精品解析：2026年陕西商洛市商南县三校九年级第三次阶段联考 数学试题

2026年陕西省初中学业水平考试信息卷（B） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了点线面体，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解：A、绕轴旋转一周，可得到圆台，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到圆锥，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的定义得到，求出，根据平行线的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 4. 2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到0.000072秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据0.000072用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两点在正比例函数图象上，坐标满足函数解析式，先代入两点坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再判断选项中的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵点，都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为， 即点的横纵坐标相等，选项中只有满足横纵坐标相等， 因此该函数图象一定经过点． 6. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x值的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______． 【答案】81 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，先根据正方形的性质得到，再求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的性质可得， 由正五边形的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为：81． 11. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 12. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点M．过点D作的平行线交的延长线于点N，连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作，垂足为点E，由在菱形中，得，，，，故是等边三角形，又，，故四边形是平行四边形，从而，设，则，，在中，，由，得，在中，，故在中，，故． 【详解】解：如图，过点M作，垂足为点E， 在菱形中，， ，，，， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， 在中，， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出和的面积，再利用同底的三角形面积之比等于高之比可得点纵坐标，又知点坐标，则可求． 【详解】解：点在反比例函数上，横坐标为3， ，即的纵坐标为． 和有共同的底边，它们的高分别是点到轴的距离、点到轴的距离． ，， 同底三角形的面积比等于高的比：， ， ， ， ， ． 14. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，过点作于，于，可证，可得，即得点在的角平分线上，可知当时，最短，此时的面积最小，由全等三角形的性质可得，又由得，再证明，可得为等边三角形，，解直角三角形求出可得，即可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴点在的角平分线上， 当时，最短，此时的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行零指数幂，利用二次根式的性质化简和绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，E为边上一点．请用尺规作图法，求作，使得经过点A、D，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先尺规作，再尺规作线段的垂直平分线，交于点O，然后以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求： 由作图可知：，垂直平分线段， ∴，， ∴经过点A、D． 19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ，． ． ， ∴． ． 20. 如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求概率，即可． （2）先列表，得出点在第三象限的结果数，进而根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球上标有的数字是负数的结果有2种， 摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 1 1 共有9种等可能的结果，其中点在第三象限的结果有：，，，，共4种， 点在第三象限的概率为 21. 岭山寺塔位于陕西省延安市，是延安革命遗址的组成部分，被列为第四批全国重点文物保护单位．某数学实践小组计划测量岭山寺塔的高度，具体方案如下：如图，在点C处竖立一根长为的标杆，此时标杆的影长，塔的影长为，并在标杆的顶端D处测得塔尖A的仰角为．已知点F，B，E，C在同一条直线上，，，，求岭山寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】岭山寺塔的高度约为． 【解析】 【分析】过点D作于点G，在中，解直角三角形求得，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点G，则，． 设，则 ，． ，， ． ∴四边形为矩形． ， ． 在中，， ． ． ∵是光线，则， ． ． ． ． 解得． ． 答：岭山寺塔的高度约为． 22. 如图①，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度与时间的关系如图②所示．在实验开始的后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． （1）求时，v与t之间的函数表达式； （2）求第时的水流速度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设时，v与t之间的函数表达式为． 将，代入，得 解得 时，v与t之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，． ∴第时的水流速度为． 23. 为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试成绩为90分及以上的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩分别是98分，94分，90分，并组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学的面试表现进行打分，每位评委最高打10分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和，之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． 三位同学面试情况统计表 同学 中位数 方差 面试成绩 小强 8 1.89 m 小亮 n 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________；________； （2）在面试中，评委对________的评价更一致；（填“小强”“小亮”或“小旭”） （3）若通过笔试成绩占，面试成绩占计算综合成绩，谁的综合成绩最高？ 【答案】（1）79，9 （2）小旭 （3）小亮的综合成绩最高 【解析】 【分析】（1）将小强的成绩全部相加即可得出m的值，根据中位数的定义即可得出n的值； （2）比较方差即可得出答案； （3）分别求出三人的为最终成绩，进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， 故； 【小问2详解】 解：∵ ∴评委对小旭的评价更一致； 【小问3详解】 解：小强的成绩为：（分）， 小亮的成绩为：（分）， 小旭的成绩为：（分）， ∵， ∴小亮的综合成绩最高． 24. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由得到、，再根据、及推出，结合三角形内角和得到，进而由圆心角相等则所对弦相等即可证得； （2）延长交于点，由、推出垂直平分，求出的长，在中利用求出，再用勾股定理求出，设，在中列方程求出和，由是切线得到，结合证明，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ，， ，，， ， ∵，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，即， ， ， 设，则， ，解得， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ，即， ． 25. 某课外活动小组在实验室进行防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为时，达到最大垂直高度．以O为原点，地面所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 【答案】（1） （2）击中时红方导弹的水平飞行距离为 【解析】 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）求出两函数交点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为． ∴设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意联立，， 得， 解得，（不合题意，舍去）． ∴击中时红方导弹的水平飞行距离为． 26. 根据题目要求，回答下列各题 （1）如图①，在中，于点D，若，，，则的度数为________； （2）如图②，是的中线，点D在边AB上，连接，且，若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某校计划扩建户外实践区域四边形，米，米，，．学校后勤部门计划在该区域内选取一点P，从点P分别修建四条步道，，，（步道宽度忽略不计），且．为保障步道布局合理、规避安全隐患，需使步道与的长度比值尽可能大，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为4 【解析】 【分析】（1）先在中利用勾股定理求，再在中求，进而得到的长，最后用勾股定理的逆定理判定为直角三角形． (2) 由及公共角，证明，利用相似比建立关于的方程求解． (3) 作于，先证四边形为矩形，利用解直角三角形和勾股定理的逆定理证明，从而判定、、、四点共圆（以为直径）．再利用垂径定理求得．延长交圆于，证明，将转化为，利用圆中弦的最大值为直径求得最值． 【小问1详解】 解：于点， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 是直角三角形，且． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，，是的中线， ， 设， ， ， ， ， 解得（舍去），， ． 【小问3详解】 解：作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， ， 点、、、在以为直径的上， 记交于点，连接，作于点， ，，， 四边形是矩形， ，， 、都在上，， ， ， ， ， ， 延长交于点，连接、、， ， ， ， ， ， ， 要计算的最大值， 需取得最大值， 点在上， 当为直径时，取得最大值， 此时， ， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试信息卷（B） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到0.000072秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据0.000072用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x值的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______． 11. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 12. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点M．过点D作的平行线交的延长线于点N，连接，则的值为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________． 14. 如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 化简：． 18. 如图，在四边形中，E为边上一点．请用尺规作图法，求作，使得经过点A、D，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、． 求证：． 20. 如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 21. 岭山寺塔位于陕西省延安市，是延安革命遗址的组成部分，被列为第四批全国重点文物保护单位．某数学实践小组计划测量岭山寺塔的高度，具体方案如下：如图，在点C处竖立一根长为的标杆，此时标杆的影长，塔的影长为，并在标杆的顶端D处测得塔尖A的仰角为．已知点F，B，E，C在同一条直线上，，，，求岭山寺塔的高度．（参考数据：，，） 22. 如图①，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度与时间的关系如图②所示．在实验开始的后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． （1）求时，v与t之间的函数表达式； （2）求第时的水流速度． 23. 为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试成绩为90分及以上的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩分别是98分，94分，90分，并组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学的面试表现进行打分，每位评委最高打10分，且分数为整数，面试成绩等于各位评委打分之和，之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． 三位同学面试情况统计表 同学 中位数 方差 面试成绩 小强 8 1.89 m 小亮 n 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________；________； （2）在面试中，评委对________的评价更一致；（填“小强”“小亮”或“小旭”） （3）若通过笔试成绩占，面试成绩占计算综合成绩，谁的综合成绩最高？ 24. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某课外活动小组在实验室进行防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为时，达到最大垂直高度．以O为原点，地面所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 26. 根据题目要求，回答下列各题 （1）如图①，在中，于点D，若，，，则的度数为________； （2）如图②，是的中线，点D在边AB上，连接，且，若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某校计划扩建户外实践区域四边形，米，米，，．学校后勤部门计划在该区域内选取一点P，从点P分别修建四条步道，，，（步道宽度忽略不计），且．为保障步道布局合理、规避安全隐患，需使步道与的长度比值尽可能大，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $