第十章  不等式（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

强基数学·巅峰突破 所以∠F1BO=30°，∠BF1O=60°，∠BF1A,=120°， 因为函数y= 在[5，+0)上为减画数，所以 72 又|AB|=√a+b=√4c2+3C=√7c,且△BA1F1的外 3+ 接圆半径为2」 3 △F,PQ的取值范周为(0,9)5) 2 所以sin ZBF,A n0=2×2,解得=2，周此0 第十章 不等式 =4,b=23, 所以，希国C的方程为后+兰=1。 一、选择题 (2)如图，易知直线1斜率不 1C方法1：当>2时，原不等式化为 为0，设1方程为x=ty十m, 去分母得(x十2)(3-x)>(x十3)(x-2), fx=ty十m 由x2 即-x2+x+6>x2+x-6,2.x2-12<0,-√6<x√6. D 注意x>2得2<x<√6 得(3t+4)y+6mty+ 3m2-48=0, 当0C<2时，原不华式化为字号，去分得-十之 设P(x1y),Q(x2y),则 +6>-x2-x+6, +-晋m%-。 -6mt 即2x>0,x>0.注意0<x<2,得0<x<2. 综上得0<x<√6，所以选C. 由(1)知，A1(-4,0),A,(4,0),所以k·k:=kA1·kAg 、 方法2：特殊值法取x=2,适合不等式，排除A;取x=2.5, yi y +4x1-4x-16 3 4, 不适合不等式，排除D:再取x=√6，不适合不等式，所以排除 - B;选C 同理，k:·k:=,·0=一是，因为无十点= 点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力， 2.C易知x∈R,(x）=x十m.x 号(：+6 +(m+n) r+4a>1 2 4 x1∈(0,1)，x2∈(1，+c0), koks x1十x2=-m>0, 号+长， (m十n>0, 1+n+2=0 ·=m0,> 2 3m+n+20. 由1与x不垂直可得k2十，≠0，所以kk3=一 0,即专· f(0)≥0， 6a=易 f(1)0 作出区域D及函数y=log。(x十4)(a>1)的图象，如图所示， 所以产”产一易20+9十m-0十 y2 9 记g(x)=log.(x+4), m-4)=0, 则g(-1)=log(-1+4)>1=loga→a<3,所以选C. 于是(9t+20)yy2+9t(m-4)(y1十)+9(m-4) 3.D当>0时，f()=1-=-D+D,所以f)在 =0, （9r+20).3m=48+9r(m-4).26mt+9（m-4) (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以f(x)在(0， 3t+4 3+4 +oo)上的最小值为f(1)=2十a,要使f(0)是f(x)的最小值， 0 则当x≤0时，f(x)的最小值为f(0),所以f(x)在（一∞，0]上单 整理得m2-3m-4=0,解得m=-1或m=4,因为P、Q在 调递减，则有a≥0且f(0)≤f(1)=2十a, x轴的两侧，所以 即a≥0且a22+a, y=3m二48<0，-4<m<4,又m=-1时，直线1与精 解得0≤a2.故本题正确答案为D. 3f+4 、 圆C有两个不同的交，点， 4.D记g(x)=2x-3sinx,则g'(x)=2-3cosx, 因此m=一1，直线1恒过，点D(一1,0)，当m=一1时，y1十 当0<x<arc0s号时，g(x)<0,g(x)是单调递减， 6t -45 为3+4y4=3r十4， g(x)<g(0)=0,..2x<3sin Sa,m=2|F,Dl·l-1=吾y+为)-y 当ma0s号<<受时，g')>0,g四单调造增. 4-"弄 -45=18√4+5 但g(mas号)<0g(受)>0， 设√4r+5=X,由1与x不垂直得入>5，且SaF,P阳= 在区间[ar0s号，受)有且仅有-点0使x0)=0 18√4+572λ72 ∴.当0<x<0时，2x<3sinx;当x=0时，2x=3sinx; 3t+43入2+13入+ 当0<<受时，2x>3sinx所以D选项是正确的. 406 参考答案与解析 5.A因为|A一BX对任意的正数X恒成立， 3g+≥5， 则只需|A一B0, c c 又|A一B≥0，所以|A-B引=0，即A=B. 原不等式可转化为： 十b≤4，令=只y= b c 6.B由x2-2x-3≤0得(x+1)(x-3)≤0，解得-1≤x≤3， 所以A={x一1≤x≤3}， 因为A∩B=[-1,2),B={xx+p.x+q<0}, 3.x+y≥5， 所以方程x2十x十q=0有两个实数根x1,x（x1<2), x+y4, x1<-1且x2=2, 题目转化为：已知x,y满足 y≥e, 所以2力十q=一4，故D正确： x0,y>0, 又西十名=一号<，所以p>-1故A正确，B错说， 2 求兰的取值范周.作出(，)所 q=x1x2<一2，故C正确. 在的平面区域（如右图），y=e 7.D旅搭题意：有型+≥”+2-”+元+号 的导数：y'=e 2y 设切点坐标为：(x。,y。),由 yo =eo x0=1 f(x)=c yo=e To 2 等号当x=瓦y,w=y,x十y=2(x+w),即x:y:之：w= 所以P1o,C(合，) 厄：1：1：1时取得，因此所求最小值为巨- 2 所以的取值范周为[c,7]. 8.B根据题意， 答案：[e,7] 有a十b十c= √/a+b+c2+2(ab+bc+ca)≥ 12.解析：由题意十1=2 .y+1≥，2B·+1= √a+b+c2-ab-bc-ca=5, x2·3z·y 3x2+x2 等号当(a,b,c)=(5,0,0)x时可以取得，因此所求最小值 23.y+1=23 2V5 为5. 1-y z=85, y 1y)(+1= 2 二、填空题 9.解析：(1)当入=2时，函数 当且仅当y= x==时等号成 1 4 (x-4,x≥2， f(x)= x2-4x+3,x<2, 所以+最小值为85. TyE 显然x≥2时， 答案：8√3 不等式f(x)<0的解集为 l3.解析：由于a,b,c,d均为整数，所以ab十ac十ad+bc+bd+ {x2≤x<4;x<2时，不等式 -2 f(x)<0化为x2-4x十3<0，解得1<x<2.综上，不等式的 cd=a+b+c+d)'-a++c+d)为整数. 2 解集为(1,4). 因此只需(a+b+c+d)2-(a2+b+c2+d)>0, (2)分别作出函数y=x一4和y=x-4.x十3的图象，如图所 即a2+6+c2+d<36.原命题即为求a2+b+2+d小于 x一4，x≥A, 36的不同取值的个数. 示，函数f(x)= 恰有2个零点， x2-4x+3,x<入 由柯西不等式知(a+6+c2+d)(1+1+1+1)≥ 则入∈(1,3]U(4,十∞). (a+b+c+d)2=36, 答案：(1,4)(1,3]U(4,+∞) 因此a2+b+c2+d≥9. 10.解析：a,b∈R,ab>0, 又因为a2+b+c2+d与a+b+c十d奇偶性相同， :a+46+1≥4aE+l=4ab+ 所以a2十b+c2十d的取值必为10到34之间的偶数. ab ab ab≥2/4ab. a64, 下证a2+b+c2+d不为8的倍数： 采用反证法，若否，则a+b+c2十d=0(mod4), a2=2b2, 当且仅当 4a61即 2 此时a,b,c,d要么同为偶数要么同为奇数. 时取等号， ab' (i)a,b,c,d同为偶数：设a=2a',b=2b,c=2',d=2d. -4 此时a+b+c'+d=3,a2+6+c2+d= :。十6+的最小值为4. 4(a2+b2+c2+d2). ab 因为a+b+c2+d2与a'+b十c'+d奇偶性相同， 答案：4 所以a+62+c2+d不可能为8的倍数. 1l.解析：由clnb≥a+cnc得：clnb-cnc≥a→n≥a→ (i)a,b,c,d同为奇数： 由于奇数的平方模8同余于1，所以a+b+c2+d= 4(mod8), 407 强基数学·巅峰突破 所以a2+b十c2十d不可能为8的倍数 18.解：1)由f()=1得，g=士1，所以x=10,或x=0 1 因此a2十b+c2+d的取值必为10到34之间的偶数且不 为8的倍数。 (2)证明：结合函数图象，由 另-方面，设f(a,b,c,d)=a2+b+c2+d2, f(a)=f(b), 我们有f(2,2,1,1)=10,f(2,2,2,0)=12,f(3,2,1,0)= 知a∈(0,1)，b∈(1，+∞)， 14,f(3,3,0,0)=18,f(3,3,1,-1)=20,f(4,2,1,-1) 从而-lga=lgb,从而ab=1. =22,f(4,3,0,-1)=26,f(4,2,2,-2)=28, f(4,3,1,-2)=30,f(4,4,0,-2)=34, 华6 2 2 因而a2+b+c2+d2的取值为所有10到34之间不为8的： 令p(b)= 倍数的偶数， 古+6E1,+∞)》.任泉1<<： 因此ab+ac+ad+bc+bd十cd的不同取值为10个. “ga)-pa)=a-(1-)<0. 答案：10 14.解析：由柯西不等式知 g(b)<g(b2),g(b)在(1，十∞)上单调递增. [(a1十a,)+(a,十a3)+…+(a22o+a1)] p(b)>g(1)=2.ab>1. 2 Na1十a2ae十ag a2o20十a1 (8)运明：由已知得6=(2生艺)，则h=d+6+2ab,名十 ≥(a1十ae+…十a2o)=1, 62+2-4b=0. 且(a1十ae)+(a2十ag)+…+(a2o十a1)=2,所以 1 ◆g=是+6+2-6. a1+a2a2十ag a千a≥2， :g(3)<0,g(4)>0,g(b)在(3,4)内连续，根据零点存在性 且当a=a:=…=a:w=2020时取到学号. 定理知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零，点，即存在b,∈(3， 4),使方程g(b)=0. 答案：日 三、解答题 第十一章排列、组合与概率统计 2 15.证明：周为Va0≥上工，所以 一、选择题 b 1.C新加的两个数0,1必须是0在1之前，所以把前面数排 √)11a++ 2 =2a 列，插到01排列中，共三种.2个数时只有0,1：4个数时，把 0,1插入到01中，共三种，有一个重复，所以减1，共2种， a 0011,0101;6个数时，把前面0011,0101插入到01，共6种， 626 c 2c 同理√十a产a++c√a十6产a+b+d 1种重复，所以共5种：8个数时， 共5×3-1=14.综上，本题答案为C. 所以屏。千>2 b c 2.A由题意可得，若每人均与其他五人交换了纪念品，则共交 16.证明：2(a+b)≥(a+b)2,√2√a+b≥|a+b≥a+ 换了C=15次，又因为只进行了13次交换，因此仅有C 13=15-13=2次交换未进行. b,同理可得2√W+c≥b+c≥b+cW2√a+c≥a+c≥ ①不妨设仅有甲与乙，甲与丙没交换纪念品，则乙、丙均只交 a+c,√a+b+√+c+√2+a≥√2(a+b+c). 换了四次，甲只交换了三次，所以乙、丙均只收到4份纪念品， 17,解：由柯西不等式，得（知十30十5西）(a十号+号)≥ 所以收到4份纪念品的同学人数为2人； ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁均只 (E·+√厚+√) =(x1十x2 交换了四次，所以收到4份纪念品的同学人数为4人 综上所述，收到4份纪念品的同学数为2人或4人 +x3)=1. 故本题正确答案为A. 当x1=1,x2=0,x3=0时不等式等号成立，故欲求的最小值 3.A方法1：设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接 为1. 下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n,前n 因为(x+3x,+5)(+号+号)户 组的项数和为，卫.由题意可知， 2 a+3+5,)(6+号+) ND100,令um1>100,≥14，m∈N”,即N出现在第13组 2 吉·[a+3+5x)+(5+号+] 之后.易得第加组的所有项的和为 1-2=2”-1, =(6++6x)广≤6+6a+6,)=号 前n组的所有项的和为2二？2）-1=21一一2. 1-2 当=：=0，x=之时不等式等号成立，故欲求的最 设满足条件的N在第k十1(k∈N·,k≥13)组，且第N项为 第k十1组的第t(t∈N”)个数，第k+1组的前t项的和2一1 大值为 应与一2一k互为相反数，即2一1=k十2， 408第十章 不等式 一、选择题 A.p>-1 B.p≤-1 x>0, C.q<-2 D.2p+q=-4 1.不等式组3-x 2-x 的解集为( ) 7.若正实数x,y,,w满足x≥y≥@和x十 3+x1 2十x y≤2(z十，则”+之的最小值等于() A.(0,2) B.(0,2.5) C.(0,√6) D.(0,3) A B名 2.已知函数f)-}+m心+mmr+中的 C.1 D.前三个答案都不对 两个极值点分别为x1,x2,且x∈(0,1)， 8.若a,b,c为非负实数，且a2十b2十c2-ab x2∈(1，十o∞)，点P(m,n)表示的平面区域为D, bc-ca=25,则a十b+c的最小值为() 若函数y=log。（x十4)，(a>1)的图象上存在 A.3 B.5 区域D内的点，则实数a的取值范围是 C.7 D.以上答案都不对 ( ) 二、填空题 A.(1,3 B.(3,+∞) x-4,x≥λ， 9.已知λ∈R,函数f(x)= 当 C.(1,3) D.[3,+∞) x2-4x+3,x<入， (x-a)2,x≤0 λ=2时，不等式f（x)<0的解集 3.设f(x)= +1+a,x>0 若f(0)是f(x) 是 x 函数f(x)恰有2个零点，则入的取值范围是 的最小值，则a的取值范围为 A.[-1,2] B.[-1,0] 10.若a,b∈R,a6>0,则+46+1的最小值 C.[1,2] D.[0,2] ab 为 4.若0<x<,则2x与3sinx的大小关系是 11.已知正数a,b,c满足：5c-3a≤b≤4c-a, clnb>a十clnc,则b的取值范围 A.2x>3sin x B.2x<3sin x 0 C.2x=3sin x D.与x的取值有关 是 5.A,B均为实数，X为任意正数，A一B≤X 12.(2025·清华)已知正数x,y,之满足 恒成立，则可得 3x2+y+2=1,则y十1的最小值为 xyz A.A=B 13.已知整数a,b,c,d满足a+b十c+d=6,则 B.A<B ab+ac+ad+bc+bd+cd的正整数取值个 C.A>B 数为 D.无法确定A与B的大小关系 14.已知正实数a1,a2,…,a220满足a1十a2十…十 6.已知A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x2+ x十q<0},若A∩B=[-1,2),则以下结论 am=1,则a 十十十am2的 a1十a2a2十a3 a2020十a1 错误的是 最小值为 263 三、解答题 :17.设工1，x2,x3是非负实数，满足x1十x2十 15.已知a,b,c∈R,求证： =1,求✉+3z:+5x,)(+号+号）的 年中。+62 最小值和最大值. 18.设f(x)=|lgx|,a,b为实数，且0<a<b. (1)求方程f(x)=1的解； 16.设a,b,c∈R,求证： (2)若a,b满足f(a)=f(b),求证：①a·b a2+b+√6+c+√c2+a2≥2(a+b+c). -1@>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式 f()=2f(）所得到的关于6的方程 g(b)=0,存在b。∈(3,4)，使g(b)=0. 264