期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（12类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

七年级下册期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（12类题型） 本专题紧密围绕教材核心知识点，结合学生认知水平，突出对概念理解的准确性、计算能力的熟练度和逻辑推理的严谨性的考查，结合使用浙教版地区期末考题题型特征精选细编出高频易考易错十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【题型一】相交线综合求值（位置判断不全面+分类讨论不到位）...............................................................1 【题型二】平行线性质与判定综合求值证明（过拐点作辅助线不熟悉+分类讨论不全面）.......................2 【题型三】二元一次方程组有解、无解、无数组解（有解、无解、无数组解和系数关系理解不透）.....2 【题型四】幂的运算法则——混合运算（法则不熟练+符号混淆）..............................................................3 【题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（运算错误+对“不含某项”理解错误）.......................3 【题型六】完全平方式中的字母参数问题（完全平方公式结构不熟悉+漏掉符号问题）...........................4 【题型七】判断是否为因式分解（因式分解和整式乘法混淆）.....................................................................4 【题型八】因式分解（十字相乘法与分组分解法不熟悉+乘法公式符号出错）...........................................5 【题型九】分式的意义（分式的值为0考虑不全面+换忽视分式运算过程中的意义）...............................5 【题型十】分式方程的无解与增根（理解不全面+运算不细致）...................................................................5 【题型十一】已知分式方程解的情况求参数（忽略分母不能为0+运算不细致）........................................6 【题型十二】数据的收集、整理与描述（概念理解不深+图形信息读取有误）...........................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型一】相交线综合求值（位置判断不全面+分类讨论不到位） 【例题1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．三个角都相等 【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的三倍少，则这两个角的度数分别为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【题型二】平行线性质与判定综合求值证明（过拐点作辅助线不熟悉+分类讨论不全面） 【例题2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，若，，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于 度． 【变式2】（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 【题型三】二元一次方程组有解、无解、无数组解（有解、无解、无数组解和系数关系理解不透） 【例题3】（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（2025·江西·模拟预测）若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是 ． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 （1）该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． （2）请你用另一种方法解这个方程组． 【题型四】幂的运算法则——混合运算（法则不熟练+符号混淆） 【例题4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则 ． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（运算错误+对“不含某项”理解错误） 【例题5】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式1】已知多项式（x-a）与（x2+2x-1）的乘积中不含x2项，则常数a的值是 ． 【变式2】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．    【题型六】完全平方式中的字母参数问题（完全平方公式结构不熟悉+漏掉符号问题） 【例题6】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）设是一个完全平方式，则的值为 ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则的值是 ． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为 ． 【题型七】判断是否为因式分解（因式分解和整体乘法混淆） 【例题7】（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【题型八】因式分解（十字相乘法与分组分解法不熟悉+乘法公式符号出错） 【例题8】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）分解因式： （1） （2） 【题型九】分式的意义（分式的值为0考虑不全面+换忽视分式运算过程中的意义） 【例题9】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【变式1】（22-23八年级下·江苏苏州·期中）若分式的值为零，则x的值为 ． 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【题型十】分式方程的无解与增根（理解不全面+运算不细致） 【例题10】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【题型十一】已知分式方程解的情况求参数（忽略分母不能为0+运算不细致） 【例题11】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 【题型十二】数据的收集、整理与描述（概念理解不深+图形信息读取有误） 【例题12】（2025·浙江·二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C．调查黄河的水质情况 D．了解某市中学生课外阅读的情况 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（   ） A．20辆 B．30辆 C．50辆 D．10辆 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）某校为了了解八年级学生身高的范围和整体分布情况，抽样调查了八年级50名学生的身高，其中身高最高的是，最矮的是，若以为组距，应把这些数据分成 组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（12类题型） 本专题紧密围绕教材核心知识点，结合学生认知水平，突出对概念理解的准确性、计算能力的熟练度和逻辑推理的严谨性的考查，结合使用浙教版地区期末考题题型特征精选细编出高频易考易错十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【题型一】相交线综合求值（位置判断不全面+分类讨论不到位）...............................................................1 【题型二】平行线性质与判定综合求值证明（过拐点作辅助线不熟悉+分类讨论不全面）.......................4 【题型三】二元一次方程组有解、无解、无数组解（有解、无解、无数组解和系数关系理解不透）.....8 【题型四】幂的运算法则——混合运算（法则不熟练+符号混淆）............................................................10 【题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（运算错误+对“不含某项”理解错误）.....................12 【题型六】完全平方式中的字母参数问题（完全平方公式结构不熟悉+漏掉符号问题）.........................13 【题型七】判断是否为因式分解（因式分解和整式乘法混淆）...................................................................14 【题型八】因式分解（十字相乘法与分组分解法不熟悉+乘法公式符号出错）.........................................16 【题型九】分式的意义（分式的值为0考虑不全面+换忽视分式运算过程中的意义）.............................17 【题型十】分式方程的无解与增根（理解不全面+运算不细致）.................................................................19 【题型十一】已知分式方程解的情况求参数（忽略分母不能为0+运算不细致）......................................20 【题型十二】数据的收集、整理与描述（概念理解不深+图形信息读取有误）.........................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型一】相交线综合求值（位置判断不全面+分类讨论不到位） 【例题1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．三个角都相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质、互余、对顶角相等、邻补角等知识，根据题意，数形结合，找到各个角之间的关系即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 解：如图所示： 由于书本是矩形，则，，，，， ，， ，， ， ，， ； ，， ， ， ， ， ， 不一定等于， 由，，可知不一定等于， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的三倍少，则这两个角的度数分别为 ． 【答案】和或和 【分析】本题考查了垂线，两个角的两边两两互相垂直，则这两个角相等或互补，如图，再结合其中一个角比另一个角的三倍少列方程求解即可．解决问题的关键在于分情况讨论，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补． 设一个角为，另一个角为， 根据题意得，①当时，，即， 解得：； ②当时， ，即， 解得：，则， ∴这两个角的度数分别为和或和， 故答案为：和或和． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的几何计算、垂直的定义等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据垂直的定义、角的运算可得，再设旋转运动时间为秒，则，，求出，然后分两种情况：①当时，则，②当时，则，分别求出、的大小，由此即可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒）， ∴， 当与在一条直线上时，则，即， 解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【题型二】平行线性质与判定综合求值证明（过拐点作辅助线不熟悉+分类讨论不全面） 【例题2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，若，，则 ． 【答案】/20度 【分析】此题考查平行线的性质.由某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，得，过点C作，则，由平行线的性质可得，，求出，继而求出，根据平行线的性质即可求解． 解：过点C作， ∵某江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于 度． 【答案】 【分析】先过E作，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；根据和的平分线交点为，则可得出；同理可得；；…据此得到规律，最后求得的度数． 解：如图1，过E作． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴； 如图2． ∵和的平分线交点为， ∴． ∵和的平分线交点为， ∴； ∵和的平分线，交点为， ∴； … 以此类推，， ∴当度时，等于度． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 【变式2】（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断⑤；过点E作，根据平行线的性质证明即可判断④；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和②． 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故结论①正确； ， ， ，故结论⑤正确； 过点E作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ， ， ， 但不一定等于， ∴不一定成立，故结论③错误； ∵不一定等于， ∴平分不一定正确，则结论②错误； 综上，正确的是①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【题型三】二元一次方程组有解、无解、无数组解（有解、无解、无数组解和系数关系理解不透） 【例题3】（22-23七年级下·浙江丽水·阶段练习）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别把的值代入二元一次方程组，求解相应方程组即可判断得解． 解：当时，方程组为，解得，故①正确； 当时，方程组为，解得，所以故②错误； ， 得， ∵该方程组无解， ∴或， ∴， 得， ∵该方程组无解， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴正确的结论共有个， 故选：C. 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 根据绝对值的意义得到，即可得到答案． 解：，即有两个解， ． 即，只有一个解， ． 无解， ． ． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 （1）该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． （2）请你用另一种方法解这个方程组． 【答案】（1）代入；二 ；（2） 【分析】本题考查了用代入法与加减法解二元一次方程组，掌握解法步骤是解题的关键； （1）根据代入法的步骤逐步检查即可作出判断； （2）利用加减法求解即可． 解：（1）解：本题是用代入法解二元一次方程组，由①变形得到③，再代入②求解；故第二步错误； 故答案为：代入；二； （2）解：， 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【题型四】幂的运算法则——混合运算（法则不熟练+符号混淆） 【例题4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，其中m、n均为正整数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用将变形为，代入计算即可． 解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 解：，故选项A正确； ，故选项B错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项C错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项D错误； 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（运算错误+对“不含某项”理解错误） 【例题5】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 【变式1】已知多项式（x-a）与（x2+2x-1）的乘积中不含x2项，则常数a的值是 ． 【答案】2 【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可 解：（x-a）（x2+2x-1）=x3+（2-a）x2-（2a+1）x+a， ∵不含x2项， ∴2-a=0， 解得a=2． 故答案为2． 【点拨】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键． 【变式2】（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．    【答案】/ 【分析】设左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，列式表示阴影部分面积之差，可得变化，不变，则与无关，则，即． 解：设左上角阴影部分的长为，宽为， 则右下角阴影部分的长为，宽为， 阴影部分面积之差 ， 变化，不变，则与无关， 则，即. 故答案为： 【点拨】本题考查了阴影部分的问题，掌握矩形面积公式、整式的运算法则是解题的关键． 【题型六】完全平方式中的字母参数问题（完全平方公式结构不熟悉+漏掉符号问题） 【例题6】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）设是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式得出m的值． 解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握运算公式． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则． 运用完全平方公式把等式展开得到，进而得到，代数式，整体代入求值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，先求出，的值，然后代入计算． 解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型七】判断是否为因式分解（因式分解和整体乘法混淆） 【例题7】（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否． 解：A项：右边= 左边，错误； B项：左边等于右边，正确，故为本题答案； C项：右边= 左边，错误； D项：右边= 左边，错误； 故本题答案为：B． 【点拨】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 解：A．，该选项不符合题意； B．没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D．是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（20-21七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点拨】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【题型八】因式分解（十字相乘法与分组分解法不熟悉+乘法公式符号出错） 【例题8】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的另一种方法—用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 解： ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键．根据因式分解的方法逐项分析判断即可． 解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法和分组分解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式即可； （2）先分组，再提公因式和平方差公式分解因式即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型九】分式的意义（分式的值为0考虑不全面+换忽视分式运算过程中的意义） 【例题9】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 【变式1】（22-23八年级下·江苏苏州·期中）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】根据分式值为零的条件，列式计算即可． 解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【点拨】本题考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零：分子为零分母不为零是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型十】分式方程的无解与增根（理解不全面+运算不细致） 【例题10】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查分式方程的运算，理解增根，无解的含义是关键． （1）根据增根的含义“分母为零”代入计算即可； （2）①根据方程有增根时，原方程无解，代入计算即可；②根据时，原方程无解，代入计算即可． 解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键； 根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解． 解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即之时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， 分式方程无解，即产生增根， 令，得， 解得；符合题意， 综上，当或时，分式方程无解． 故选：D． 【题型十一】已知分式方程解的情况求参数（忽略分母不能为0+运算不细致） 【例题11】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 解： 解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解是负数， 且， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据有整数解即可求得整数的值，计算即可得到答案． 解： 方程有解，则，则， ， 方程有整数解， ，， 或或或， 当时，，此时方程无解， 的值的和为， 故答案为：． 【题型十二】数据的收集、整理与描述（概念理解不深+图形信息读取有误） 【例题12】（2025·浙江·二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C．调查黄河的水质情况 D．了解某市中学生课外阅读的情况 【答案】B 【分析】本题考查了普查，是否适合选择普查方式要根据所考查的对象的特征灵活选用，熟练掌握普查是解题的关键．根据普查的定义，逐一判断即可． 解：A. 检测某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适合采用普查方式，本选项符合题意； C. 调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； D. 了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（   ） A．20辆 B．30辆 C．50辆 D．10辆 【答案】C 【分析】本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力，根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算即可． 解：根据所给出的折线统计图可得： 超过限速的有：（辆）． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）某校为了了解八年级学生身高的范围和整体分布情况，抽样调查了八年级50名学生的身高，其中身高最高的是，最矮的是，若以为组距，应把这些数据分成 组． 【答案】6 【分析】本题考查了频数分布直方图中组数的确定方法，组数=极差÷组距，计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得． 解：， 所以应该分为6组； 故答案为：6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$