第三章 函数及其性质（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

第三章 函数及其性质 一、选择题 A.aln b+bln a>1 B.aln b+bln a=1 1.若2+log2a=4+2log4b,则 C.ab<4 D.ab>e A.a26 B.a<26 二、填空题 C.a>b2 D.a<62 1x2+2ax十a,x≤0， 2.已知55<8,134<85.设a=log53,b=log85, 9.已知a>0,函数f(x)= -x2+2ax-2a,x>0. c=1og138,则 () A.a<b<c B.b<a<c 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的 C.b<c<a D.c<a<b 实数解，则a的取值范围是 3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(一x)=2-f(x), 10.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在 若函数y=十1与y=f(x)图象的交点为 ax+1,-1≤x<0, 区间[一1,1]上，f(x)= bx+2 0≤x≤1， .,则月 x+1 = 其中a,bR若f(2)=f(),则a+36的值 A.0 B.m 为 C.2m D.4m 4.已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1, |x2十x(x<0), 11.设函数f(x)= -x2(x≥0)， 若ff(a)≤ g(x)=m.x,若对于任一实数x,f(x)与g(x) 至少有一个为正数，则实数m的取值范围为 2,则实数a的取值范围是 ( 12.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数 A.(0,2) B.(0,8) y=g(x)(x∈D,定义g(x)关于f(x)的“对称 C.(2,8) D.(-∞，0) 函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足： 5.已知f(x)=x2+ax+b在x∈(-1,1)上有 对任意x∈I,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于 两个零点.则a2-2b的取值范围为() A.(0,+c∞) B.(0,2) 点(x,f(x)对称，若h(x)是g(x)=√4-x关 C.(-∞，2) D.(-2,2) 于f(x)=3x+b的“对称函数”，且 6.设a为常数，f(0)=,fz十)= h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是 f(x)f(a-y)十f(y)f(a-x),则 () 13.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函 A.f(a) 数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且 B.f(x)=2恒成立 f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时， 「k(x+2),0<x≤1， C.f(x+y)=2f(x)f(y) f(x)=√1-(x-1)2,g(x) D.满足条件的f(x)不止一个 22 7.f(x)=a.x+b,若对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤2 (其中k>0).若在区间(0,9]上，关于x的 恒成立，则ab可能的最值为 方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则 A.-8 B.4 及的取值范围是 C.-2 D.1 8.a十e=b+lnb=4,则 )14.已知a=3,则a5= 249 三、解答题 17.f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于 15.已知f(x)=|x2十ax十b,若对于任意的 a,b,均存在x∈[1,4]，使得f(x。)≥m,求 直线x=1对称，对任意∈[0，号引，都 m的取值范围. 有f(x1十x2)=f(x1)f(x2),f(1)=a>0. (1)求f(2)及f()(2)证明：f(x)是周 期函数：(3)记a.=f(2m+),求a… 、 18.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈ 16.已知实函数f(x)满足f(f(x)=x一1，试 R,a≠0)满足条件： 证明：是否存在整数n使得f(n)是整数？ ①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x),且 如有，请写出所有符合条件的n;若无，请说 f(x)≥x; 明理由 @当x∈0,2》时f)≤， ③f(x)在R上的最小值为0. 求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x ∈[1，m],就有f(x+t)≤x. 250参考答案与解析 周期函数 b=4-m≥0，即0<m≤4时，函数图 (2)f(2013)=f(8×251+5)=f(5)=f(1+4)= ①当-2a2m f(1) 象大致如图所示. 3-2. 当x≤0时，f(x)>0恒成立；当x>0时 g(x)>0恒成立.结论成立； 第三章 函数及其性质 ②当一品-<0，即m>4时，函教图象 一、选择题 大致如图所示，若使∫(x)与g(x)的值 至少有一个为正数，只需要△=4(4 1.B由指数与对数运算可得：2"+log2a=4十2log:b m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0,即4 226+10gb, m<8.综上所述实数m的取值范围是 又因为22+logb<26+1og22b=22+1+logb, (0,8).故本题正确答案为B. 2"+log:a<22+log:26, 5.Bf(x)=x2+a.x+b在x∈(-1,1)上 令f(x)=2十log,x,由指对函数单调性可得f(x)在(0，十©o)内 f(-1)>0 f1-a+b>0 单调递增， f(1)>0 1+a+b>0 由f(a)<f(2b)可得：a<2b,故选B. 有两个零点台→ -1<-9<1 → -2<a<2 2 、2A多知a,h:cE(0,1D,由名=6g与 =log3·log8< △>0 a2-4b>0 (1og3+log:8)_(og24)2 4 44=1,知a<b, 因为b=log85,c=log138,所以8=5,13=8， 即86=5,13=8，又因为5<8,13°<8， 所以13“=8>5=8b>13,即b<c, 综上所述：a<b<c.故选A. 3.B方法1：由f(-=2-)可得)+，-0=1， 2 在平面直角坐标系上作图，有（α，b)落在图中两条直线和抛物 即函数y=f(x)图象关于点M(0,1)对称. 线所夹区域内.而由线性规划思想，2一2b的最值必然在区 又由y=十1=1十上知，函教y=十1的图象也关于点M 域的边界上取得，将三条边界线： 1-a+b=0,a∈[0,2]， 对称 1+a+b=0,a∈[-2,0]， 因此，函教y=f(x)与y=+1图象的交点也关于点M a2-4b=0,a∈[-2,2]， 分别代入a2-2b中，不难求得a一2b∈(0,2). 对称， 评析：二次函数问题与线性规划思想联动考查.值得一提的 不妨设x<x<x<<xm, 是，这里加上了二次函数的边界，不是单纯的线性规划；但最 则飞工+十包十…十五=0 2 2 2 值一定会在边界值取到，故有上述做法，这个知识点请重视！ y十以+业++…+y=m, 6.Ac令x=y=0,可得0)=20)a).周为f0)=2, 2 2 2 所以（红+y)=m 所以fa)=合A正确.令y=0,可得f(x)=fx)f(a)十 方法2：由f(-x)=2一f(x)知y=f(x)图象关于点 f0)f(a-x),代入f0)=fa)=号，可得f(a-x)=x). M(0,1)对称，可利用特殊化思想构造满足条件的具体函数来 即原等式变形为f(x十y)=2f(x)f(y),C正确 /y=x+1, 推断结论，可以令y=f(x)=x十1，通过解方程 (y=+1得 令y=x可得f(2x)=2[f(x)门≥0，即函数取值非负. x 令y=a-x可得f(a)=2[f(2)]3,即[f(x)门=子，解得 区，=-1支区=1即y=x)与y=士出的图象有2个 y1=0, y2=2. 、 )=，选B 交点(-1,0)，(1,2)， 7.D因为f(0)=b,f(1)=a+b,所以ab=[f(1)-f(0)]· (x,十y)=2.故选B. f0)=-f(0)+f)f0)=-[/0)-7f1)]+ 4.B当m<0时，函数图象大致如图所示，x趋 近于正无穷时f(x)与g(x)都是负数，不符合 子f产0，故b≤子<×2=1，当0)=2f. 题意，舍去，当m=0时， 1f(1)|=2,即2b=a+b=2或2b=a+b=-2时， x趋近于正无穷时，g(x)=0, 也即a=b=1或a=b=一1时等号成立. f(x)=一8.x十1<0，不符合题意，舍去. 8.ACD先利用f(x)=x十lnx的单调性证明e=b∈(e,3), 当m>0时，因为f(0)=1>0,所以 然后直接得到ab>1·e=e,并通过证明a十b=4,得出ab 385 强基数学·巅峰突破 4,即可验证C,D正确：然后利用该范围直接估计出alnb十 方法2：由题意得： blna的下界，即可得到A正确，B错误.构造f(x)=x十lnx If(a)<0, -4,易得f(x)在(0，+o∞)上递增，而f(e)=e十lne-4=e一 lf(a)+f(a)≤2， 3<0,f(3)=3+ln3-4=ln3-1>0,所以f(x)=0有唯一 (f(a)≥0， 或 的正根，且该根位于区间(e,3),因为a十e“=b十lnb=4,所以 -f产(a)≤2. f(e)=f(b)=0,则e°=b∈(e,3),故a∈(1，ln3),b(e,3). 即/a<0, /a≥0， 所以ab>1·e=e,故D正确；而e=b,a十e“=4,故a十b= a2+a≥-2， -≥-2， 4,而6>e>n3>a,所以有ah=[a+6)-(a-6门< 解得a≤√2. (a十b=子×=4，故C正确；由a,b>1,知a,6.lna,lnb 答案：a≤2 12.解析：方法1：根据图象分析得，当f(x) ∈(0，+o).从而alnb+blna>alnb>1·lne=1,故A正 : =3x+b与g(x)=√4-x在第二象 确，B错误 限相切时，b=2√10， 二、填空题 9.解析：设函数g(x)=f(x)一ax,则 由h(x)>g(x)恒成立得b>2√0. 人20 y=3x+210 g(z)= z+a.x十a,x≤0， 方法2：由已知的()+√4-x =3x 2 -x2+a.x-2a,x>0 (+号)+a- +b,所以h(x)=6.x+2b-√4-x,由h(x)>g(x)恒成立， 4,x≤0， 即g(x) 依题意得，函数 如上图即6x十2b-√4-x>√4-x恒成立， -(-)广+-2a>0. 整理得3x十b>√4-x, g(x)恰好有两个零点，即函数g(x)与x轴有两个交点，又因 在同一坐标系内作出y=3.x十b以及y=/4一x2的图象，当 为a>0, 直线与半圆相切时，13X0一0+6=2， a>0 fa>0, 1+32 所以(-号)>0支(-号)0 所以b的取值范围是(2√I0,+0) g(号)>0， 答案：(2√0，+∞) s(受)<0 13.解析：当x∈(0,2]时，y=f(x)=√1-(x-1)F→ a>0, fa>0, a>0, (x-1)2+y2=1(y≥0)， 或(-受)=0，所以a a° 0，或 a 4 0 结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出(x)在(0,9]上的 4 图象如图所示 g(g）=0, a -2a>0, -2a<0, y a>0 -2 支Q一千=0，解得aC.所以的取值花周为4，. A -2a=0 4 答案：(4,8) 当x∈(1,2]时，g(x)= 1 ,又g(x)的周期为2， 10.解析：因为f(号)=f(号)，函数f(x)的周期为2，所以 当xe,U5,6U7,8]时g)=-之 (2)=(2-2=(-)· 由图可知，当x∈(1,2]U(3,4]U(5,6]U(7,8]时，f(x)与 fax+1,-1≤x<0, g(x)的图象有2个交点， 根据f(x)={bz+2,0≤x≤1， 得到3a+2b=-2,又f(1) ∴.当x∈(0,1]U(2,3]U(4,5]U(6,7]U(8,9]时，f(x)与 x+1 g(x)的图象有6个交点， =-1,得到-a+1=生2，即20+6=0， 又当x∈(0,1]时，y=g(x)=k(x十2)(k>0)恒过定点 A(-2,0), 综合上面的式子解得a=2,b=一4，所以a十3b=一10. 由图可知，当x∈(2,3]U(6,7]时，f(x)与g(x)的图象无 答案：一10 交点， 11.解析：方法1：，函数f(x)= ∴.当x∈(0,1]U(4,5]U(8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6 |x十x(x<0), 它的图象如图所示： 个交点， -x2(x≥0)， 由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0,1]时，f(x)与g(x) 由f(f(a))≤2，可得f(a)≥-2， 的图象有2个交点， 由f(x)=-2可得x=一2， 当y=(x十2)与圆孤(x-1)+y=1(0<x≤1)相切时， 即x=√2，故当f(f(a)≤2时，则实数 d- 3k a的取值范围是a≤√2. √k2+ =1=>0= 386 参考答案与解析 当y=(x十2)过点A(-2,0)与B(1,1)时，k= 1 “f()=a六，“fx)的-个周期是2。 f(2m+a）=f动)=应a,=a应 答案：[子） 18.解：方法1：，f(x-4)=f(2一x), 画数的图象关于x=-1对称心一2 -b=-1,b=2a. 14.解析：令a3=b,则a=3,显然a>0且a≠1，若0<a<1,则 0<b<1,此时a=3不成立，所以a>1,则b>1,且3lna= 由③知当x=-1时，y=0,即a-b十c=0, 由①得f(1)≥1，由②得f(1)≤1， nb,blna=n3,所以b-血3，即m6=3n3, .f(1)=1,即a十b+c=1,又a-b+c=0, 对于f(x)=xlnx且x>1,则f(x)=1+lnx>0, a=6==f)=++ 所以f(x)=xlnx在(1，+co)上单调递增，又f(b)=f(3), 假设存在t∈R,只要x∈[1，m],就有f(x十t)≤x, 所以b=3,故a3=3,则a=(a3)2=9. 取x=1时，有f(t十1)1→ 答案：9 4+10+合+10+≤1-40， 1 三、解答题 15.解：对于一个二次函数g(x)=x2十a.x十b,二次项系数控制 对固定的t∈[一4,0]，取x=m,有 其开口大小，也就是说，无论a,b如何变化，g(x)=x2十ax f+m)m子(+m+号+m)+<m 十b的形状不会改变，与x相同，那么在一个长度为3的区 m2-2(1-t)m+(f+2t+1)≤0→1-t-√-4t 间内，父的最大值减去最小值（极差）至少为号（即 ≤m≤1-t+√一4t, [号])故当)=(e-号)广-号时，即 .m≤1-t+√-4t≤1-(-4)+-4×(-4)=9 当t=一4时，对任意的x∈[1,9]，恒有 a=-5,b=41时，f(x)=|x2+a.x+b在[1,4]上的最小值 为号那么)≥须恒成立m≤号 fx-40-x=}(x-10x+9)=(x-1D(x-9)≤0. ∴.m的最大值为9. 评析：注意到二次函数的性质：其形状由二次项系数决定 方法2：f(x-4)=f(2-x), 此题最好画出图形，能很直观地看出结果， .函数的图象关于x=一1对称 16.解：若存在，不妨假设f(n)=,则由f(f(n)=n-1,知 =-1,b=2a. f(k)=n一1，在原函数方程两侧再加f作用，得到 f(f(f(x)=f(x-1),而f(f(f(x)=f(x)-1,于是 由③知当x=-1时，y=0,即a-b十c=0,由①得 f(x-1)=f(x)-1,结合f(n)=k,f(k)=n-1知，n-k f(1)≥1，由②得f(1)≤1，.f(1)=1, 即a+b+c=1,又a一b+c=0, k-(n-1),即2k=2n-1,矛盾！ 评析：较为困难的函数方程问题，此题答案好猜，因为可以 =6== 4 猜想f(x)=x- =++是 1解：Dy∈[0，]有 =(x+1. f(x1+x2)=f(x1)·f(x), 由f(x+)=千(x+t+1)≤x在x∈[1，m]上恒成立， fx)=f(号)·f(受) .4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0. f1)=f(2)f(2)=a, 当x∈[1，m]时，恒成立. 令x=1有t+4t≤0→-4≤t≤0， 即f(2)=a,(2)=f(）)f()=a,即f() 令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0， 当t∈[一4，m]时，恒有解 =a. 令t=-4得，m2-10m十90→1≤m9, (2)证明：依题y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)= 即当t=一4时，任取x∈[1,9]恒有 f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R,又由f(x)是偶函数 fx-4)-x=子(x-10x+9)= 4(x-1)(x-9)≤0. 知f(-x)=f(x),x∈R,f(x)是R上的周期函数，且2 ∴mmx=9. 是它的一个最小正周期. (3)由(1)知f(x)≥0，x∈[0,1]， 第四章 微积分初步 f(号）=f(m·动)=（品+(m-D品） 一、选择题 (动)(m-1D2动）=…=f()f()…f() 1.D球的体软特长建度为：四y=V(,琼的面积增长建 (), △S=S(t), 度为：m 387