第二章 代数式与方程（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

参考答案与解析 P。∩P1,所以2k-2≥3k-3-1P.∩P1-1P.∩P1-1P6 评析：考查了代数变形中配方的技巧，要注意的是，因为x的 ∩P|+IP.∩P.∩PI,即|P.∩P|+IP.∩P.|+IP∩P.| 系数比y的小，那么优先将x配方才能将原式转化为平方和 -|P.∩P6∩P|≥k-1,故此时G(n)≥k,考虑一种特殊情 的形式. 况：P。=Y…Yg+,P。=Y+2…,Yg},P.=(Yg+g…, 5.AD原方程可作因式分解，得到 Y+1},此时朋友图个数为1十1十k-2=,故G(n) (4x+y)[(3x+y)-(3.x+y)3x+(3.x+y)x2-(3x+y)x3 k=”1 十x+1]=0,注意到(3.x十y)-(3x十y)x十(3x十y)x2 2 4,n=4, (8x+)x+x+1=[3x+y-2x(3x+0] 综上，G(n) 号十1，m≥6n为%数， [e-+]++0+1>0 1n为奇数. 于是方程等价于4x十y=0,答案选AD. 、21 评析：代数杂题，考点在因式分解和配方这些常见的代数变 18.解：令a1=n-k+1,若2≤i≤n-k+1,a,=i-1,若n-k+2 形技巧」 ≤i≤n,则a,=i,定义映射如下：若n-k十2≤i≤n,则f(a:) x+y=2x-1, =a:,若1≤i≤n一k,则f(a:)=a:十1，f(n-k)=n一k十1，集 6.AC 整理得 xy=4x2-14+14. 由y≤红+》得 4 合A1={a1,a2…a-+1,A={a+w-e},2≤j≤k,此时 21a*1-fa,1=1+1++1+-1=2k-2. 44:-14:+140<2-1D,解得号<：≤名 而x2+y2=(x+y)2-2xy=-4x2+24x-27=-4(x-3) 第二章代数式与方程 十9，代入取值范围即可得到两个最值， 评析：本题需要注意讨论之的取值范围 7.AD利用公式a3+b3十c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 一、选择题 ab-bc-ca)因式分解知x十3y=1或x2+9y2+1-3.xy+ 1.C设函数f(.x)=√4x+I,则其导函数f(x)= √4x+1 x+3y=0. 作出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象在x= 号处的切线 (2x-3y+1)2+33)+1)=0=x=-1y=-子 y 若x十3y=1,则由均值不等式知9xy≤（工+x+x+9y) 4 3 7 f)√4x+ 收y的最大值在z=-1y=-号情元下取到，为子 81 f(x)的图进点（-0）和 A正确，B错误；让x·十∞可见x3y没有最小值，D正确，C (三W厅)的割线 错误. 8.B 设 x=rcos0, 0∈R,r∈[0,1]，则x2+xy-y2= y=rsin 0, 方<2百()+，虚侧等号当 (as29+7sn20）-sim(29+p<.送B 2 二、填空题 一青或=2时取得：右侧等号当工=弓时取得，因此原式 9.解析：因为x=士1是f(x)的零 的最大值为√2，当a=b=c=时取得：最小值为， 点，根据对称性可知一3，一5也 3 是零点， x=-2- 当a=6=一子，=时取得，从而原式最大位与最小值的乘 从而a=8,b=15 .y=(1-x2)(.x2+8.x+15), 积为73=√/147∈[√144，√169). 方法1：y=-4x3-24x2-28.x+8, 评析：此题考查的是不等式中的切线法，原题已知条件是线 y=0→x3+6z2+7.x-2=0(x+2)(.x+4x-1)=0→ 性表达式，所以才会考虑将目标的根式表达式放缩为线性表 x1=-2,x2=-2+V5,x=-2-5 达式，注意思考切点的选择， 故x=一2士⑤时，y取得极大值也是最大值，最大值为16. 2.C令fx)=十工，则原方程等价于f(f(x)=x,由于函 方法2：y=(1-x2)(x2+8.x+15),(1-x2)(x2+a.x+b) 数f(x)在R上单调递增，故原方程又等价于f(x)=x,所以 (1-x2)(x+8.x+15)=(1+x)(1-x)(x+3)(z+5) =(.x+3)(1+x)(x+5)(1-x) 原方程的所有实根为0，√2，一√2，其平方和为4. =「(x2+4x+3)(-x2-4x+5)] 评析：函数方程，同样也算是抽象函数的问题，一定要重视. =[(x+2)-1][9-(x+2)] 3.C令t=/15x-x+1,方程化为t+/28-=4,移项后 ≤「z+2)-1+9-x+2)7 两边立方即得t一4t十3=0，得t=1或t=3.回代到t= 2 =4=16 15x一x+1,所以共有4个x满足要求. 当且仅当(x+2)2=5→x=-2士√5等号成立， 4.CD配方，有f(x,y)=(x-y-7)+5(y-2)+3.由于我 当x=一2士√5时，y最大值为16. 们可以固定住x一y一7的值，再对y进行调整.所以f(x,y) 方法3：f(x)=(1-x)(x2+8.x+15) 的值域为[3，十∞)，故选CD. (1十x)(1-x)(x十3)(x+5), 383 强基数学·巅峰突破 f(x)=-（x2十4x十3)(x+4x-5), →2(x+y)=7+xy, 令t=x2+4.x=(x+2)2-4≥-4， (ax+by)(x+y)=ax'+by'+zy(ax2+by2) f(t)=-(t+3)(t-5)=-[(t-1)2-16]= →7(x+y)=18+2xy, 16-(t-1),当t=1时，f(x)max=16. 答案：16 联立上选两式可得x十青=一只回 3 10.解析：原式可变形为(x十3)2=(y一2)2，得(x+5-y)× 此时(x十y)(ax+by)=ax十by+xy(a.x3+by2) (x十y十1)=0.这说明原二次方程表示的轨迹是两条直线 →18(x+y)=a.x+by+7xy.② 的并集：x一y十5=0和x十y十1=0，因为原，点到这两条直 将①代入②可得 线的距商分别为平和号，所以答家是（注意答案不是 a.x+by=163 2 2 答案1 14,解析：设f(x)=x3+x2+gx+r=(x-x1)(x-x:)(x 答案： Z3) 11解析：方法1：因为a,b,c为方程x3-k1x-k=0的根， 则f(1)=1十+g+r=(1-x1)(1一x2)(1-x3), a+b+c=0, 设y1=1-1y2=1-x2,y3=1-x3,则y1y2y∈(-1， 由三次方程的韦达定理得：ab十bc十ca=一k1, 1), abc=k2 所以y1y2y3∈(-1,1)，所以1+力+g+r=y1y2y∈(-1， 1), ++ 所以p十q十r∈（一2,0） -+-+之 答案：一1（区间（一2,0）上的所有实数，答案不唯一) 1-k1一k 三、解答题 方法2：因为x3一k1x一k2=(x-a)(x一b)(x-c), 15.解 x-12 三上三2，平万得x十222=4之 由此可得： /a+b+c=0, 36x2 22+1 1 x+16 ab+bc+ca=-k abc=k2 评析：题目较简单，关键在于取倒数得到函数x士工的形式】 以及1-k1-k2=(1-a)(1-b)(1一c). 16.解：原式等价于a2+b十ab=a+b. + 一方面a+6=心+6+a6>2a+b,故a+6<分 _3-(a+b+c)-(ab+bc+ca)+3abc3+k+3k2 另一方面：a+b=a2+b+ab<(a+b)2,故a+b>1. 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc 1-k1一k2 省系十货 所以a十b的取位范国是(1，号)： 17.解：(1)f(2)即1,2,3的所有排列中逆序数为2的全部排列 12.解析：对原式因式分解可得 的个数，根据题意，1,2,3的全部排列中满足要求的仅序列 a(b-c)+b(c-a)+c2(a-b)=(a2b-ab)-c(a2-b2)+ 231与序列312，共两个，即f3(2)=2;同理，1,2,3,4的全部 c2(a-b)=(a-b)(ab-ca-cb+c2)=(a-b)(b-c)(a-c), 排列中满足要求的仅序列1342,1423,2143,2314,3124， 该式子关于a、b、c轮换对称，只需考虑a≤b≤c和a≥b≥c 共五个，即f(2)=5. 两种情况.令f(a,b,c)=(a-b)(b-c)(a-c). (2)不妨记fn(2)=am,考虑a与am-的关系，相当于把n插 (1)若a≤b≤c,此时f(a,b,c)≤0. 入1,2,3，…，1-1中，显然n只能排在末尾的三个位置， (2)若a≥b≥c,此时f(a,b,c)≥0 ①n排在最后时，有a。-1个排列符合； 由(a-b)(b-c)(a-c)(a+c-b)·b(a+c-c), ②n排在倒数第二个位置时，最后一位排n一1或n一2，有 即f(a,b,c)≤f(a+c,b,0)=f(1-b,b,0)=b(1-2b)(1- n一2个排列符合； b). ③n排在倒数第三个位置时，只有1种符合； 令R(=x1-2x1-e[07]则g()=6-6a 则有a,=a,1+n-1>a,=n+2）n-3》+2=龙=”-2 2 2 +1,解得当x=3。时g)取得最大值，计第（②。） 6 因此，f.(2)=-”=2(m≥5. 2 18 18.解：1)由条件可知f1)≠1，故f(x+2)=1+f 1f(x)用x+ 因此原式最大值为， ,此时a=3+,6=3- ,c=0的各 2换上式的，得f(x十4)=1+f+2 1+1+fx) 1-f(x) 种轮换形式。 1-f(x+2) 1-1+fx 1一f(x) 答案得 1 f(x)1 13.解答：由题意可知： (x+y)(ax'+by)=ax+by+zy(ax+by) 所以f(x十8)= f(x+④=f(x),即f(x)是以8为周期的 384 参考答案与解析 周期函数 b=4-m≥0，即0<m≤4时，函数图 (2)f(2013)=f(8×251+5)=f(5)=f(1+4)= ①当-2a2m f(1) 象大致如图所示. 3-2. 当x≤0时，f(x)>0恒成立；当x>0时 g(x)>0恒成立.结论成立； 第三章 函数及其性质 ②当一品-<0，即m>4时，函教图象 一、选择题 大致如图所示，若使∫(x)与g(x)的值 至少有一个为正数，只需要△=4(4 1.B由指数与对数运算可得：2"+log2a=4十2log:b m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0,即4 226+10gb, m<8.综上所述实数m的取值范围是 又因为22+logb<26+1og22b=22+1+logb, (0,8).故本题正确答案为B. 2"+log:a<22+log:26, 5.Bf(x)=x2+a.x+b在x∈(-1,1)上 令f(x)=2十log,x,由指对函数单调性可得f(x)在(0，十©o)内 f(-1)>0 f1-a+b>0 单调递增， f(1)>0 1+a+b>0 由f(a)<f(2b)可得：a<2b,故选B. 有两个零点台→ -1<-9<1 → -2<a<2 2 、2A多知a,h:cE(0,1D,由名=6g与 =log3·log8< △>0 a2-4b>0 (1og3+log:8)_(og24)2 4 44=1,知a<b, 因为b=log85,c=log138,所以8=5,13=8， 即86=5,13=8，又因为5<8,13°<8， 所以13“=8>5=8b>13,即b<c, 综上所述：a<b<c.故选A. 3.B方法1：由f(-=2-)可得)+，-0=1， 2 在平面直角坐标系上作图，有（α，b)落在图中两条直线和抛物 即函数y=f(x)图象关于点M(0,1)对称. 线所夹区域内.而由线性规划思想，2一2b的最值必然在区 又由y=十1=1十上知，函教y=十1的图象也关于点M 域的边界上取得，将三条边界线： 1-a+b=0,a∈[0,2]， 对称 1+a+b=0,a∈[-2,0]， 因此，函教y=f(x)与y=+1图象的交点也关于点M a2-4b=0,a∈[-2,2]， 分别代入a2-2b中，不难求得a一2b∈(0,2). 对称， 评析：二次函数问题与线性规划思想联动考查.值得一提的 不妨设x<x<x<<xm, 是，这里加上了二次函数的边界，不是单纯的线性规划；但最 则飞工+十包十…十五=0 2 2 2 值一定会在边界值取到，故有上述做法，这个知识点请重视！ y十以+业++…+y=m, 6.Ac令x=y=0,可得0)=20)a).周为f0)=2, 2 2 2 所以（红+y)=m 所以fa)=合A正确.令y=0,可得f(x)=fx)f(a)十 方法2：由f(-x)=2一f(x)知y=f(x)图象关于点 f0)f(a-x),代入f0)=fa)=号，可得f(a-x)=x). M(0,1)对称，可利用特殊化思想构造满足条件的具体函数来 即原等式变形为f(x十y)=2f(x)f(y),C正确 /y=x+1, 推断结论，可以令y=f(x)=x十1，通过解方程 (y=+1得 令y=x可得f(2x)=2[f(x)门≥0，即函数取值非负. x 令y=a-x可得f(a)=2[f(2)]3,即[f(x)门=子，解得 区，=-1支区=1即y=x)与y=士出的图象有2个 y1=0, y2=2. 、 )=，选B 交点(-1,0)，(1,2)， 7.D因为f(0)=b,f(1)=a+b,所以ab=[f(1)-f(0)]· (x,十y)=2.故选B. f0)=-f(0)+f)f0)=-[/0)-7f1)]+ 4.B当m<0时，函数图象大致如图所示，x趋 近于正无穷时f(x)与g(x)都是负数，不符合 子f产0，故b≤子<×2=1，当0)=2f. 题意，舍去，当m=0时， 1f(1)|=2,即2b=a+b=2或2b=a+b=-2时， x趋近于正无穷时，g(x)=0, 也即a=b=1或a=b=一1时等号成立. f(x)=一8.x十1<0，不符合题意，舍去. 8.ACD先利用f(x)=x十lnx的单调性证明e=b∈(e,3), 当m>0时，因为f(0)=1>0,所以 然后直接得到ab>1·e=e,并通过证明a十b=4,得出ab 385第二章 代数式与方程 一、选择题 A.1 B.5 1.已知a+b+c=1,则√4a十1+√4b+1+ 2 √4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间 C.10 3 D.√2 二、填空题 A.[10,11) B.[11,12) 9.若函数f(x)=(1一x2)(x2+ax十b)的图象 C.[12,13) D.前三个答案都不对 关于直线x=一2对称，则f(x)的最大值 2方程（仁}'+=3虹的所有实根的 是 3 10.已知x2-y2+6x+4y+5=0,则x2+y2的 平方和等于 ) 最小值为 A.0 B.2 11.设a,b,c为方程x3-k1x-k2=0的根，且 C.4 D.前三个答案都不对 3.求方程15x-x2+1+x2-15x+27=4的 名中名≠1，则+8+出合+ 实根数目为 12.已知非负实数a,b,c满足a十b十c=1,则 A.2 B.3 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)的最大值为 C.4 D.以上选项都不对 4.设x、y∈R,函数f(x,y)=x2+6y2-2xy : 13.已知ax+by=1,ax2+by2=2,ax3+by3= 14x一6y+72的值域为M,则 ( 7,ax+by=18,ax+by= A.1∈M B.2∈M 14.已知x3+px2+q.x十r=0在(0,2)上有三个 C.3∈M D.4∈M 不等实根，则p十q十r的可能取值为 5.满足(3x+y)5+x5+4x十y=0的点(x,y) ( 三、解答题 A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 1已知分求的值 6.实数x,y,z满足2十y2+1=0, 则 4z2-xy-14z+14=0, x2+y2的 ( A最小值为号 B最小值为号 C.最大值为8 D.最大值为9 7.已知x3+27y3十9xy=1,则下列选项中正确 的有 ( A》.m=号 B.( C.(y)3 D.x3y没有最小值 8.已知实数x,y满足x2十y2≤1，则x2十xy y2的最大值为 ) 247 16.已知a>b>0,a3-b3=a2-b2,求a+b的：18.已知f(x)是定义在R上的函数，且 取值范围. f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x) (1)试证明f(x)是周期函数； (2)若f(1)=2+√3，试求f(2013). 17.设n∈N*,对1,2，…，n的一个排列i1i2… in,如果当s<t时，有i,>i,则称(i,i,)是 排列i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的 所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对 1,2,3的一个排列231，只有两个逆序 (2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记 fn(k)为1,2，…，n的所有排列中逆序数为 的全部排列的个数. (1)求f3(2),f4(2)的值； (2)求f,(2)(n≥5)的表达式（用n表示）. 248