北京市大兴精华学校2025-2026学年高三下学期5月高考适应性测试数学试卷

2025一2026学年高考适应性测试 数 学 2026.05 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)设全集U={x∈Z-1≤x≤1，A={xx2=1},则C,A= (A){0 (B){0,1} (C)(-1,1) (D)[-1,1) (2)已知i是虚数单位，z=a+bi(a,beR),已知z是复数z的共轭复数，则下列结论错误 的是 (A)z+z∈R (B)z-z为纯虚数 (C)z·z∈R (D)|z=2 (3)已知a=1,a·b=1,则a·(a-b)= (A)0 (B)1 (C)2 (D)2 (o双曲线+古=1与双曲线-子1的 (A)顶点相同 B)焦点相同 (C)虚轴长相等 (D)离心率相等 (5)已知a=5,b=4⊙，c=26,则a,b,c的大小关系为 (A)c>b>a (B)a>b>c (C)b>a>c (D)b>c>a (6)函数f(x)=[aa2+(4a2-1)x]sinx(a∈R)在区间[-2r,2π]上的大致图象不可能为 y A) (B)-2 -2 2元1 (D 27 2π3 数学第1页（共5页） (7)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三 个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5 月21日8时36分为小满时节，其日影长为 (A)3.5尺 (B)2.5尺 (C)1.5尺 (D)0.5尺 (8)设函数f八x)=sin(x+0),则“tan20=0”是“f代x)的图象关于y轴对称”的 （A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 「g(x),f(x)≥g(x) (9)已知f(x)和g(x)都是定义在R上的奇函数，设h(x)= 则 f(x),f(x)<g(x) （A)h(x)不可能是增函数 (B)h(x)不可能是偶函数 (C)h(x)≤fx)+g(x) (D)h(0)≥h(x)+h(-x) (10)若点M(0,1)关于动直线l:x+(m-1)y-m=0(m∈R)的对称点为N,0为坐标原点. 给出下面3个结论： ①0M·ON的取值范围是[0,2]； ②当ON|=√5时，符合条件的点N有且只有一个； ③当OW取到最大值时，m=√2 其中正确结论的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 )- 的展开式中x2的系数为 ·（用数字作答) (12)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为5，则△OFP的 面积为 (13)函数f(x)=3sinx-4cosx的最大值是 ,f(x)取最大值时，sinx= (14)中国古代数学瑰宝《九章算术》卷五“商功”中记载了一种称为 “曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形（扇环 B 是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，其中 D M,B,CC,DD是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，D A 的长度为BC的长度的2倍，A41=4,CD=2,则该曲池的体积为 ;表面积为 数学第2页（共5页） (15)已知正项数列{an}满足：a+1=an+2,n∈N*,数列{an}的前n项和Sn=a1+…+an 给出下列四个结论： ①当a1=1时，S3<3a2; ②当a1∈(2，+o)时，数列{an}单调递增； ③当a1=1时，Sn≤2n-1(n≥2，n∈N*); ④当a∈(0,2)时，VneN,都有a,-2≤g成立. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在△ABC中，sinA=2 sinBcosC. (I)证明：△ABC为等腰三角形； (Ⅱ)若AC边上的高与BC边上的高之比为1：3，求cosA. (17)(本小题14分) 在三棱锥P-ABC中，PA LAB,AB=3,AC=4,PA=6,PC=213.点E在棱PB 上，点F为BC中点， (I)若点E为PB中点，平面PAC∩平面AEF=m,证明：EF∥m; (Ⅱ)若点E满足PE=2EB,从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件， 使得三棱锥P-ABC存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值， 条件①：EF=√13； 条件②：BC=√13； 条件③：∠BAC=60°. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个 符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 数学第3页（共5页） (18)(本小题13分) 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电 桩只支持一种充电方式).该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从 中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 日均使用情况 充电桩的个数 不超过5次 超过5次 充电方式 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 (I)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超 过5次的概率； (Ⅱ)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10 元、10元、20元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取3个，设X为抽 取的3个充电桩的日均维护费用之和，求X的分布列和数学期望E(); (Ⅲ)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已 知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7：3.在日均使 用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为α；在日均使用超过5次的快充 充电桩中，公用充电桩的占比为0.7.试比较α与0.7的大小.（结论不要求证明) (19)(本小题15分) 包知椭圆C:专 +京=1(a>b>0)的离心率为5 ,以椭圆两个焦点与短轴的两个 端点为顶点构成的四边形的面积为4√3， (I)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)过点P(0,2)作直线1与椭圆C相切于点Q,且直线（斜率大于0，过线段PQ的中 点R作直线交椭圆于A,B两，点（点A,B不在y轴上），连结PA,PB,分别与椭圆交 于点M,N,记△MPQ,△NPQ的面积分别为S,S2,比较S1与S2的大小关系，并说 明理由 数学第4页（共5页） (20)(本小题15分) 已知函数)品 (I)若曲线y=f(x)与直线y=b相切于点(a,f八a),求a,b的值； (Ⅱ)若关于x的方程fx)=m有两个不同的解x1,x2, ()直接写出m的取值范围，并求证：m=n,-ln x1-七2 ()判断m与x1+x2的大小关系，并说明理由. (21)(本小题15分)》 给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T={la-b1laeS,beS且a≠b}, 如果min(T)=1,则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素 绝对值之和. (I)判断A={-0.1,-1.1,2,2.6},B={-1.5,-0.5,0.5,1.5}是不是规范数集； (结论不要求说明理由) (Ⅱ)任取一个n元规范数集S,求证：min(S)+max(S)≥n-l; (Ⅲ)当S={x1,x2,…,x226}取遍所有2026元规范数集时，求范数f的最小值. 注：min(X),max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数. 数学第5页（共5页） 2025一2026学年高考适应性测试 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)A (2)B (3)A (4)B (5)D (6)C (7)D (8)B (9)D (10)C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)-5 (12)2 B)5号 (14)8π：12π+16 (15)①③④ 注：(13)（14)题第一空3分，第二空2分：（15)题全部选对得5分，有两个进对且 无错进得4分，有一个选对且无错进得3分，其他得0分 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(本小题13分) 【解】(I)因为A+B+C=π，所以sinA=sin(B+C, 所以sin BcosC+cos BsinC=2 sin BcosC …3分 所以sinB·cosC-cos BsinC=0 sin(B-C)=0 …5分 又因为B,C∈(0，x)所以B-C∈(-π，) 所以B=C 所以△ABC为等腰三角形 …7分 )设4C边上的商为A,BC边上的商为%，则经= 因为8.c=4=0%,所以g=点-月 2 b h 3" 所以b=c=3a, …10分 由余弦定理可知co84=b+c2-a2_9如2+902-a17 2bc 18a3 18 …13分 (17)(本小题14分) 三 【解】(1)E,F分别是PB,BC的中点， .EF∥PC ,EFa平面PAC,PCc平面PAC ∴.EF∥平面PAC …4分 :EF∈平面AEF,平面AEF∩平面PAC=1 ∴.EF∥m …6分 (Ⅱ)选条件②：BC=V13 PA2+AC2 PC2 ∴.PA⊥AC PA⊥AB,AB∩AC=A .PA⊥平面ABC :cos∠BMC=4B+4C2-8C_9+16-13_1 2AB·AC 2×3×42' ,∠BAC∈(O,x) ∠BMC=月 在平面ABC内，过A作AH⊥AB,则AB,AH,PA两两垂直： 如图，以A为原点，AH为x轴，AB为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系A一2， …8分 则A(0,0,0)B(0,3,0),P(0,0,6),C25,2,0 PE=2EB,E(02,2),由于F为BC中点， 故Fa2o 正=0,22.F=5,30,而=0.0，.4c-5,2.0 万AE=0 E.万=2y+2z=0 设平面AEF的法向量万=(x,y), 即 a正=0' 亚i=ix+3=0 令x=5,则y=-25,z=25,故方=5，-25,2月)， m.P=0nPm=62,=0 设平面PAC的法向量历=(x,乙)， 即 m.4c=0'4Cm=23x,+2y,=0 国 令y=-5,则x=1,故m=山，-5.0)， 0000e 10分 设平面AEF与平面PAC所成的角为O, 则cos0=os(m,= 5+6+01 2×714 平面F与平面PAC所成夹角的余弦值为号 …14分 选条件③：∠BAC=60 PA2+AC2 PC2 ∴、PA⊥AC ,PA⊥AB,AB∩AC=A ∴.PA⊥平面ABC 在平面ABC内，过A作AH⊥AB,则AB,AH,PA两两垂直： 如图，以A为原点，AH为x轴，AB为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系A一z,后续解法同@ …14分 (18)(本小题13分) 【解】(1)随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数超过5次的有：60+400+140=600个， 设事件A:“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过 5次”，则P-勰-号 …3分 (Ⅱ)设事件B:“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10 元”， 依题意可得，P(B)=140+60+200+400=4，P)=60+140=1, 1000 1000=5 随机变量X的的取值范围为(30,40,50,60). 64 P(X=40)=Cx(3x=48 5125 Px=s0=c*品 P(X=60)=cx=125 所以随机变量X的分布列如下表所示： 3 X 30 40 50 60 64 48 12 125 125 125 125 故E(X)=30x64 +40x 48 12 1 +50× +60× =36. 125 125 10分 125 125 (m)a=0.7 13分 快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7：3，故公用充电桩的个数为 600x7=420,日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0，.7， 10 故公用充电桩的个数为400×0.7=280， 日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个， 设公用占比为a,则公用充电桩的个数为200a, 由题意可得200a+280=420,解得a=0.7,故a=0.7. (19)(本小题15分) 【解】(I)由题意得 2c2b=45,解得 a2=8 2 b2=2' a2=b2+c2 则椭圆C的标准方程为父+上 …4分 82 1 (Ⅱ)设切线P2的方程为y=c+2(k>0), …5分 A(),B(x2,),M(x,),N(xa,y) [y=a+2 由 若号=蒲去y+)2+16+8=00, 则△=(16k)3-321+4k2）=32(4k2-1)=0. 解得么=方或-片（合去），将4=行代入@得， 1 x2+4x+4=0,解得。=-2，则g=7。+2=l1, 所以Q(-2,又R为P2中点，则R-引 …8分 ■ 因为PA,PB斜率都存在，不妨设k,=飞=上-2 km=k=业-2 8 0可得名1+4级，所以 8 8 8x 孑+4-164+168-16y+163-2y, 为÷当 25+2=2+2,同理3-2% 3-2y %是2则安 2-丛 与-x43(:-)+2(y-2) …11分 又R么B三点共候，则x-引+)=(%+4引 化简得以-以=-)+0：-小. 所以 2-当 36-)236-04%-对 2(y2-)2, …14分 所以a空e·所以oNPe.所以号=8. …15分 (20)（本小题15分) 【解】(1)了)=血x-1 …1分 In2x 依题∫a)=ha-1=0,所以na=l,所以a=e, …3分 In2a 又b=f(e)=e,所以a=e,b=e. …4分 (Ⅱ)(1)me(e,+o) …5分 依题孟% 五=m,且x≠： 所以x=mhx,x2=ml血x2 …7分 所以x-x2=mlhx-mhx3=m(血x,-lhx2) 所以-名一=m …9分 Inx -Inx2 (1)令g(x)=lnx-x-」 +xe(0,1). …10分 5 则g)=1,2=+1 (+可在+所以xe(Q,)时，有g树>0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增， …11分 所以x∈(0,1)时，有g(x)<g)=0, 不妨设x>x>0,所以0<立<1， 左-1 左-1 所以n点-立—<0，所以n主<名—，所以h名-n5<名-点<0， x2左+1 “x左+1 为+x2 X2 X2 1 。>+五，又x-3<0,所以名二名。<+名： 所以nx-nx石- Inx-Inx2 即：m<为+x2, …15分 (21)(本小题15分) 【解】(I)集合A不是理想数集，集合B是理想数集， …4分 ()不妨设集合S中的元素为名<为2<…<x,即mi血(S)=x,max(S)=xn, 因为S为规范数集，则ieN°，1≤i≤n-1, 则x1-x,21,且3，∈N,1≤6≤n-1,使得x61-x%=1, 当x20时， min(S)+max(S)==+=()+)+..()+2x 2n-1+2x2n-1, 当且仅当x,-x=1且，=0时，等号成立： 当x≤0时， min(S+max(S=+kl=-x-x,=(:-x)+(s-x)+…+(x,-x)-2.x 2n-1-2x2n-1. 6 当且仅当x1-x=1且x,=0时，等号成立： 当与<0，xn>0时， min(S)+max(S)==+=()+.+(xx)2n-1. 当且仅当x1-x=1时，等号成立： 综上所述：min(S+max(s2n-l. …9分 (Ⅲ)不妨设书<：2<…<：6，因为S为理想数集， 所以ieN,1s1s2025,x1-x21,且3i,∈N,1s6≤2025，使得x1-x。=1. 对于S,={…,xm}sS,同样有ieN,1sjs1013,x41-x,21. 由()得|min(S+max(S2n-1. 所以mim(S,+max(S,22027-21.当且仅当×州-x=1时，等号成立. 所以3+522622025，+xo2≥2023…xl十xo21 所以范数∫=k+++k2ms2025+2023++1=2025+1x1013 10132. 当且仅当：o=0或名oa=0时，等号成立. 所以范数∫的最小值为10132=1026169. …15分