： 1.第p百分位数定义是什么？ 2.计算第p百分位数的步骤是什么？ 3.四分位数，25%、50%、75%分位数分别是什么？ 1.第p百分位数定义是什么？ 至少p%数据≤该值，至少(100−p)%数据≥该值. 2.计算第p百分位数的步骤是什么？ 计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下： 第一步，按从小到大排列原始数据； 第二步，计算i=n×p%； 第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数. （排序→算i=n×p%→判断i取数（非整向上取整；为整取i与i+1平均））. 3.四分位数，25%、50%、75%分位数分别是什么？ 我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数. 在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数. 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 拓展探究 1.由频率分布直方图估计总体百分位数的思路和步骤分别是什么？ 2.满足定义的百分位数唯一吗？ 3.样本百分位数估计总体百分位数，误差来源有哪些？ 1.由频率分布直方图估计总体百分位数的思路和步骤分别是什么？ （1）核心思路 利用矩形面积代表频率，从左到右累加面积，找到累计频率达到目标百分位的位置，以此估算百分位数. （2）具体步骤 ①明确目标：求第p百分位数（记为Pp），先算出目标累计频率：; ②定位目标矩形：从左至右依次累加每组矩形面积（即累计频率），定位出包含目标累计频率的那一组; ③套用公式计算该组内的百分位数：设该组：区间[L,R]，组距d=R-L； 该组前累计频率为F，本组频率为f； 公式：Pp = L + d×. 2.满足定义的百分位数唯一吗？ 计算唯一，但是定义不唯一. 3.样本百分位数估计总体百分位数，误差来源有哪些？ ①样本代表性不足：样本量太小，或样本抽样不随机、有偏向，无法反映总体分布. ②直方图的近似性：直方图是对数据的分组近似，会丢失组内数据的细节信息，导致估算偏差. ③数据本身的波动：总体本身存在个体差异，样本无法完全复制总体的分布特征. ④计算方法的差异：不同的百分位数计算规则（如整数/非整数的处理）会带来方法上的误差. 巩固应用 例1. 判断题（概念辨析） （1）第p百分位数一定在数据中.（ ） （2）中位数即50%分位数.（ ） （3）四分位数把数据四等分.（ ） （4）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.（ ） （5）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.（ ） （6）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.（ ） × × √ √ √ √ 14 2. 填空题. 一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为: 1, 2, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 13, 14, 14, 17, 17, 18, 18,则 （1）该组数据的第75百分位数为_______, （2）该组数据的第86百分位数为_______. 💡解：(1)i=20×75% = 15 i=15是整数，取第15项、第16项的平均数： 第15项：14，第16项：14 =14. ∴第75百分位数为14. 14 17 (2)i=20×86%=17.2 i非整数，向上取整18，取第18项数据： 第18项：17，即=17. ∴第86百分位数为17. 3.某市举行中学生诗词大赛，分初赛和复赛两个阶段进行.规定：初赛成绩大于90分的具有参加复赛的资格.某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩（单位：分）均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图.估计初赛成绩的第80百分位数. 解：由题图得(0.0025+0.0075+0.0075+a+0.0125+0.0050)×20=1， =0.0150 初赛成绩在110分以下的频率为(0.0025+0.0075+0.0075+0.0150)×20=0.65 初赛成绩在130分以下的频率为0.65+0.0125×20=0.90 初赛成绩的第80百分位数一定在[110，130]内. 由 ，可估计初赛成绩的第80百分位数是122. 小结 1.  知识总结 (1)1个定义：第p百分位数. (2)1套步骤：排序→算i→定结果. (3)2类计算：原始数据精确算；直方图估算. (4)1个思想：样本估计总体. 2. 易错点 i为整数/非整数处理；直方图插值计算；混淆样本与总体百分位数. 17 作业 《课时作业》 9.2.2 总体百分位数的估计 $