期末考试必考题型（四）—— 整式、分式、方程组与因式分解综合压轴（4大考点6类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）—— 整式、分式、方程组与因式分解综合压轴（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式乘除 1 【考点二】因式分解 2 【考点三】二元一次方程组 2 【考点四】分式 2 二.必考题型精析 2 【题题1】乘法公式 + 因式分解 + 整体代入求值 2 【题型2】因式分解 + 分式化简求值 3 【题型3】含参二元一次方程组 + 整式与分式参数求解 5 【题型4】整式乘除 + 因式分解规律综合 7 【题型5】二元一次方程组 + 分式复合型应用题 10 【题型6】多条件综合探究压轴 13 一.必考点知识回顾 【考点一】整式乘除 1、幂的运算：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负整数指数幂 2、整式乘法：单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式（平方差、完全平方公式为重中之重） 3、整式除法：多项式 ÷ 单项式化简 4、整体代入求值（配完全平方式求参数） 【考点二】因式分解 1、基础三步法：一提（提公因式）→二套（平方差 / 完全平方）→三检查 2、分组分解法（压轴高频）、十字相乘法（拓展必考） 3、利用因式分解求代数式的值、求字母参数 4、利用因式分解简便运算 【考点三】二元一次方程组 1、代入消元、加减消元解常规方程组 2、含参数方程组：解的情况（唯一解 / 无数解 / 无解）、方程组的解满足另一代数式 / 方程求参 3、二元一次方程组实际应用（搭配分式出应用题压轴） 【考点四】分式 1、分式有意义、无意义、值为 0 的条件（分母≠0，分子 = 0） 2、分式化简求值（先因式分解再约分，混合运算：乘除 + 加减） 3、分式含参：化简后与 x 取值无关求参数 4、分式应用题（搭配二元一次方程组成应用题压轴） 二.必考题型精析 【题题1】乘法公式 + 因式分解 + 整体代入求值 1．（25-26七年级下·河北张家口·期中）计算、求值 （1）计算： （2）已知，求的值． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）先因式分解，再求值：已知，，求的值． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 （1）因式分解：①；②． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： （1）先分解因式，再求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 6．（20-21七年级下·广西桂林·阶段检测）先因式分解，再求值：，其中，． 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值． ，其中x，y为整数，且满足． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再求值： （1），其中，． （2），其中，满足，． 【题型2】因式分解 + 分式化简求值 1．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）（1）计算：； （2）因式分解：． 2．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）（1）因式分解：； （2）化简：． 3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）（1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）； （4）； （5）； （6）． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）因式分解： ①； ②． （2）化简： ①； ②． 7．（25-26七年级上·上海·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； （3）化简：． 8．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【题型3】含参二元一次方程组 + 整式与分式参数求解 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（   ） ①当时，方程组的解的值互为相反数；②满足关系式；③若，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）若，则分式的值为___________． 4．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则___________，___________． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）解方程组：，并求分式的值． 6．（23-24八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：__________．__________． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含、的字母表示：__________； （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是_________ A．    B． C．    D． （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 问题： （1）以上化简步骤中第一步将原式中的变形为用到了（） A．整式乘法  B．因式分解 （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出此题正确的化简过程，并从，0，1中选取合适的数代入求值． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为______； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【题型4】整式乘除 + 因式分解规律综合 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（   ） A．8 B．18 C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… （1）填空：__________ （2）设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： （3）小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 6．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： （1）根据规律写出的展开式：___________． （2）根据规律写出的展开式：___________． （3）利用上述规律计算：． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）【阅读理解】 下面是课本习题中的部分内容． 用计算器计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 嘉嘉同学由于手头没有计算器，在做该习题时，他通过认真思考，发现可以按如下解法去完成： （1）； （2）； （3）； （4）． 【规律运用】 仔细观察上面几道题的解题过程及其结果，你能发现什么规律？用你发现的规律解答下面的问题． （1）按所得规律写出______ （2）直接写出______． 【拓展延伸】 （3）计算：． 8．（2026·宁夏固原·二模）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ； ； ； ； ； …… 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： ①____________； ②____________． （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则的取值范围为，等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边右边，为11的倍数； 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【题型5】二元一次方程组 + 分式复合型应用题 1．（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 （1）填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） （2）求m的值； （3）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 2．（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 3．（2026·重庆·模拟预测）随着“健康生活月”活动的开展，社区居民的健身热情日益高涨．某社区服务中心计划采购、两种类型的健身设备以满足居民的健身需求．已知型健身设备的单价比型健身设备的单价高800元，购买2台型健身设备的费用比购买3台型健身设备的费用少2000元． （1）求、两种类型健身设备的单价各是多少元？ （2）随着市场的变化，型健身设备的上涨金额是型健身设备的上涨金额的2倍，上涨后用72000元购买型健身设备的数量和用56000元购买型健身设备的数量相同，求型健身设备的单价上涨了多少元？ 4．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． （1）求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ （2）求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ （3）市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 5．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． （1）求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ （2）该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ （2）为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． （1）问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ （2）小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ （3）根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 8．（20-21八年级上·重庆沙坪坝·期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元． （1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？ 【题型6】多条件综合探究压轴 1．（25-26八年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 （3）在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． （1）初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． （2）深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． （3）拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 5．（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． （1）若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； （2）【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； （3）【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 7．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 8．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）—— 整式、分式、方程组与因式分解综合压轴（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式乘除 1 【考点二】因式分解 2 【考点三】二元一次方程组 2 【考点四】分式 2 二.必考题型精析 2 【题题1】乘法公式 + 因式分解 + 整体代入求值 2 【题型2】因式分解 + 分式化简求值 7 【题型3】含参二元一次方程组 + 整式与分式参数求解 16 【题型4】整式乘除 + 因式分解规律综合 23 【题型5】二元一次方程组 + 分式复合型应用题 31 【题型6】多条件综合探究压轴 39 一.必考点知识回顾 【考点一】整式乘除 1、幂的运算：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负整数指数幂 2、整式乘法：单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式（平方差、完全平方公式为重中之重） 3、整式除法：多项式 ÷ 单项式化简 4、整体代入求值（配完全平方式求参数） 【考点二】因式分解 1、基础三步法：一提（提公因式）→二套（平方差 / 完全平方）→三检查 2、分组分解法（压轴高频）、十字相乘法（拓展必考） 3、利用因式分解求代数式的值、求字母参数 4、利用因式分解简便运算 【考点三】二元一次方程组 1、代入消元、加减消元解常规方程组 2、含参数方程组：解的情况（唯一解 / 无数解 / 无解）、方程组的解满足另一代数式 / 方程求参 3、二元一次方程组实际应用（搭配分式出应用题压轴） 【考点四】分式 1、分式有意义、无意义、值为 0 的条件（分母≠0，分子 = 0） 2、分式化简求值（先因式分解再约分，混合运算：乘除 + 加减） 3、分式含参：化简后与 x 取值无关求参数 4、分式应用题（搭配二元一次方程组成应用题压轴） 二.必考题型精析 【题题1】乘法公式 + 因式分解 + 整体代入求值 1．（25-26七年级下·河北张家口·期中）计算、求值 （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）18 【分析】（1）根据负整数指数幂、有理数的乘法法则计算即可； （2）根据提公因式法和完全平方公式分解因式后代入求解即可； 解：（1）解：； （2）解：∵， ∴． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）先因式分解，再求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】此题考查了代数式的值和因式分解，熟练掌握因式分解和整体代入是解题的关键．把原式因式分解后，利用整体代入即可得到答案． 解： 当，时，原式 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解或求值 （1）因式分解：①；②． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）①；②；（2）另一个因式是，的值为 【分析】（1）①提公因式，即可求解；②根据平方差公式因式分解即可求解； （2）设另一个因式为 ，根据多项式的乘法计算，对比多项式的各项，求得的值，即可求解． 解：（1）解：①； ② （2）解：设另一个因式为 由题意得： ∴， 解得：， ∴另一个因式是，的值为 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 【答案】（1）15；（2）4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）按要求完成下列计算： （1）先分解因式，再求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 【答案】（1），3；（2）150 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后，代入数据计算即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，然后整体代入数据计算即可求解． 解：（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：∵，， ∴ ． 6．（20-21七年级下·广西桂林·阶段检测）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．首先提取公因式进行因式分解，再代入求值即可． 解： ， 当，时， 原式． 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值． ，其中x，y为整数，且满足． 【答案】，0 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式和去括号法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出x，y的值，最后代入化简的结果计算即可． 解： ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再求值： （1），其中，． （2），其中，满足，． 【答案】（1），5；（2），18 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）提公因式后用完全平方公式化简，再将的值代入求值； （2）提公因式后用平方差公式展开、合并同类项，将代数式的值代入到最简式中． 解：（1）解：原式． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式． 【题型2】因式分解 + 分式化简求值 1．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式除法，因式分解等知识． （1）先对分式进行因式分解，然后再把除法转化成乘法，然后约分即可得出答案． （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 解： （1） ． （2） ． 2．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）（1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1）3x（x+2）（x－2）；（2） 【分析】（1）先提供因式3x，再利用平方差公式分解因式即可求解； （2）利用平方差公式、完全平方公式进行分式的乘除法运算求解即可． 解：（1） =3x（x2－4） =3x（x+2）（x－2）； （2） = =． 【点拨】本题考查因式分解、分式的乘除法，熟记平方差公式和完全平方公式，掌握分式的运算法则是解答的关键． 3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）（1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），8 【分析】本题主要考查了因式分解，分式的混合运算及化简求值．熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）先化简分式，然后代入计算即可 解：（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 4．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）①化简结果是；②选取的数是，此时代数式的值为 【分析】本题考查了因式分解和分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法和分式的混合运算． （1）用平方差公式分解即可； （2）用完全平方公式分解即可； （3）先化简分式，再代入合适的值计算即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ， 由题意得，， 解得且， 所以x取， 当时，原式， 所以选取的数是，此时代数式的值为． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了分解因式，分式的混合计算： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因数4，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先计算乘方，再根据分式乘除法计算法则求解即可； （4）根据分式除法计算法则求解即可； （5）根据同分母分式减法计算法则期间即可； （6）先计算分式乘法，再计算分式减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）因式分解： ①； ②． （2）化简： ①； ②． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【分析】（1）①先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；②利用完全平方公式，结合平方差公式进行因式分解即可； （2）①先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答；②先将括号内的分式通分，再进行除法运算即可解答． 解：（1）解：①原式 ； ②原式 ． （2）解：① ； ② ． 7．（25-26七年级上·上海·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； （3）化简：． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题干提供的解题思路分解分式即可； （）仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得 ，解得，从而求解； （）分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 解：（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴ 比较分母，得 ， 比较分子，得 ，解得 ， 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 8．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 【题型3】含参二元一次方程组 + 整式与分式参数求解 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（   ） ①当时，方程组的解的值互为相反数；②满足关系式；③若，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先求得原方程组的解为，①把代入，求得x，y的值即可判断；②在原方程组中，消去a，得到x，y的关系式，即可判断；③把底数统一化成3，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a值，即可判断． 解：∵， 由①得：③， 把③代入②中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当时，，， ∴方程组的解互为相反数， ∴①正确； ②在原方程组中，得：， ∴②不正确； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴③正确． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别解出二元一次方程组，分式方程，根据题意得到满足条件的m的值，计算即可． 解：解方程组， 解得：， 当方程组有解时，， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有正数解， ∴， 解得，， 当，即时，分式方程无解， ∴， ∴或， ∴满足条件的的值之和为：． 故选：D． 【点拨】本题考查分式方程的解法、二 元一次方程组的解法， 正确解出分式方程、二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）若，则分式的值为___________． 【答案】 【分析】由算术平方根，偶次方的非负性可得，再利用加减法可得，，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 得：即， 得：即， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练的利用整体代入法求值是解本题的关键． 4．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则___________，___________． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 解：∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）解方程组：，并求分式的值． 【答案】， 【分析】利用代入消元法求出方程组的解，然后把x，y的值代入分式进行计算即可． 解：把代入得：， 解得：， ∴， 故方程组的解为， ∴． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，分式的求值，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题的关键． 6．（23-24八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：__________．__________． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含、的字母表示：__________； （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是_________ A．    B． C．    D． （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【答案】（1）；；（2）；（3）A；（4）． 【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）根据（2）发现的计算公式进行分析即可； （4）逆运用新公式，把m3-n3变形为（m+n）（m2-mn+n2），再化简分式． 解：（1）（a+2）（ a2-2a+4）=a3-2a2+4a+2a2-4a+8=a3+8； （2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3=8x3+y3． 故答案为：a3+8，8x3+y3； （2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3． 故答案为：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3． （3）给出的各式，只有A符合新公式特点，能用发现的乘法公式计算． 故答案为：A． （4） 【点拨】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键．乘法的立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；乘法的立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 问题： （1）以上化简步骤中第一步将原式中的变形为用到了（） A．整式乘法  B．因式分解 （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出此题正确的化简过程，并从，0，1中选取合适的数代入求值． 【答案】（1）B；（2）二；（3），当时，原式 【分析】本题考查因式分解，分式的化简求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解的定义进行求解即可； （2）根据去括号，括号前面是负号时，括号内的每一项都要变号，即可解答； （3）先进行分式的化简，再根据分母不为零求出且，则选代入计算即可． 解：（1）解：∵， ∴将原式中的变形为用到了因式分解． 故选B． （2）解：原式 ， ∴从第二步开始出现错误． 故答案为：二． （3）解：原式 ， ． ∵且， ∴且， 选，则原式． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为______； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】（1）；（2）1，3；（3），证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 【题型4】整式乘除 + 因式分解规律综合 1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（   ） A．8 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 解：由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】的展开式系数对应杨辉三角的第行，按规律推出的所有系数即可得到目标项的系数． 解：∵由题意可知，杨辉三角中下一行每个系数（两端的1除外）等于上一行相邻两个系数之和，对应的系数即第5行系数为， ∴对应的第6行系数为：，即； ∴对应的第7行系数为：，即； 又∵展开式按降幂排列时，为第4项，对应系数为20． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【分析】本题考查二项式展开式的规律探索和应用．从给出的图中可以分析出，第二项系数为，且第二项的次数为，通过化简计算即可得出含项的系数． 解：由题意可得，含项是，所以含项的系数是． 5．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… （1）填空：__________ （2）设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： （3）小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 【答案】（1），；（2）；证明见分析；（3）（，为正整数）， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）根据运算规律发现个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明，再利用该结论计算求解即可． 解：（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得（，为正整数）， 证明： （，为正整数）； （3）解： ， ∴． 故答案为：（，为正整数）． 6．（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： （1）根据规律写出的展开式：___________． （2）根据规律写出的展开式：___________． （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到，进行求解即可． 解：（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）【阅读理解】 下面是课本习题中的部分内容． 用计算器计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 嘉嘉同学由于手头没有计算器，在做该习题时，他通过认真思考，发现可以按如下解法去完成： （1）； （2）； （3）； （4）． 【规律运用】 仔细观察上面几道题的解题过程及其结果，你能发现什么规律？用你发现的规律解答下面的问题． （1）按所得规律写出______ （2）直接写出______． 【拓展延伸】 （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据规律利用完全平方公式求解； （2）根据规律求解； （3）根据规律利用完全平方公式求解． 解：（1）解： ； （2）解：； （3）解：． 8．（2026·宁夏固原·二模）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ； ； ； ； ； …… 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： ①____________； ②____________． （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则的取值范围为，等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边右边，为11的倍数； 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】（1）①792，297；②35，53；（2） 【分析】（1）设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则等式左边的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，等式右边的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为； （2）分别对等式左右两边的式子提取公因式11即可． 解：（1）解：根据题中等式的规律可得， ， ． （2）解：左边， 右边， 左边右边． 【题型5】二元一次方程组 + 分式复合型应用题 1．（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 （1）填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） （2）求m的值； （3）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【答案】（1）；；（2）m的值为8；（3）制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完 【分析】（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量 （2）根据（1）中结果，结合两者数量关系列出分式方程求解； （3）先根据第（1）问算出正方形木板20块、长方形木板60块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 解：（1）解： 根据题意得：，； （2）解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． m的值为8． （3）解：由（2）可知，， 即正方形木板有20块，长方形木板有60块． 设制作竖式木箱x个，横式木箱y个． 由题意，得， 解得 答：制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完． 2．（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】（1）制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟；（2）分钟 【分析】（）通过设制作一对“花扣”和“一字扣”的时间为未知数，根据两种盘扣的制作时间差、总用时这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组得到两种盘扣各自的制作时间； （）设升级后“一字扣”的制作时间为未知数，结合升级前的时间和时间增加的倍数关系，表示出升级后“花扣”的制作时间，再根据两种盘扣在固定时长内制作数量的比例关系列出分式方程，求解并检验后，得到升级后“一字扣”的制作时间． 解：（1）解：设制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟， 根据题意列方程组：， 解得， 答：制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟． （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需要分钟，则每对“一字扣”增加的时间为分钟，对应每对“花扣”增加的时间为分钟，升级后制作一对“花扣”的时间为： 根据题意列方程：， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，符合实际意义， 答：升级后制作一对“一字扣”需分钟． 3．（2026·重庆·模拟预测）随着“健康生活月”活动的开展，社区居民的健身热情日益高涨．某社区服务中心计划采购、两种类型的健身设备以满足居民的健身需求．已知型健身设备的单价比型健身设备的单价高800元，购买2台型健身设备的费用比购买3台型健身设备的费用少2000元． （1）求、两种类型健身设备的单价各是多少元？ （2）随着市场的变化，型健身设备的上涨金额是型健身设备的上涨金额的2倍，上涨后用72000元购买型健身设备的数量和用56000元购买型健身设备的数量相同，求型健身设备的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）型健身设备的单价为4400元，型健身设备的单价为3600元；（2）640元 【分析】（1）依据题目中的条件，型健身设备的单价比型健身设备的单价高800元，购买2台型健身设备的费用比购买3台型健身设备的费用少2000元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）依据题目中的条件，型健身设备的上涨金额是型健身设备的上涨金额的2倍，上涨后用72000元购买型健身设备的数量和用56000元购买型健身设备的数量相同，列分式方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：设型健身设备的单价为元，型健身设备的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：型健身设备的单价为4400元，型健身设备的单价为3600元； （2）解：设型健身设备的单价上涨了元，则型健身设备的单价上涨了元 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：型健身设备的单价上涨了640元． 4．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． （1）求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ （2）求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ （3）市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】（1）主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；（2）制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个；（3）最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 解：（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． （1）求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ （2）该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】（1）第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克；（2）第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握二元一次方程组和分式方程的应用是解题的关键， （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得到答案； （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． 解：（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克，根据题意得： ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克． （2）解：设第二周黄心猕猴桃的进价为元，则红心猕猴桃的进价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验是所列方程的解， 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元． 6．（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ （2）为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】（1）西红柿采摘了，土豆采摘了；（2）土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 解：（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． （1）问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ （2）小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ （3）根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 【答案】（1）款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；（2）款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；（3）有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高． 【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案． 解：（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， ∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， ∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条， 根据题意，可得 ， 整理，可得， ∴， ∵均为正整数， ∴；；， 即有三种进货方案： 方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条， 则利润为：元； 方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条， 则利润为：元； 方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条， 则利润为：元； 综上所述，选择方案一利润最高． 【点拨】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键． 8．（20-21八年级上·重庆沙坪坝·期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元． （1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？ 【答案】（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元． 【分析】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商品的销售总金额． 解：（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得： ， 解得， ， 答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元； （2）由题意可得， ， 解得，m=8， 经检验，m=8是原分式方程的解， 故11月份购进的A商品数量为（件）， 12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件）， （500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）． 答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元． 【点拨】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验． 【题型6】多条件综合探究压轴 1．（25-26八年级下·四川内江·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 （3）在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】（1）是，；（2）；（3） 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 解：（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2），；（3）； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 解：（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． （1）初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． （2）深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． （3）拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】（1）见详解；（2），，；（3）见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 解：（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见分析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见分析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 5．（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，；（2）；（3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为；（4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项（）拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项（）拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 解：（1）解：根据已知规律，， 可得；（为正整数）； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵（为正整数），即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘（），得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点拨】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． （1）若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； （2）【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； （3）【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【答案】（1）；（2）需要②号长方体个，③号长方体个，理由见分析；（3）或 【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可； （2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可； （3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值． 解：（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 7．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）展厅的长比宽多米 【分析】（1）利用进行计算即可； （2）设，，则，，利用进行计算即可； （3）设米，米，则米，米，由参观区域的周长可得，由矩形的面积可得．利用题干的公式可计算出，结合可得． 解：（1）解：由题意可知，； （2）解：设，， ∴，， ∴； （3）解：设米，米， ∵米， 又∵米， ∴米， 同理，米， ∵参观区域总周长为米， ∴， ∴， 化简，得， ∵长方形展厅为平方米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：展厅的长比宽多米． 8．（25-26七年级下·重庆万州·期中）阅读材料：在解方程组时，思思同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设＝m，＝n，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于m，n的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　　； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于m，n的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，进一步可得结论； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可. 解：（1）解：∵关于m，n的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得：. （2）解：设，， ∴原方程组可化为，解得：， ∴，解得：； （3）解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ∴，解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $