9.2.3 总体集中趋势的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体集中趋势的估计”，核心知识点包括众数、中位数、平均数的定义、特点及在频率分布直方图中的估计方法。课堂导入通过复习百分位数等旧知，以问题链搭建学习支架，衔接前后知识，引导学生逐步深入。 其亮点在于结合数据录入错误、企业收入解读等实际案例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力。通过例题解析和系统小结，帮助学生掌握估计方法，提升数据分析素养，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

9.2 用样本估计总体 第九章 统计 9.2.3 总体集中趋势的估计 复习引入 1.第p百分位数的定义是什么？ 2.频率分布直方图估计百分位数的原理是什么？ 3.众数、中位数、平均数的意义分别是什么？ 4. 根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据的频率分别直方图9.2-1，如何估计众数、中位数、平均数？ 1.第p百分位数的定义是什么？ 至少p%数据≤该值，至少(100−p)%数据≥该值. 3 2.频率分布直方图估计百分位数的原理是什么？ 利用频率分布直方图的矩形面积（频率）累加，通过线性插值找到累计频率为 p% 的对应值来估计百分位数. 3.众数、中位数、平均数的意义分别是什么？ 众数：一组数据中出现次数最多的数，反映数据中最普 遍的情况，对极端值不敏感. 中位数：将数据从小到大排列后，处于中间位置的数，只与中间位置的数据有关，对极端值不敏感. 平均数：所有数据的算术平均值，与每一个数据都有关，对极端值敏感. 众数：众数取最高矩形底边中点横坐标， 本题最高矩形对应区间[4.2,7.2) 众数==5.7 4.根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据的频率分别直方图9.2-1，如何估计众数、中位数、平均数？ 中位数：易知中位数落在区间[4.2,7.2)上，设中位数为x，列面积方程： 前一组累计面积+中位数所在区间左侧面积=0.5 即0.077×3+ 0.107 ×(x-4.2)=0.5，解得：x≈6.71 平均数：样本平均数 = 各组组中值 × 本组频率，再全部求和； =0.077×3× + 0.107×3×+…+ 0.007×3× =8.96. 请同学们阅读教材. 在上述案例计算中，如何提炼求众数、中位数、平均数的一般原理？ 教材导学 阅读教材： 1.平均数、中位数、众数，三者的关系与分布形态如何？ 2. 在频率分布直方图中如何估计平均数、中位数、众数？ 1. 平均数、中位数、众数，三者的关系与分布形态如何？ （1）对称分布：平均数≈中位数. （2）右偏分布（数据右尾长）：平均数 > 中位数. （3）左偏分布（数据左尾长）：平均数 < 中位数. 2. 在频率分布直方图中如何估计平均数、中位数、众数？ 众数：最高矩形底边中点数值； 中位数：左右面积各0.5，锁定区间后线性插值； （频率分布直方图上所有矩形面积平分线的横坐标） 平均数：各组组中值×对应矩形面积，累加求和. 拓展探究 1. 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数. 但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量的值变化更大？ 2. 为什么说众数更适合描述分类数据的集中趋势？ 3.假如你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，我们企业员工的年平均收入是 20 万，你该如何理解这句话？ 4.在频率分布直方图中估计平均数、中位数的前提假设是什么？这种估计方法可能存在哪些误差？ 1. 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数. 但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量的值变化更大？ （1）平均数有所变化；样本的平均数与每个数据有关，样本中的每一个数据的变化都能引起平均数的变化； （2）中位数只与样本数据中间位置的一个或两个值有关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变. 与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感. 2.为什么说众数更适合描述分类数据的集中趋势？ 众数是一组数据中出现次数最多的数值. 分类数据（如颜色、职业、性别等非数值型数据）无法计算平均数和中位数（既不能求和也无法排序取中间值），但可以统计各类别出现的频次，出现次数最多的类别就是众数，能直接反映分类数据最普遍的情况，所以众数更适合描述分类数据的集中趋势. 3. 假如你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，我们企业员工的年平均收入是 20 万，你该如何理解这句话？ 这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况. 例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低（如大多数是5万元左右），而少数员工的年收入很高，甚至达到100万元，在这种情况下年收入的平均数就比中位数大得多. 尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数. 所以，我们要强调“用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，这就需要掌握更多的统计知识和方法. 4.在频率分布直方图中估计平均数、中位数的前提假设是什么？这种估计方法可能存在哪些误差？ 前提假设是组内数据均匀分布. 误差来源包括: ①组内分布假设偏差； ②分组丢失细节； ③极端值影响被弱化. 1. 一组数据的众数是唯一的吗？ 不一定. 一组数据中，出现次数最多的数可能有多个. 例如：数据 1, 2, 2, 3, 3, 4 中，2和3都出现了2次且次数最多，这组数据就有两个众数：2和3. 巩固应用 不一定. 频率分布直方图是对数据的分组近似，计算时假设每组内的数据均匀分布，这是一种估计值；而原始数据的中位数是根据真实数据计算得到的精确值，两者可能存在差异. 2.频率分布直方图估计的中位数一定和原始数据的中位数完全一致吗？ 3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）求这次测试数学成绩的众数; （2）求这次测试数学成绩的中位数. （3）求这次测试数学成绩的平均分. 解：（1）如图，众数在最高矩形底边中点数值； 即（70，80）的中点处， ∴众数==75. （2）中位数为频率分布直方图上所有矩形面积平分线的横坐标 ∵0.005×10=0.05， 0.015×10=0.15， 0.02×10=0.2， 0.03×10=0.3 ∴中位数落在区间[70,80)内， 设中位数是x ，则 0.05 + 0.15 + 0.2 + (x - 70)·0.03 = 0.5 解得，x ≈ 73.3 ∴中位数约为73.3 （3）平均数为各组组中值×对应矩形面积，累加求和. ∴平均数=45 × 0.005 × 10 + 55 × 0.015 × 10 + 65 × 0.02 × 10 + 75 × 0.03 × 10 + 85 × 0.025 × 10 + 95 × 0.005 × 10=72. 小结 1.  知识总结 （1）三个统计量：平均数、中位数、众数的定义与特点. （2）两类计算：原始数据的精确计算；频率分布直方图的估计方法. （3）一个核心思想：用样本的集中趋势估计总体的集中趋势. （4）一个关键提醒：结合实际背景选择合适的统计量，避免被数据误导. 2. 平均数、中位数、众数的混淆. 22 作业 《课时作业》 9.2.3 总体集中趋势的估计 $