第一章 集合与简易逻辑（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

参考答案与解析 闯关测试卷 必要性：当an=0时，命题g成立，而a1a…,a。不为等比数 第一章 集合与简易逻辑 列，即命题力不成立，故必要性不成立. 综上，p是q的充分条件，但不是g的必要条件 一、选择题 5.A方法1：①当S中有3个元素时，设S={a,b,c},a<b<c, 1.B用分类讨论的数学思想方法 若集合A中最大的数是1，集合B的选择方法： 则abc,acCT,所以合∈S,云∈5，后∈5，若后=c,则a= 23-1=15种， 1,所以6=b,即c=6,此时S={1,b,b1,T=b,b,b1,所 若集合A中最大的数是2，则集合A有2种，集合B的选择 方法：23一1=7种， 以SUT=16,6.b有4个元素：若后=b,则c=b,所以 若集合A中最大的数是3，则集合A有4种，集合B的选择 方法：22-1=3种， =a,即b=a2(a≠1)，此时S={a,a2,a,T=(d,a,a 若集合A中最大的数是4，则集合A有8种，集合B的选择 或{a2,a3,a,ai}或{a3,a,a,ai},所以SUT={a,a2,a3, 方法：1种. a,a}或{a,a,a3,a,a,a},有5个或6个元素.故排除 故共有：15+2×7+4×3+8×1=49，故选B. C、D. 2.B3>3>3,∴.a>b>1,∴.loga>logb>0, 1 ②当S中有4个元素时，设S={a,b,c,d},a<b<c<d,所以ab .1 六1oga<ogb即l1og.3<log3 ac<alK<cd,且{ab,ac,ad,bd,cdCT,所以g<ald abab ab 故3“>3>3是log.3<1ogb3的充分条件； 而log.3<10g3不能推出3>3>1例如a=号b=3. 业告器然兰}8所以器=器=6 <cd a6c, 3 故3“>3>3是1og3<10g3的充分不必要条件」 昭-d,所以6==d,d=a(a≠1，此时s=ad,d, 故选B. a',T=(a,a',a',a,a',SUT=(a,a',a',a',a,a, 3.D对于A,由题意(i)可知，S为y=f(x)的定义域，取f(x) a},有7个元素，故选A. =x一1，x∈N",y∈N,满足题意； 方法2：特殊值法.当S={1,2,4},T={2,4,8}时， -8,x=-1, 对于B,取f(x)= SUT={1,2,4,8},故D错误；当S={2,4,8}, gx+1.-1K<3 T={8,16,32}时，SUT={2,4,8,16,32},故C错误： 满足题意：对于C, 当S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}时， 承f)=am[x(2-号)小： SUT={2,4,8,16,32,64,128},故B错误.故选A. 6.D充分性：若f(0)=0,g(x)=f(x)(x2-x+1)+ 满足题意；故选D. f(x)(x2-x十1)=f(x)(x2-x十1)十f(x)(2x-1),所以 10 g'(0)=f(0)-f(0)=f(0),因此g(x)在x=0处是否可 2 导，还需要看f(x)在x=0处是否可导，因此不具备充分性； 必要性： g'(.x)=f'(x)(x2-x+1)+f(x)(x2-x+1)'=(x)(x2 x+1)+f(x)(2x-1), g'(0)=f(0)-f(0),g(x)在x=0处可导只能代表(0)- 123 f(0)有意义，不能得出f(0)=0,因此不具备必要性， 所以f(0)=0是g(x)在x=0处可导，既不充分也不必要 条件。 -8B 7.B由等势集的定义可以判断.若存在从集合A到集合B的 一一对应，则称A与B等势，相应地，称A、B为等势集，根据 直接分析D选项，对于D, 定义与自然数集对等的集合称为可列集，即集合元素可列举. 假设存在f(x)满足要求， 8.D按A1A,所含元素的个数分为“1十1型”“1十2型”“1+3 且y1=f(x1),y2=f(x2), 型”“2十2型”，分别求出相应的“互斥子集组”数.①若A1、A 因为x1<x2,有f(x1)<f(x2),即y1<y2, 中各含一个元素时，“互斥子集组”数：C×2=12个；②若A [x1,x]包含于Z,[y1y]包含于Q,不妨取x1=1, x=2,[1,2]只有两个元素，而[y1y2]中有无限多个有理数， 含一个、A含两个元素或A1含两个，A2含一元素时，“互斥 说明存在[yy]中的数，没有原象，与双射矛盾，故选D. 子集组”数：C×C×2=24个；③若A1含一个、A:含三个元 4.A充分性：若命题力成立，不妨设数列的公比为q。,则根据 素时，“互斥子集组”数：CX2=8个；④若A1、A2中各含两 柯西不等式，(a十a十…十a1)(a十a十…十a)≥ 个元素时，“互斥子集组”数：C=6个，综上共有“互斥子集 (ajataa:+.+a-a), 组”数50个。 当且仅当a+1=ma,(i=1,…,n-1)时取“=”. 二、填空题 {an}是等比数列，a+1=a;·go 9.解析：集合A={xlx=2n-1,n∈N"}, ∴.命题g成立，因此充分性成立； B={xlx=2",n∈N*}, 381 强基数学·巅峰突破 将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{m}, 根据①，每个A至少含有三个元素，这些元素分别设为1 则a21=2,a3=2,记S,为数列{an}的前n项和，则 i2、…、i(k≥3)，显然它们都属于A: S6=21×1+41)+20-2 =441+62=503<12a,=12 0,当iA,: 1-2 由定义a=1,当ieA: ×43=516,所以n=26不适合题意； 可知，数表的第A:列的第i1行，第i2行，…，第i,行均为1， S,=22X9+48)+2-?）=484+62=5A6>12a 故数表的每列至少有3个1. 2 1-2 (3)用n表示该数表中的1的个数，由(1)的结论可知，因为 12×45=540. 数表每列至少有3个1，所以整个数表（共n列）至少有3m 所以n=27适合题意，故使得S>12a,+1成立的n的最小值 个1，由于表中的数只有0和1两种数，而a,和a:恰好一个 为27. 答案：27 为1，而另一个为0，又4=0，所以数表中共有”。”个1，考 2 10.解析：由-x∈A知B二{一2,0，-1，-3}， 查数表中1的总数：一方面，1的总数为”。”个，另一方面， 当x=-2,一3时，2-x2=一2，一7在A,满足要求； 2 当x=0,-1时，2-x=2,1∈A,不满足要求。 至少有3m个1，因此得不等式”。”>3m,解得：≥ 从而B={一2，一3}，其元素的和为一5. 答案：一5 16.解：对有限集合T,记其元素个数为|T.在1,2,3,4,5,6， 11.解析：方法1：3(a1十a十a,十a,)=-1十3+5+8=15→a1 7,8的所有排列中，设A为所有包含连续的i(i十1)的排列 +a2+a+a,=5, 构成的集合，这里i=1,2,…,7.则对1≤i1<i2<…<i4≤7 集合A的四个元素分别为 (1≤k≤7)而言，集合A,∩A,∩…∩A中的所有排列，都相 a1=5-(-1)=6,a2=5-3=2,ag=5-5=0, 当于在将需要相邻的数进行捆绑以后，(8一)个整体元素的 a4=5-8=-3. 全排列，从而A∩A,∩…∩A|=(8-b)!. 方法2：不妨设a1<a,<a2<a,,则a1十a2十ag<a1十a2十a 故由容斥原理即得|AUA。U…UA,|= <a1十ag十a<a2十a3十a4, 2- A∩A∩…∩AI a1=-3 <<…<≤7 a1+a2+ag=-1 依题意得： a1十a2+a,=3 a2=0 = (8-k)! → ai ta;ta:=5 a3=2 =2(-1)-1·C·(8-k)川 (a2+a3+a,=8 (a,=6 答案：{-3,0,2,6} =(-1)-1·(8-k)· 7！ =7×5040-6×2520+5×840 k=1 12.解析：西1<a<64知，3+6 1 -+4=7,当a=1,b=4 4×210+3×42-2×7+1×1=23633. 这就表明出现了连续的12,23,34,45,56,67,78中之一的排 时，得最大元素M=7,又3+b≥3+a≥25，当a=b=3 列有23633个，所以不出现连续的12,23,34,45,56,67,78 的排列有(8！)一23633=40320-23633=16687（个）. 时，得最小元素N=23,因此，M一N=7一2√3 故所求排列的个数为16687. 答案：7一23 17.解：(1)当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班 13.解析：n=1时，A=[0,1],不合题意，舍去，n=2时，A={2}, 不合题意，舍去，n≥3时，n2一n>n,∴.A=[n,n2一n],∴.n2- 级里朋友图的个数最大，此时F()=C=m一1)n-2 n-(n-1)=n2-2n+1=(n-1)2=9,∴n=4. (2)当n=3时，G(3)=1;当n=4时，A,B,C中的每个人都至 答案：4 少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故 14.解析：由2n十2≤20求得n≤9，根据抽屉原理，A至多有6 G(4)=4;当n≥5时，记P.为班级中除去A,B,C且与A是 个元素，当A={9,8,7,6,5,4}时，得到M(A)的最大值为39. 朋友的同学的集合，P。为班级中除去A,B,C且与B是朋友 答案：39 的同学的集合，Pc为班级中除去A,B,C且与C是朋友的同 三、解答题 学的集合，若n=2k(k≥3)，由题设可知，P。、P。、P。中的元素 15.解：(1)A1={2,3,4},A2={3,5,6},A={4,5,7}, 的个数不小于k一1，余下同学记为：Y,Y,…,Y,集合M中 A={2,6,7},A=1,4,6},A=1,3,7},A=1,2,5}. 元素的个数记为|M,因为余下人数为2k一3，由容斥原理可 (2)这个n行n列的数表如右表： 得2k-3≥|P.UPUP|=|PI+|P|+|P|-IP.∩P 4 … A -|P.∩P.1-lP6∩P.1+|P.∩P,∩P1,所以2k-3≥3k 3-|P.∩P|-|P.∩P.I-|P∩P|+|P∩P∩P|,即 IP.∩PI+|P∩P|+1P∩P|-|P。∩P∩P.l≥k,故此 时G(n)≥十1，考虑一种特殊情况：P。=Y,,…,Y+}=P, P。=(Yg+2,…,Y6},此时朋友图个数为-1十1+1=k+1, 故G(m)=负十1=号十1，若n=2k十1≥2)，由题设可知， P。、P。、P。中的元素的个数不小于k一1，余下同学记为：Y, Y…,Y+1,集合M中元素的个数记为M,因为余下人数 为2k-2,由容斥原理可得2k一2≥|P UPUP|=|P|十 IPbI+IPI-P.∩Pb-IP.∩P|-1P∩P|+IP.∩ 382 参考答案与解析 P。∩P1,所以2k-2≥3k-3-1P.∩P1-1P.∩P1-1P6 评析：考查了代数变形中配方的技巧，要注意的是，因为x的 ∩P|+IP.∩P.∩PI,即|P.∩P|+IP.∩P.|+IP∩P.| 系数比y的小，那么优先将x配方才能将原式转化为平方和 -|P.∩P6∩P|≥k-1,故此时G(n)≥k,考虑一种特殊情 的形式. 况：P。=Y…Yg+,P。=Y+2…,Yg},P.=(Yg+g…, 5.AD原方程可作因式分解，得到 Y+1},此时朋友图个数为1十1十k-2=,故G(n) (4x+y)[(3x+y)-(3.x+y)3x+(3.x+y)x2-(3x+y)x3 k=”1 十x+1]=0,注意到(3.x十y)-(3x十y)x十(3x十y)x2 2 4,n=4, (8x+)x+x+1=[3x+y-2x(3x+0] 综上，G(n) 号十1，m≥6n为%数， [e-+]++0+1>0 1n为奇数. 于是方程等价于4x十y=0,答案选AD. 、21 评析：代数杂题，考点在因式分解和配方这些常见的代数变 18.解：令a1=n-k+1,若2≤i≤n-k+1,a,=i-1,若n-k+2 形技巧」 ≤i≤n,则a,=i,定义映射如下：若n-k十2≤i≤n,则f(a:) x+y=2x-1, =a:,若1≤i≤n一k,则f(a:)=a:十1，f(n-k)=n一k十1，集 6.AC 整理得 xy=4x2-14+14. 由y≤红+》得 4 合A1={a1,a2…a-+1,A={a+w-e},2≤j≤k,此时 21a*1-fa,1=1+1++1+-1=2k-2. 44:-14:+140<2-1D,解得号<：≤名 而x2+y2=(x+y)2-2xy=-4x2+24x-27=-4(x-3) 第二章代数式与方程 十9，代入取值范围即可得到两个最值， 评析：本题需要注意讨论之的取值范围 7.AD利用公式a3+b3十c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 一、选择题 ab-bc-ca)因式分解知x十3y=1或x2+9y2+1-3.xy+ 1.C设函数f(.x)=√4x+I,则其导函数f(x)= √4x+1 x+3y=0. 作出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象在x= 号处的切线 (2x-3y+1)2+33)+1)=0=x=-1y=-子 y 若x十3y=1,则由均值不等式知9xy≤（工+x+x+9y) 4 3 7 f)√4x+ 收y的最大值在z=-1y=-号情元下取到，为子 81 f(x)的图进点（-0）和 A正确，B错误；让x·十∞可见x3y没有最小值，D正确，C (三W厅)的割线 错误. 8.B 设 x=rcos0, 0∈R,r∈[0,1]，则x2+xy-y2= y=rsin 0, 方<2百()+，虚侧等号当 (as29+7sn20）-sim(29+p<.送B 2 二、填空题 一青或=2时取得：右侧等号当工=弓时取得，因此原式 9.解析：因为x=士1是f(x)的零 的最大值为√2，当a=b=c=时取得：最小值为， 点，根据对称性可知一3，一5也 3 是零点， x=-2- 当a=6=一子，=时取得，从而原式最大位与最小值的乘 从而a=8,b=15 .y=(1-x2)(.x2+8.x+15), 积为73=√/147∈[√144，√169). 方法1：y=-4x3-24x2-28.x+8, 评析：此题考查的是不等式中的切线法，原题已知条件是线 y=0→x3+6z2+7.x-2=0(x+2)(.x+4x-1)=0→ 性表达式，所以才会考虑将目标的根式表达式放缩为线性表 x1=-2,x2=-2+V5,x=-2-5 达式，注意思考切点的选择， 故x=一2士⑤时，y取得极大值也是最大值，最大值为16. 2.C令fx)=十工，则原方程等价于f(f(x)=x,由于函 方法2：y=(1-x2)(x2+8.x+15),(1-x2)(x2+a.x+b) 数f(x)在R上单调递增，故原方程又等价于f(x)=x,所以 (1-x2)(x+8.x+15)=(1+x)(1-x)(x+3)(z+5) =(.x+3)(1+x)(x+5)(1-x) 原方程的所有实根为0，√2，一√2，其平方和为4. =「(x2+4x+3)(-x2-4x+5)] 评析：函数方程，同样也算是抽象函数的问题，一定要重视. =[(x+2)-1][9-(x+2)] 3.C令t=/15x-x+1,方程化为t+/28-=4,移项后 ≤「z+2)-1+9-x+2)7 两边立方即得t一4t十3=0，得t=1或t=3.回代到t= 2 =4=16 15x一x+1,所以共有4个x满足要求. 当且仅当(x+2)2=5→x=-2士√5等号成立， 4.CD配方，有f(x,y)=(x-y-7)+5(y-2)+3.由于我 当x=一2士√5时，y最大值为16. 们可以固定住x一y一7的值，再对y进行调整.所以f(x,y) 方法3：f(x)=(1-x)(x2+8.x+15) 的值域为[3，十∞)，故选CD. (1十x)(1-x)(x十3)(x+5), 383第一章 集合与简易逻辑 一、选择题 C.若S有3个元素，则SUT有4个元素 1.设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空 D.若S有3个元素，则SUT有5个元素 子集A和B,要使B中最小的数大于A中最 6.g(x)=f(x)(x2-x+1),则f(0)=0是g(x) 大的数，则不同的选择方法共有 ) 在x=0处可导的 () A.50种 B.49种 A.充要条件 C.48种 D.47种 B.充分不必要条件 2.设a,b都是不等于1的正数，则“3>3>3” C.必要不充分条件 是“1og。3<1og63”的 ( ) A.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 7.下列数集与自然数集等势的是 C.必要不充分条件 A.实数集 B.整数集 D.既不充分也不必要条件 C.无理数集 D.以上均是 3.设S,T是R的两个非空子集，如果存在一个 8.已知非空集合A1,A2是集合A的子集，若同 从S到T的函数y=f(x)满足：(i)T= 时满足两个条件：(1)若a∈A1,则a任A2; {f(x)x∈S};(i)对任意x1,x2∈S,当 (2)若a∈A2,则a庄A1;则称(A1,A2)是集合 x<x2时，恒有f(x1)<f(x2),那么称这两 A的“互斥子集”，并规定(A1,A2)与(A2,A1) 个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1,2,3,4} 同构”的是 ( 的不同“互斥子集组”的个数是 A.A-N*,B-N A.11 B.28 C.32 D.50 B.A={x|-1≤x≤3}， B={x|x=-8或0<x≤10} 二、填空题 C.A={x|0<x<1},B=R 9.已知集合A={x|x=2n-1,N∈N*},B= D.A=Z,B=Q {x|x=2",n∈N).将AUB的所有元素从 4.设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,,an 小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为 成等比数列；q:(a+a+…十a1)·(a十 数列{an}的前n项和，则使Sn>l2an+1成立 a十…十a)=(a1a2十a2a3十…十am-1an)2,则 的n的最小值为 () 10.设集合A={2,0,1,3},集合B={x|-x∈ A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 A,2一x2氏A},则集合B中所有元素的和 B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 为 C.p是q的充分必要条件 11.设集合A={a1,a2,a3,a4},若A中所有三 D.p既不是g的充分条件，也不是q的必要 元子集的三个元素之和组成的集合为 条件 B={一1,3,5,8}，则集合A= 5.设集合S,T,S二N,T三N,S,T中至少有 两个元素，且S,T满足：①对于任意 12.设集合(8+b1<<≤4中的最大元素与 x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;②对于任意 最小元素分别为M,N,则M一N x,y∈T,若x<y,则义∈S,下列命题正确 13.已知集合A={x|(x-n)(x-n2+n)≤0， 的是 A.若S有4个元素，则SUT有7个元素 n∈Nt,若集合A中恰有9个正整数，则 B.若S有4个元素，则SUT有6个元素 n= 245 14.设A、B是集合{1,2，…，20}的两个子集，A∩：17.班级里共有n(n≥3)名学生，其中有A,B, B=,且n∈A时2m十2∈B.记M(A)为A的 C.已知A,B,C中任意两人均为朋友，且三 元素之和，则M(A)的最大值是 人中每人均与班级里超过一半的学生为朋 三、解答题 友.若对于某三个人，他们当中任意两人均 15.对某些正整数n,存在A1,A2,A3,…,Am为 为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”. 集合{1,2,3，…，n}的n个不同子集，满足 (1)求班级里朋友圈个数的最大值F(n); 下列条件：对于任意不大于n的正整数i,j, (2)求班级里朋友圈个数的最小值G(n). ①i在A:,且每个A:至少含有三个元素； ②i∈A;的充要条件是j庄A:(其中i≠j) 为了表示这些子集，作n行n列的数表，规 定第i行第j列数为a)= 0,当i庄A; 1,当i∈A,. (1)请构造出集合{1,2,3，…，7}的7个不同 的子集A1,A2,A3,…,A7,使得A1,A2, A3,…,A,满足题设（写出一种答案即可）； (2)求该数表中每列至少有多少个1； (3)用n表示该数表中的1的个数，并证 明n≥7. 18.给定正整数n,k(n≥k),记X={1,2,…,n} 从X→X的一一映射f称为是可一划分 的：若X可划分为k个非空子集A1,A2,…, A,且f(A:)=A:(i=1,2,…,k)(即X= A1UA2U…UA6,且A1,A2,…,A。两两的 交集为空集，f(A:)={f(x)|x∈A:}).已 知f是一个X的及一划分的一一映射， a1,a2,…,am是1,2，…，n的一个排列，求 16.求1,2,3,4,5,6,7,8的排列的个数，使得排 含a1一a,)引的最小值. 列中没有出现连续的12,23,34,45,56， 67,78. 246