专题2.1 认识有理数【导图+知识卡片+知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题】-2026-2027学年北师大版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数核心知识，从具有相反意义的量切入，系统梳理正数负数定义、有理数分类、相反数、绝对值、数轴及大小比较等知识点，构建从实际意义到抽象概念再到工具应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，含23个题型讲练、中考真题及难度分层训练，结合思维导图辅助梳理。通过数轴规律探究、绝对值非负性应用等题型，培养学生抽象能力与推理意识，实际应用题（如乒乓球质量误差）发展应用意识，课中助力教学，课后便于学生查漏补缺。

nullnull 专题2.1 认识有理数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 具有相反意义的量 3 知识点二 正数、负数的定义 3 知识点三 有理数 3 知识点四 有理数的分类 3 知识点五 相反数 4 知识点六 绝对值的意义 4 知识点七 绝对值的性质 4 知识点八 比较有理数的大小 4 知识点九 数轴（重点） 5 知识点十 数轴上的点与有理数的关系（重点） 5 知识点十一 数轴法比较有理数的大小 5 题型讲练 5 题型一 正负数的定义 5 题型二 相反意义的量 6 题型三 正负数的实际应用 6 题型四 有理数的定义 7 题型五 0的意义 7 题型六 有理数的分类 8 题型七 带“非”字的有理数 9 题型八 数轴的三要素及其画法 10 题型九 用数轴上的点表示有理数 11 题型十 利用数轴比较有理数的大小 12 题型十一 数轴上点的平移(动点问题） 12 题型十二 数轴上找原点 13 题型十三 数轴上整点覆盖问题 14 题型十四 数轴上的规律探究 15 题型十五 相反数的定义 16 题型十六 化简多重符号 16 题型十七 相反数的应用 17 题型十八 绝对值的几何意义 18 题型十九 求一个数的绝对值 19 题型二十 绝对值非负性 19 题型二十一 绝对值的其他应用 20 题型二十二 有理数大小比较 21 题型二十三 有理数大小比较的实际应用 21 中考真题演练 22 难度分层训练 25 【基础夯实】 25 【培优拔高】 30 知识点一 具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点二 正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点三 有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点四 有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点五 相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点六 绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点七 绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点八 比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点九 数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点十 数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点十一 数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 题型一 正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A．0.001 B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类．负数是指小于零的数，因此只需判断各选项是否小于零即可． 【详解】解：A．0.001大于0，是正数，不合题意； B．0既不是正数也不是负数，不合题意； C．1大于0，是正数，不合题意； D．小于0，是负数，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·广西玉林·期末）下列各数中，属于负数的是（    ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的概念，解题的关键是明确负数是小于的数，据此对各选项逐一判断． 【详解】解：A、，是正数，此选项不符合题意； B、既不是正数也不是负数，此选项不符合题意； C、，是正数，此选项不符合题意； D、，是负数，此选项符合题意． 故选：D． 题型二 相反意义的量 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如果水位升高3米记作米，那么水位下降5米记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确一对相反意义的量中，一个记为正，另一个就用负表示．明确题目中正负的规定后即可直接作答． 【详解】解：∵水位升高3米记作米， ∴水位下降5米记作米． 【变式训练】若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个意义相反的量用负表示，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵数轴上一点向右移动6个单位长度记作， ∴向左移动2个单位长度记作． 题型三 正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 【答案】D 【分析】先根据标准质量及误差得出符合题意的范围，再判断答案即可． 【详解】解：∵乒乓球的标准质量为2.7克，且误差为， ∴， 所以乒乓球合格的范围是， 可知2.72克符合题意． 【变式训练】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如果运进粮食记作：，那么运出粮食记作：_________． 【答案】 【详解】解：∵运进粮食记作，即运进记为正， ∴运出粮食记作． 题型四 有理数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各数中不是有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数），据此判断各选项即可 【详解】解：0是整数，是分数，可化为分数，都是有理数， 不是有理数， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 题型五 0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断即可解答． 【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意； B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意； D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题考查了0的意义、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据0的意义、有理数的分类、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较逐个判断即可得． 【详解】解：①有理数中，0的意义不仅可以表示没有，也可以作为某些数量的界限，如温度等；则原说法错误； ②带“＋”的数不一定是正数，带“－”的数不一定是负数，如，既不是正数也不是负数；则原说法错误； ③最大的负整数是，则原说法正确； ④数轴上原点两侧满足绝对值相等的数互为相反数，例如2和在原点两侧，但它们不互为相反数，则原说法错误； ⑤任何数的绝对值都大于或等于0；则原说法正确； ⑥需要限定都是负数，即两个负数比较大小，绝对值大的反而小，例如比较两个正数时，，它们的绝对值也满足，则原说法错误； 故答案为：③⑤． 题型六 有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数： 分数： 负数： 【答案】见解析 【详解】解∶，， 整数：，0，，； 分数：，，，，； 负数：，，， 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 【答案】见解析 【详解】解：， 如图所示，即为所求： 题型七 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零． 根据非负整数的概念求解即可． 【详解】解：， ∴在中， 非负整数有：0，1，，共3个， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）在，，0，，，，6中，非负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的定义，根据大于等于0的数是非负数即可求解． 【详解】解：在中，非负数有，0，，6，共4个． 故选：D． 题型八 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 【变式训练】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 【答案】(1)见详解 (2)在数轴上表示见详解， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴三要素画出数轴即可； （2）先把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】（1）解：数轴如下； （2）解：将各数在数轴上表示如图所示： 由图可知：． 题型九 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并把它们用“”连接起来． 3，，0，， 【答案】表示见详解， 【分析】表示出各数，利用数轴进行大小比较即可． 【详解】解：在数轴上表示为 由数轴得 ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合并找出原点的位置是解题的关键． 根据，可确定原点的位置，再根据原点的位置确定负数的个数即可． 【详解】， 的中点为原点，由图可知原点在之间， 即点对应的数为负数，则四个数中是负数的有2个． 故答案为：2． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）有理数，在数轴上的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴，可得，即可解答． 【详解】解：由数轴可得， ∴选项A、B、D错误，C正确． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 题型十一 数轴上点的平移(动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期末）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的平移，熟练掌握平移规则是解题的关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动时数值增加，向左移动时数值减少，即可得点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 题型十二 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 【变式训练】（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来．，，0，，2.5． 【答案】(1)见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则，绝对值，数轴的认识，能在数轴上表示各数是解题的关键． （1）根据A，B的数值，找出原点即可； （2）先对有理数进行化简，再在数轴上表示各数，按数轴上右边的数总大于左边的数原则，依次从左往右用“＜”把各数连接即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）， 如图所示． ． 题型十三 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 题型十四 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． 题型十五 相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 的相反数是 ． 【变式训练】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）已知，互为相反数，则值为______．，互为倒数，则值为______． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义，直接求解即可． 【详解】解：相反数的定义，互为相反数的两个数的和为， ∴当，互为相反数，则； 倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为， ∴当，互为倒数，则． 故答案为：；． 题型十六 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较、相反数与绝对值的基本运算逐一判断选项即可． 【详解】解：∵负数小于正数，为负数，4为正数， ∴，选项A正确，符合题意； ∵， ∴选项B错误，不符合题意； ∵， ∴选项C错误，不符合题意； ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，， ∴，选项D错误，不符合题意． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1)1.2 (2) 【分析】本题主要考查了化简多重符号、绝对值等知识， （1）根据化简多重符号法则“负负得正，负正得负，正正得正”，即可获得答案； （2）先化简绝对值内部分，然后根据绝对值定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型十七 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】本题考查了绝对值的化简，相反数，根据，所以，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，得出答案． 【分析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 题型十八 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列数中离原点距离最近的是（   ） A． B．3.5 C． D． 【答案】D 【分析】数轴上的点到原点的距离，即该点对应的数的绝对值，只需计算各选项数的绝对值，比较大小后找出绝对值最小的数即可． 【详解】解： ，，，， ∵ ∴的绝对值最小，即离原点距离最近． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 【答案】 【分析】此题考查的是求一个数的绝对值，数轴上的点表示有理数，根据绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：点所表示的数为 ∴点所表示的数的绝对值是 故答案为：． 题型十九 求一个数的绝对值 【典例精讲】（23-24七年级上·广西北海·期末）________． 【答案】16 【详解】解：． 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 【答案】 【详解】解：， ． 题型二十 绝对值非负性 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． 题型二十一 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）某零件的标准尺寸是，下列四个零件的尺寸中，最接近标准尺寸的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的实际应用，解题关键是通过计算各选项与标准尺寸的差值的绝对值，比较绝对值大小来判断哪个尺寸最接近标准，绝对值越小则越接近． 【详解】解：计算各选项与标准尺寸的差值的绝对值： A选项： B选项： C选项： D选项： ∵， ∴D选项的尺寸最接近标准尺寸． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的概念，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，找出绝对值小于的负整数即可． 【详解】解：，绝对值小于的负整数，即其绝对值为正整数且小于， 因此绝对值可以是，，，，，，， ∴负整数为，，，，，，． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二十二 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·广西河池·期末）在四个数，，，中，最小的数是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴四个数，，，中，最小的数是． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列有理数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的基本法则求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 将四个数从小到大排列可得：， ∴最小的数是． 题型二十三 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）以下四个城市某月的平均气温中最低的是(    ) A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，依据正数与负数、负数之间的大小比较规则即可找出最低气温． 【详解】解：∵正数大于负数 ∴和均大于负数温度 又∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小 ，，且 ∴ 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）北京、上海、广州、宜昌这四个城市某一时刻的气温分别为，，，，则这四个城市在这一时刻气温最低的是_______． 【答案】北京 【分析】本题考查了有理数的大小比较，会比较多个有理数（含负数）的大小是解题的关键． 比较四个气温数值的大小，找出最小值即可得出． 【详解】解：∵， ∴这四个城市在这一时刻气温最低的是北京． 故答案为：北京． 【真题演练1】（2025·广东深圳·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，相反数的性质，绝对值的定义，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断． 由数轴知，画出如图，根据绝对值定义，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意画出如图： 由到0的距离远近可知：，故（1）不符合题意，（3）符合题意； 由数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数知：，，故（2）（4）符合题意；故结论正确的有3个． 故选：C． 【真题演练2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 【真题演练3】（2025·陕西宝鸡·中考真题）若的最小值为3，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据代数式的最小值，得到关于的方程，求出的值即可． 【详解】 表示数轴上到与到 的距离之和， 且其最小值为3， 当介于与之间时， 与的距离为3，即 若，解得； 若，解得 故答案为：-2或． 【真题演练4】（2025·福建泉州·中考真题）已知，则的最大值是________．最小值是________． 【答案】 【分析】先讨论∶ 、、的最小值，根据它们的积是36，分别得到、、的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，x最小取，最大取2， 当时，y最小取，最大取2， 当时，z最小取，最大取3 ∴的最大值为∶ ， 的最小值为∶ ， 故答案为：；． 【真题演练5】（2025·贵州遵义·中考真题）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【答案】(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，则选项C错误； ∴，则选项A错误，选项B正确； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面的图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，相对两个面上所标注的数互为相反数，则的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体表面展开图的特征，相反数的定义，求代数式的值，由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可得：与是对面，与是对面，结合相反数的定义求出，，代入所求式子计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可得：与是对面，与是对面， ∵相对两个面上所标注的数互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的展开图，将这个图形折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是______． 【答案】7 【分析】先确定正方体展开图中相对的面，再根据“相对面的数互为相反数”列等式，求出、的值． 本题主要考查了正方体展开图的相对面关系及相反数的概念，熟练掌握正方体展开图中相对面的位置特征是解题的关键． 【详解】由正方体展开图可知：和6是相对面，和是相对面，和是相对面， 相对面的数互为相反数 ， ，， ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图以及相反数的概念，解题的关键是根据正方体展开图的特征准确找出相对的面，并利用“相对面上的数字互为相反数”这一条件求出的值；找相对面：利用正方体表面展开图的特征（相对的面在展开图中中间必隔一个正方形），确定“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”，根据“相对的两个面上的数字互为相反数”，结合相反数的定义分别求出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得和“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”． 因为在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数， 所以，，， 所以． 8．（25-26七年级上·新疆和田·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． ，，0， ，， 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查有理数的化简、数轴表示及大小比较，涉及知识点：相反数、绝对值、乘方的运算，数轴的定义，有理数大小比较的法则．解题技巧是先化简各数，再在数轴上准确标注，最后根据数轴上 “左边的数小于右边的数” 进行排序；解题关键是正确化简带符号的数，避免乘方和绝对值的计算错误；易错点是 与 的混淆，以及负数大小比较时的符号错误． 【详解】解：，，．各数在数轴上表示如图所示． 由数轴知． 9．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2，； (2)，，； (3)见解析， 【分析】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：，， 在数轴表示为：      则． 10．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，先化简各数，再表示在数轴上，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，, 在数轴上表示下列各数如图： ， 由数轴可得：． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，熟知绝对值的几何意义是解题的关键．根据所给等式，对x和y的部分分别求出最小值即可解决问题． 【详解】解： ， 则含x的部分为， 由, ,得，， ， 当时，取得最小值，最小值为2； 含y的部分为， 由, , 得，， ， 当时，取得最小值，最小值为， 则， M的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【答案】3037 【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可． 【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度，移动后点所对应的数为1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； ⋯， 移动n次后该点对应的数为个单位长度； ∴移动5次后对应的点数为，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动； ∴第2025次向右移动个单位长度， ∵， 即前2024次移动后表示的数为， ∴， ∴移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037， 故答案为：3037． 7．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1） 解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2） 解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 【答案】(1)； (2)；或 (3)；或 (4)或或 (5) 【分析】本题主要考查了有理数运算，绝对值运算以及分类讨论思想，正确进行分类讨论是解题的关键． () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据上面的结果进行仔细观察，归纳，发现规律，即可到得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是； 故答案为：；； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，分别是或或； （5）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于，， 每一个的值为或， 由此可知的不同值的个数为个，值为； 当时，共有个不同的值， 的取值为； 当所有的都为时，取得最大值， 最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，这些数是关于对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ∴的这些所有的不同的值的和的绝对值为． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识有理数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 具有相反意义的量 3 知识点二 正数、负数的定义 3 知识点三 有理数 4 知识点四 有理数的分类 4 知识点五 相反数 4 知识点六 绝对值的意义 4 知识点七 绝对值的性质 5 知识点八 比较有理数的大小 5 知识点九 数轴（重点） 5 知识点十 数轴上的点与有理数的关系（重点） 5 知识点十一 数轴法比较有理数的大小 5 题型讲练 6 题型一 正负数的定义 6 题型二 相反意义的量 6 题型三 正负数的实际应用 6 题型四 有理数的定义 6 题型五 0的意义 7 题型六 有理数的分类 7 题型七 带“非”字的有理数 7 题型八 数轴的三要素及其画法 8 题型九 用数轴上的点表示有理数 8 题型十 利用数轴比较有理数的大小 8 题型十一 数轴上点的平移(动点问题） 9 题型十二 数轴上找原点 9 题型十三 数轴上整点覆盖问题 9 题型十四 数轴上的规律探究 10 题型十五 相反数的定义 10 题型十六 化简多重符号 10 题型十七 相反数的应用 11 题型十八 绝对值的几何意义 11 题型十九 求一个数的绝对值 11 题型二十 绝对值非负性 11 题型二十一 绝对值的其他应用 12 题型二十二 有理数大小比较 12 题型二十三 有理数大小比较的实际应用 12 中考真题演练 12 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 15 知识点一 具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点二 正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点三 有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点四 有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点五 相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点六 绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点七 绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点八 比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点九 数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点十 数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点十一 数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 题型一 正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A．0.001 B．0 C．1 D． 【变式训练】（25-26七年级上·广西玉林·期末）下列各数中，属于负数的是（    ） A．2026 B．0 C． D． 题型二 相反意义的量 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如果水位升高3米记作米，那么水位下降5米记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 【变式训练】若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 题型三 正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 【变式训练】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如果运进粮食记作：，那么运出粮食记作：_________． 题型四 有理数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各数中不是有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 题型五 0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【变式训练】（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 题型六 有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数： 分数： 负数： 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 题型七 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）在中，非负整数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）在，，0，，，，6中，非负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 题型九 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）在数轴上表示下列各数，并把它们用“”连接起来． 3，，0，， 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）有理数，在数轴上的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 题型十一 数轴上点的平移(动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期末）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 题型十二 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【变式训练】（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来．，，0，，2.5． 题型十三 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 题型十四 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式训练】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 题型十五 相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）已知，互为相反数，则值为______．，互为倒数，则值为______． 题型十六 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）化简下列各式： (1) (2) 题型十七 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型十八 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列数中离原点距离最近的是（   ） A． B．3.5 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 题型十九 求一个数的绝对值 【典例精讲】（23-24七年级上·广西北海·期末）________． 【变式训练】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 题型二十 绝对值非负性 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式训练】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 题型二十一 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）某零件的标准尺寸是，下列四个零件的尺寸中，最接近标准尺寸的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可） 题型二十二 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·广西河池·期末）在四个数，，，中，最小的数是______． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列有理数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 题型二十三 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）以下四个城市某月的平均气温中最低的是(    ) A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）北京、上海、广州、宜昌这四个城市某一时刻的气温分别为，，，，则这四个城市在这一时刻气温最低的是_______． 【真题演练1】（2025·广东深圳·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·陕西宝鸡·中考真题）若的最小值为3，则的值为______． 【真题演练4】（2025·福建泉州·中考真题）已知，则的最大值是________．最小值是________． 【真题演练5】（2025·贵州遵义·中考真题）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面的图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，相对两个面上所标注的数互为相反数，则的值为（   ） A．8 B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 5．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图是一个正方体纸盒的展开图，将这个图形折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是______． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 8．（25-26七年级上·新疆和田·期末）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来． ，，0， ，， 9．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 10．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若，则的最小值为_____． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 6．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 7．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $