衔接点01 运算与技巧（讲义，苏科版）数学小升初衔接

衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1.（2024·内蒙古通辽·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 7.6×2.5×4         87×        26.4－3.28－6.4－4.72 1.25×8×4×2.5        73×101             【答案】（1）76；（2）85；（3）12； （4）100；（5）7373；（6）28 【分析】（1）根据乘法结合律先计算2.5×4，再计算7.6乘（2.5×4）的积； （2）把87写成（86＋1）形式，再根据乘法分配律进行计算； （3）先将3.28与6.4交换位置，带符号移动，再根据减法的性质，连续减去两个数可以等于减去这两个数的和，把原式改写成（26.4－6.4）－（3.28＋4.72）形式进行简算； （4）根据乘法结合律，添加小括号，分别计算（1.25×8）和（4×2.5），所得积最后再相乘； （5）把101写成（100＋1）形式，再根据乘法分配律进行计算； （6）把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律进行简算。 【详解】（1）7.6×2.5×4 ＝7.6×（2.5×4） ＝7.6×10 ＝76 （2）87× ＝（86＋1）× ＝86× ＝85＋ ＝85 （3）26.4－3.28－6.4－4.72 ＝26.4－6.4－3.28－4.72 ＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72） ＝20－8 ＝12 （4）1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （5）73×101 ＝73×（100＋1） ＝73×100＋73×1 ＝7300＋73 ＝7373 （6） ＝（）×32 ＝ ＝8＋20 ＝28 变式1.（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7      【答案】；857 3；1 【分析】（1）先计算括号里的减法，原式化为：÷＋0.8÷，再把除法换算成乘法，原式化为：×＋0.8×，再根据乘法结合律的逆运算，原式化为：（＋0.8）×，进行计算； （2）把8.57×80化为857×0.8；85.7化为857×0.1，原式化为：857×1.9＋857×0.8＋857×0.1，再根据乘法分配律逆运算，原式化为：857×（1.9－0.8－0.1），再进行计算； （3）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法； （4）把分母567×345＋222中的567化为566＋1，化为：（566＋1）×345＋222，再根据乘法分配律，原式化为566×345＋1×345＋222，再根据加法结合律，原式化为：566×345＋（354＋222）；最后化为：566×345＋567，再进行计算。 【详解】（1－）÷＋（13.8－13）÷ ＝÷＋0.8÷ ＝×＋0.8× ＝（＋0.8）× ＝（0.2＋0.8）× ＝1× ＝ 857×1.9－8.57×80－85.7 ＝857×1.9－857×0.8－857×0.1 ＝857×（1.9－0.8－0.1） ＝857×1 ＝857 ÷[（＋）×] ＝÷[（＋）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 变式2.（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 【答案】 【分析】先算小括号的加法，再算除法。 【详解】原式＝（）÷（） ＝2016（2012） ＝20162012 变式3.（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 【答案】8；166680 【分析】先把括号里的分数化成小数，把括号外的分数化为，原式变为：（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋，再根据加法交换律和减法的性质把括号的式子变为：（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）进行简算，再进一步计算即可。 根据题意，这五个数每个数位上都是有1，2，3，4，5；把个，十，百，千，万单个拿出来都是1＋2＋3＋4＋5，然后再根据乘法分配律进行简算即可，最后再加上1＋2＋3＋4＋5即可。 【详解】   ＝（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋ ＝（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）＋ ＝13－5＋ ＝8＋ ＝8 （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） ＝（1＋2＋3＋4＋5）×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×10000＋15×1000＋15×100＋15×10＋15＋15 ＝150000＋15000＋1500＋150＋15＋15 ＝166665＋15 ＝166680 题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1.（24-25六年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 【答案】101 【分析】通过仔细观察，此题可运用加法交换与结合律，两两结合，分成126÷5＝25组……1，每组的结果为4，最后加上剩余1，解决问题。 【详解】（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） ＝1＋（6－2）＋（11－7）＋（16－12）＋…＋（126－122） ＝1＋4×25 ＝1＋100 ＝101 变式1.（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 【答案】 【分析】先算小括号的加法，再算除法。 【详解】原式＝（）÷（） ＝2016（2012） ＝20162012 变式2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 变式3.（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 【答案】8；166680 【分析】先把括号里的分数化成小数，把括号外的分数化为，原式变为：（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋，再根据加法交换律和减法的性质把括号的式子变为：（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）进行简算，再进一步计算即可。 根据题意，这五个数每个数位上都是有1，2，3，4，5；把个，十，百，千，万单个拿出来都是1＋2＋3＋4＋5，然后再根据乘法分配律进行简算即可，最后再加上1＋2＋3＋4＋5即可。 【详解】   ＝（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋ ＝（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）＋ ＝13－5＋ ＝8＋ ＝8 （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） ＝（1＋2＋3＋4＋5）×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×10000＋15×1000＋15×100＋15×10＋15＋15 ＝150000＋15000＋1500＋150＋15＋15 ＝166665＋15 ＝166680 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1.（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 【答案】 【分析】假设＝a，则原式变形为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋），化简后即可得解。 【详解】设＝a， 原式化为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋） ＝a＋＋a2＋－a－ a2－ ＝ 【点睛】要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算，注意解题的关键是将的和设为a。 变式1.（2024六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） （2） 【答案】； 【分析】（1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）可以设最短的式子为a，次短的式子为b，则设＋＋＝a；＋＋＋＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； （2）可以设＝a，＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； 【详解】（1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） 设＋＋＝a；＋＋＋＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a 将＋＋＝a；＋＋＋＝b代入得： 原式＝（＋＋＋）－（＋＋） ＝＋＋＋－－－ ＝ （2） 设＝a，＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝ b＋ab－a－ab ＝b－a 将＝a，＝b代入式子 原式＝－ ＝ 变式2.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 【答案】 【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3.（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 【答案】 【点睛】本题考查了分数的简便计算，要观察算是特点，找到合适的方法。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1. （24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 变式1.（24-25六年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式再完成题后问题。          （1）请你猜想：________。 （2）探究并计算：。 【答案】（1）－ （2） 【分析】（1）＝－，可写成：＝－； ＝－，可写成：＝－； ＝－；可写成：＝－； … 由此可知：最前面的分数可以写成分母第一个乘数分之一减去第二个乘数分之一的形式，即＝－，据此解答。 （2）＋＋＋…＋； 把化为×；把化为，再化为：×，最后化为：×（1－）； 化为×，把化为，再化为：×，最后化为：×（－）； 化为×；把化为；再化为：×，最后化为：×（－）； … 化为：×，最后化为：×（－）； 再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（1－＋－＋－＋…＋－），最后化为：×（1－），再进行计算 【详解】（1）根据分析可知， ＝ ＝－ ＝－ （2）＋＋＋…＋ ＝×＋×＋×＋…＋× ＝×（1－）＋×（－）＋×（－）＋…＋×（－） ＝×（1－＋－＋－＋…＋－） ＝×（1－） ＝× ＝ 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3.（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  【答案】 【分析】，把原式×，原式化为：×（＋＋＋＋），再把化为－，化为：－，化为－，化为－，化为－，原式化为：×（－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，再化为：（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋），再把化为1－，化为－，化为－，化为－，化为－，化为－，原式化为：6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，原式化为：（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋），再把（＋＋＋＋）×，原式化为：5＋×（＋＋＋＋），再把化为－，化为－，化为＋，化为－，化为－，原式化为：5＋×（－＋－＋＋＋－＋－），再进新计算； ，把原式化为：（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－）；去掉括号，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为，化为，＝，……，化为，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为1－，化为－，化为－…化为－，原式化为：1×99－（1－＋－＋－＋…＋－），最后化为：1×99－（1－），再进行计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋＋） ＝×（－＋－＋－＋－＋－） ＝×（－） ＝× ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋） ＝6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝6＋（1－） ＝6＋ ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋） ＝5＋×（＋＋＋＋） ＝5＋×（－＋－＋＋＋－＋－） ＝5＋×（－） ＝5＋× ＝5＋ ＝ ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－） ＝1×99－（＋＋＋…＋） ＝1×99－（1－＋－＋－＋…＋－） ＝1×99－（1－） ＝99－ ＝ 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1.（2024·四川成都·小升初模拟）计算。 【答案】 【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 故答案为： 【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。 变式1．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 【答案】 【分析】去掉括号后，利用加法交换律，将10个1相加，剩下的项相加，而剩下的10项分别是的1倍，2倍，3倍，……，10倍，所以提取，利用乘法分配律进行巧算，最后将这两组的和相加得到原式的结果。 【详解】 变式2.（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，明确题意，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据有理数乘方的意义，表示出，然后寻找到规律即可解答． （4）根据(1)的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：设① 将等式①的两边同时乘以3得： ② 由②-①得：， ∴，即． （2）解：设①， 将等式①的两边同时乘以，得：②， 由①-②得：， ∴，即； （3）解：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：① 设， 可得：②， ①-②得：， ∴ ∴． 变式3.（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)100； (2)4 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6399 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式2.（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可 【详解】解： 变式3.（24-25七年级下·重庆·阶段测试）计算： 【答案】 【分析】先根据把原式裂项，进而得到，再利用平方差公式化简求解即可 【详解】解： 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1.（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 变式1.（24-25七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）；（2）①，②；（3），图和过程见解析 【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可； （2）①根据已有点阵图，得到第个点阵图中点的个数为，再进行计算即可；②根据规律进行计算即可； （3）将一个面积为1的正方形分割为和两部分，再将正方形的分割为和两部分，，依次进行分割，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）由点阵图可知：个数时和为， 个数时和为， 个数时和为， ， 个数时和为． ∵中有个数， ∴． ∵中有个数， ∴． 故答案为：；； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为， 第次将正方形分割为和两部分， 第次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：， ∴． 【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算． 变式2.（24-25七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【详解】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 一、选择题 1．（2024·河南开封·小升初真题）计算时，用（    ）计算比较简便。 A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变；由此把和相结合，然后再进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 所以计算时，用乘法结合律计算比较简便。 故答案为：D 2．（2024·山西晋中·小升初真题）张丽用计算器计算“45.7×9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）。 A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1 【答案】B 【分析】根据题意，计算器上的键“9”坏了，只需把9.9拆成别的数，再利用乘法运算定律进行简算，即可得到正确的结果。 A．把9.9拆成3.3×3计算即可； B．把9.9拆成（10－0.1），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括号； C．把9.9拆成（8.8＋1.1），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括号。 【详解】A．45.7×9.9＝45.7×3.3×3，所以45.7×3.3×3能得到正确的结果； B．45.7×9.9＝45.7×（10－0.1）＝45.7×10－45.7×0.1 45.7×10－0.1≠45.7×10－45.7×0.1，所以45.7×10－0.1不能得到正确的结果； C．45.7×9.9＝45.7×（8.8＋1.1）＝45.7×8.8＋45.7×1.1，所以45.7×8.8＋45.7×1.1能得到正确的结果。 故答案为：B 3．（2025·广东深圳·小升初真题）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（    ）是采用这种方法计算的。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．分数化成小数，用分子除以分母即可； B．分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； C．商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变； D．被除数、除数先通分，再把分子直接相除。 【详解】A．，是把分数转化成小数，根据小数除法的计算法则进行计算，不符合题意； B．，是根据分数除法的计算法则进行计算，不符合题意； C．，是根据商不变的规律进行计算，不符合题意； D．，先通分把变成，再用分子直接相除，符合题意。 故答案为：D 二、填空题 4．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【详解】 5．（2024·浙江温州·小升初真题）计算“0.36＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是 个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是 个0.01相加。 【答案】 12 48 【分析】计算“0.36＋”时，可以把小数化成分数，把算式转化为＋，根据同分母分数加法的计算方法算出和，再根据和的分子是几就是几个相加解答；还可以把分数化成小数，把算式转化为0.36＋0.12，算出和，再根据分数的意义判断和是几个0.01相加。 【详解】0.36＝＝ 0.36＋＝＋＝，和是12个相加； ＝3÷25＝0.12 0.36＋＝0.36＋0.12＝0.48，和是48个0.01相加。 方法一：用分数加减法计算，和是12个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是48个0.01相加。 6．（2025·湖南长沙·小升初题）计算： 。 【答案】/0.9 【分析】因为1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，将算式变为，然后根据分数的基本性质，将分数的分子和分母同时乘2，则算式变为，再计算出括号里面的加法，接着根据乘法分配律，将算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简。 三、计算题 7．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。              【答案】；；1； 【分析】，把原式化为：×（＋＋＋…＋），再把化为：－；化为：－；……化为：－；原式化为：（－＋－＋…＋－），最后化为：×（－），再进行计算； ，把8×12×10，化成4×（2×3×5），10×15×25化成：5×（2×3×5），再根据乘法分配律，分子化为：（2×3×5）×（1＋4＋5）；把分母12×20×28，化为：4×（3×5×7）；15×25×35，化为：5×（3×5×7），分母根据乘法分配律化为：（3×5×7）×（1＋4＋5）；原式化为：，再进行计算； ；把化成小数，＝9.625，把化成小数，＝96.25，原式化为：（×9.625＋×9.625）÷96.25 ，再根据乘法分配律，原式化为：[9.625×（＋）]÷96.25，再进行计算； ；把化为：1＋，化为1＋；化为：1＋，化为：1＋，化为：1＋，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋；化为：5＋（＋＋＋＋）；再把（＋＋＋＋）乘，原式化为：5＋×（＋＋＋＋）；再把化为：－，化为：－，化为：－，化为：－，化为：－，原式化为：5＋×（－＋－＋－＋－＋－），再进行计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋…＋） ＝（－＋－＋…＋－） ＝×（－） ＝×（－） ＝× ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（×9.625＋×9.625）÷96.25 ＝[9.625×（＋）]÷96.25 ＝[9.625×10]÷96.25 ＝96.25÷96.25 ＝1 ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝5＋（＋＋＋＋） ＝5＋×（＋＋＋＋） ＝5＋×（－＋－＋－＋－＋－） ＝5＋×（－） ＝5＋× ＝5＋ ＝ 8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 【答案】 【分析】设a=，b=，对原式进行化简，计算即可求解． 【详解】解：设a=，b=， 则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b =- =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用整体思想、换元思想进行计算，能正确地设a=，b=是解决此题的关键． 10．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 【答案】2 【分析】可以设，将等式的两边同时乘2，则使S这个式子里面的每个2的次数增加了一个，再将两个式子相减，将式子化简得出算式的值是2。 【详解】设（1） 在等号的两边同时乘2，则 （2） （2）－（1） 【点睛】算式是一个等比数列的差，利用错位相减的方法，先设算式的值是S，再乘这个等比数列的公比。再将两个式子相减即可。 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 13．（2024六年级·全国·竞赛）。 【答案】 【分析】这个算数是100个乘法算式相加的和，可以设这个算式为S100，再将算式两边同时乘3，再利用错位相减的方法用原来的等式减乘3之后得到的等式，得到﹣2S100＝。根据等比数列的求和公式＝（末项×公比－首项）÷（公比－1）。再将等式的两边同时除以（﹣2），除以一个负数，则要改变原来的符号，即改成，改成。最后再除以2。 【详解】设：S100＝（1） 将两边同时乘3，得 3S100＝（2） （2）－（1），得 ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ 两边同时除以（﹣2） S100＝ S100＝ S100＝ 则 14．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）计算。（用适当方法完成计算） 【答案】； 【分析】（1）先把带分数拆解为整数和真分数，然后根据加法的交换律和加法结合律，把整数与整数相加，分数与分数相加，可以分解为，可以分解为，其他的分数也都分解为两个分数相减的形式，然后再加减相抵消，最后再与整数部分相加。 （2）假设，，则，再把字母代入算式中，再根据乘法分配律、加法的交换律、结合律及减法的运算性质，进行简便运算。 【详解】 ＝ 假设，，则。 【点睛】先观察分数之间的关系，再进行合理的拆解和简化，运用加法的交换律、加法结合律、乘法的分配律以及减法的运算性质进行简便。 15．（2025六年级下·全国·专题练习）计算题。 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）先把化为，再根据除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数计算； （2）把2014写成2013＋1，根据乘法分配律把原式的分子变为：2013＋2012×（2013＋1）＝2013＋2012×2013＋2012＝2013×（1＋2012）＋2012＝2013×2013＋2012；分母变为：2013×（2013＋1）－1＝2013×2013＋2013－1＝2013×2013＋2012，据此计算； （3）因为1＝2×（1-），，，根据乘法分配律把原式变形，再消项即可简算。 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】分数的简便运算，相办法把原式变形为可约分形式；较长的算式则相办法把原式变形为工消项形式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1.（2024·内蒙古通辽·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 7.6×2.5×4         87×        26.4－3.28－6.4－4.72 1.25×8×4×2.5        73×101             变式1.（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7      变式2.（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 变式3.（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1.（24-25六年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 变式1.（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 变式2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 变式3.（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1.（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 变式1.（2024六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） （2） 变式2.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 变式3.（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1. （24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 变式1.（24-25六年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式再完成题后问题。          （1）请你猜想：________。 （2）探究并计算：。 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） 变式3.（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1.（2024·四川成都·小升初模拟）计算。 变式1．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 变式2.（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 变式3.（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2). 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 变式2.（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： 变式3.（24-25七年级下·重庆·阶段测试）计算： 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1.（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 变式1.（24-25七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 变式2.（24-25七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 一、选择题 1．（2024·河南开封·小升初真题）计算时，用（    ）计算比较简便。 A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2．（2024·山西晋中·小升初真题）张丽用计算器计算“45.7×9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）。 A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1 3．（2025·广东深圳·小升初真题）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（    ）是采用这种方法计算的。 A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 5．（2024·浙江温州·小升初真题）计算“0.36＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是 个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是 个0.01相加。 6．（2025·湖南长沙·小升初题）计算： 。 三、计算题 7．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。              8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 10．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 13．（2024六年级·全国·竞赛）。 14．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）计算。（用适当方法完成计算） 15．（2025六年级下·全国·专题练习）计算题。 （1） （2） （3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $