第七章 平面向量（知识讲解&例题分析）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

强基数学·巅峰突破 第七章 平面向量 >知识要点回顾 典型例题精讲 1.三角形四心的向量表示 类型一 向量的线性运算 ①O是三角形的外心台|OA|=OB|=|O心 【例1】给定平面向量(1,1)，那么平面向量 台OA2=OB2=OC2台(OA+Oi)·AB= 1-3,1+3)是将向量(1,1) 2 2 (Oi+O元)·BC=(O心+OA)·CA=0 A.顺时针旋转60°所得 ②0是三角形的垂心台OA·O B.顺时针旋转120°得 =OB.O心=O心.OA C.逆时针旋转60°所得 ③0是三角形的重心OA+O克+O心=0 D.逆时针旋转120°所得 ④O是三角形的内心台|BC|·OA+ [解析] 方法1设向量1一5,1十⑧)与向量 1cA1·Oi+1A1.O心=ò 2 2 2.向量积（外积、叉积） 1-3+1+3 2 2 1 向量a与b的外积（叉积）为c=a×b,模长为 (1,1)的夹角为0，则c0s0 2·2 2 |a×bl=|allblsin0(其中0为a与b的 夹角)， 所以=心特谷图移可知的到，+到足 c的方向既垂直a又垂直于b,且符合右手规 将向量(1,1)逆时针旋转60°所得，故选C. 则) 方法2：设将向量(1,1)逆时针旋转0可以得到 关于外积的说明 1-51+3 cos 0 -sin0「1 ,则由 2’2 sin 0 (1)a×a=0.(.0=0→sin0=0) cos 0 1 (2)a∥b台a×b=0.(a≠0，b≠0) 1-√3 2 cos 0-sin 0=1-3 2 (3)若a,b中有一个为零向量，则规定a×b=0. ,可得 解得 1+3 外积符合下列运算规律： 2 sin 0+cos 0=1+3 2 ①反交换律：a×b=一bXa. sin =3 ②若入为任何实数，(a)×b=a×(b) ,从而0=60°. =入(aXb). cosg- ③分配律：a×(b+c)=a×b+a×c, 答案]C (a+b)Xc=aXc+bXc. 【例2】 已知向量a≠e,|e=1满足：对任意 外积模的几何意义： t∈R,恒有lte-al≥e-a.则 () |a×b=|a||b|sin0,表示以a和b为邻边 A.ale B.a⊥(a-e) 的平行四边形的面积. C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e) 102 第七章平面向量 [解析]思路1，数形结合，分别作出a,e,te, e-a,根据|te-a≥e一a得到e⊥(a一e). 思路2，处理向量的模的问题，将其平方转化 60 D30°* 为数量积来解决是通性通法。 方法1：分别作出a,e, 图1 图2 te,e一a,使向量a,e有 方法2：BE·CF=(BA+AE)·(CA+AF) 相同起点，如右图所示 =BA·CA+BA·AF+A龙·CA+AE·Ai 因为在直角三角形中，直角边不大于斜边， =A它(CA-BA)+AE.AF =AE.C克+AE.AF=1×4×cos60°-1=1 所以e⊥(a-e).选C 或AE·C第+AE·A方 方法2：，t∈R,恒有a一te|≥|e-a,等价 =1×4×c0s120°-1=-3. 于|a-te|2≥|e-a|2恒成立，展开整理得： 【例4】已知△ABC中，AB:AC=3:1,D为 t2-(2a·e)t+(2a·e)-1≥0，对于任意的 BC上一点，BD:DC=2:1,AB:AD: t∈R恒成立，即△=(a·e)2-2(a·e)+1 AC=3:k:1,求k的取值范围. [解析] 由定比分点公 ≤0，(a·e-1)2≤0.又(a·e-1)2≥0， 3m 式得到 .e·(a-e)=e·a-(e)2=1-1=0, A心=专A店+号AC 所以e⊥(a-e).选C. 【例3】直角三角形ABC中，∠A=90°，A为 aD列=号1A店：+号1AC+ EF的中点，且EF与BC夹角为60°，BC= 号1a·aC1cos9 4,EF=2,则B它.CF= →=·3+号+号80s0 [解析]方法1，如图，不妨设∠C=a, B(4sin a,0),C(0,4cos a), 3cos8,0∈(0，x), E(cos(30°+a),sin(30°+a), 所以2= 9 F(cos(180°+30°+a),sin(180°+30°+a), 类型二 向量的最值 BE=(cos(30°+a)-4sina,sin(30°+a), 【例5】在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,边 C7=(cs(180°+30°+a),sin(180°+30°+a)- DC上（包含D,C)的动点P与CB延长线上（包 4cos a), 含点B)的动点Q满足DP|=BQ1,则向量 B2.CF=-cos2(30°+a)+4 sin acos(30°+a) PA与向量PQ的数量积PA·P夜的最小值是 多少？ -sin2(30°+a)-4cosa·sin(30°+a) [解析]如图建立坐标系， =-1+4sin[a-（30°+a)]=-3.（如图1) 则A(0,0),B(2,0),D(0, 当E点与F点交换位置时，BE·C疗=1. 1),设P(x,1)(0<x<2), (如图2) 则Q(2,一x),从而P才= 103 强基数学·巅峰突破 (-x,-1),P=(2-x,-x-1).于是， 3b2+4a|·|bl cos a=33,这里&为|a|与 P才·PQ=-x(2-x)-(-x-1) |b的夹角，从而有 =r-x+1=(-}+, cos&=4ab(38-a2-3b2)=- 1 2 故当x=时，(P,P攻)n- 又0°≤a≤180°，所以a=120°. 4 【例8】已知ABCD是平行四边形，且AC· 【例6】在△ABC中，M是边BC的中点，N BD2=AB4+AD,求∠A的度数. 是线段BM的中点.若∠A=于，△ABC的 [解析]因为AC=(AB+AD)2=AB2+ AD+2A克·AD, 面积为，求AM·A的最小值 BD=(AB一AD)2= [解析]由条件知，AM-?(A店+AC), AB+A)-2AB.·AD, 两式相乘，得AC·BD AN=A方+A心，故AM·AN=2(A店+ (AB2+AD+2A方·AD)·(A+AD A0·(+AC)=名3A创+C:+ 2AB·AD) =(A+A市)2-(2AB.Ad)2 4A它.A心). =A4+AD4+2A2·AD-4|A克2· 由于B=Sax=2·A·aC·smA |AD12cos2A=A市4+A市.所以 2A2·A-4|AB12·|A市12cos2A=0, 尽.1AB·|A心，所以A·AC=4, A2·AD2 1 即cosA-2AP.AD=2 进一步可得Ai·AC=|AB1·|AC1·cosA 解得c0sA=士号，从而∠A=45或135 =2,从而Ai·AN≥专(23AP·A部 【例9】 一个正四棱锥P-ABCD,侧面与底面 +1A店.AC)-1A店·1AC+号A店·AC 所成的二面角的正切为√2，M,N分别为 PD,PA的中点，求AM与BV所成角的0的 =3+1.当且仅当1A= 01=2×6 余弦值。 [解析] 设O为底面中心，K为AD的中 时，AM·AN的最小值为√3+1. 点，连接PK,PO,OK.不妨设底面边长为1， 类型三向量的夹角 【例7】已知a,b都是整数，且满足(a+|b)· 高OP=,徐随店区-生，从而-要所以 2 (a+3b)=105,(a+b)(a+3b)=33,则a 和b的夹角为多少度？ [解析]设|a+|b=m,则m(m+2|b) =105,由b1<m<10,得1b1=05-9<m, A=(A市+币. 2m2 解得m>6.又105=3×5×7，所以m=7,从而 BN=?(B+B), 有b1=105-49-4,1al=7-4=8. 所以AM.BN= 14 (a+b)(a+3b)=|a2+3|b12+4a·b=|a|2+ +A.+-市.+ 104 第七章平面向量 A户.BA+AD.BP+AD.B) AQ-号A+AC,则△ABP的面积与 A卫.B驴-PA.P克=1Xcos60°= 2, △ABQ的面积之比为多少？ AP.BA--AP.AB--2. |AB×A市 2 [解析] .S△ABP S△ABQ AD.B驴=BC.B驴=1 专位×A0 AD·BA=-AD·A克=0. A店×（号A+号AC 所以a时=+-0)=又 A店×（号A店+AC) IAMI-IBNI-3 A店×名A店+A店×AC 1 A店×号A+AxAC 所以cos0= 81 8 <告日脚A丽与丽所 3 4 A店×号AC 成的角日的余弦值为 A店XAC 6 类型五 向量与平面几何 类型四 向量积（外积） 【例12】如图，已知点G是△ABO的重心. 【例10】定义两个向量a与b (1)求GA+G第+G0: 的向量积a×b是一个向量， (2)若PQ过△ABO 它的模|a×b=|a·|b|· 的重心G,且OA=a, sin(a,b),它的方向与a和b OB=b,OP=ma, 同时垂直，且以a,b,c的顺序符合右手法则.如 00=nb, 图，在直四棱柱ABCD-EFGH中，∠BAD= 60°，AB=AD=AE=2,则(AB×AD)· 求证：+=3. m n A正= ( [解析](1)GA+G+G0=0. A.2√2 B.4√3 (2)显然Omi=号a十b.图为G是△AB0的 C.4 D.8 重心， [解析] 1ABXADI=ABI ADI sin 60 -2×2×9-2, 所以0心=Omi=}a+b.由P,G,Q三点 共线，有P亡，G衣共线，所以，有且只有一个实 A立XA市的方向与A它一致.所以 数入，使PG=λG0.而PG=O心-Op (ABXAD)·AE= AB×AD1 AElcos0°=2√3X2=4√3. =子a+b)-ma=(号-mh+3b, [答案]B G夜-00-0C=b-a+b) 【例11】如图，设P,Q为 △ABC内两点，且 =-3a+(a-号)b,所以（号-ma+b A-号A丽+号AC, =X-a+(a-专b,又因为ab不共线， 105 强基数学·巅峰突破 1 类型六向量与函数 一m= 1 , 所以 消去入，整理得 【例15】设P是函数y=x十2（x>0)的图象 1 上任意一点，过点P分别向直线y=x和y 3mm=m十m,故1+1=3. 轴作垂线，垂足分别为A,B,求P·P方 的值 【例13】在△ABC中，O是内心，证明： 1BC1·OA+|CA1·Oi+|A1·OC=0. [解析] 方法1：设P(x+2）,则 To [证明]如图 lrA :y-( 因为西，AC分别为A店， c’b y=x AC方向上的单位向量， 即my=一x+2,+2.由 x+2+2 所以向量正+AC平分 b A++》 ∠BAC,因为AO平分∠BAC,所以AO与 型+共线，所以0-西买◆ 又B(0,+吴)，所以P网=（只，-），P吃 =(-x0,0)故PA.PB=1·(-0)=-1. +%+所以0-么座4， 方法2：如图，P0十2)(x>0,则，点p 化简得(a+b+c)OA+bAB+cAC=0, aOA+6(OA+AB)+c(OA+AC)=0, 到直线x一y=0和y轴的距离分别为 所以aOA+bOB+cOC=0. -+】 结论：aOA+bOB+cOC=0曰O是△ABC 2 2.PBI-=o 的内心，其中a,b,c是三角形的三条边长， 因为O,A,P,B四点共圆，所以 【例14】已知三角形的三边a,b,c,三角形的 ∠APB=元-∠AOB=8 重心到外接圆圆心距离为d,外接圆半径 为R 故P.Pi=|PA1·|P3cos3π=-1. A 求证：a2+b2+c2+9d2=9R2. [证明]设△ABC的重心为G,外心为O, 连OA,OB,OC得∠AOB=2∠C.在△ABO中， 由余弦定理得c2=R2+R2-2R2c0s2C= 10 2R2(1-c0s2C),同理a2=2R2(1-cos2A), 说明：两种解法分别突出了向量数量积坐标 b2=2R2(1-cos2B). 运算和几何特征，这都是解答本题的基本 又由向量知识得3O心=OA+O+O心， 方法。 两边平方得 【例16】三角形ABC中任意一点O,用SA,SB, 9d2=3R2+2R2 (cos 2A+cos 2B+cos 2C). Sc分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积， 所以a2+b2+c2+9d2=9R2. 求证：SA·OA+Sg·OB+Sc·O心=0. 106 第七章平面向量 [证明]如图所示，建立坐标系， 于点P2的对称，点A2的坐标为 设1OA=x,|OB1=y,1OC1=x,∠AOC=a, A2(2+x,4十y),所以，AA2=(2,4). ∠AOB=B,∠BOC=Y, (2)因为A(2十x,4十y)在函数f(x)=lgx(x∈ 从而a十B十Y=2π， (0,3])的图象上，所以当x+2∈(0,3]时， SA·OA+SB·Oi+ 4+y=1g(2+x), Sc·OC=0 即x∈(-2,1]时，f(x)=lg(x+2)-4, 台(xcos a,xsin a)· 2yzsin Y+(ycos(a+B), 当x∈(1,4]时，x-3∈(-2,1]， sina+m)·3gsina+(g,0). f(x-3)=1g(x-3+2)-4. 2yxsin B=0 1 又f(x)是以3为周期的周期函数， 2zyscos asin +2rysin acos()+ 1 1 当x∈(1,4]时，f(x)=l1g(x-1)-4. (3)方法1：点A(x,y)关于点P1(1,2)的对称 2xyzsin B=0, 点A1(2一x,4-y),点 y=2"(n=1,2,3,）A2xA 7xysin asin 1 A1(2-x,4-y)关于 A2h-1 2xyzsin asin(a+B)=0 A 点P2(2,2)的对称点 cos asin Y+sin acos(a+B)+sin B=0, 台 A2(2+x,4+y),,点 sin asin Y++sin asin(a+B)=0 A2(2+x,4+y)关于 由于Y=2元-(a+B),所以cos asin y+ 点P3(3,23)的对称，点 sin acos(a+B)+sin B=-cos asin(a+B)+ A3(4-x,12-y),点 sin acos(a+8)+sin B=sin(-B)+sin B=0, A,-1（aa-1,bn-1）关于 sin asin y+sin asin(a+B) 点Pn(n,2”)的对称点An(an,bn), =-sin a[-sin(a+B)+sin(a+B)]=0, 其中am十am-1=2n,a1=2一x,所以 从而命题得证. 【例17】在直角坐标平面中，已知点P1(1, a,=+2+(号-(-1)1， 2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(,2"),其中 bm+bn-1=2×2”,b1=4-y,所以 n是正整数，对平面上任一点A。,记A,为A 关于点P1的对称点，A2为A,关于点P2的 6=青×2+（停-水-101， 对称点，…，An为A。1关于点Pn的对称点. 故A.(n++(合-x小-1)， (1)求向量A。A的坐标； (2)当点A。在曲线C上移动时，点A2轨迹 ×2+(传×2+（侍-y-1D) 是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为 周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)= 当n为偶数时，A,(十x,青(2-1D十y小，又 lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的 A,》.片以A不=2D 解析式； (3)对任意偶数n,用n表示向量A。A的 方法2：由题意结合图形可知AA,=AoA2十 坐标. A2A4+…+Am-2A [解析](1)设点A(x,y),A。关于点P1的 A2k-2A24=2P24-1P, 对称点A1的坐标为A1(2一x,4一y),A1关 .AA=2(P P2+PsP++P-P), 109 强基数学·巅峰突破 =2((1,2)+(1,23)+…+(1,2-1)) (2,1,5),其中a1的第2分量a1.2=1.若由n =222-.42卫 维向量组成的集合A满足以下三个条件： ①集合中含有n个n维向量作为元素；②集 类型七向量的新定义问题 合中每个元素的所有分量取0或1；③集合 【例18】设S是一些向量的集合，a∈S,如果 中任意两个元素a:,a,满足a:2=a;2=T(T a的长度不小于S中其余所有向量之和的长 为常数)且a:·a:=1.则称A为T的完美n 度，那么称a是S中的一个长向量，对于 维向量集 S={a,a2,…,an},n>2,已知S中的每一 (1)求2的完美3维向量集； 个向量都为长向量， (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明 证明：a1十a2十…十am=0 理由； [证明]记m=a1+a2十…十an,则a;≥ (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证： m-a:l, A的所有元素的第k分量和S=T. 得(a;)2≥(m-a;)2=(m)2-2m·a:+(a;)2, [解析](1)由题意知，集合A中含有3个 m·(m-2a:）≤0.若m≠0，则 元素a:(i=1,2,3),且每个元素中含有三个 m·(m-2a1)≤0，…，m·（-2am)≤0， 分量，因为a12=a22=a32=2,所以每个元素 相加得m·(m一2m)≤0，m·(n一2)m≤0， 中的三个分量中有两个取1，一个取0.所以 因为n>2,所以m=0,矛盾. a1=(1,1,0),a2=(1,0,1),a3=(0,1,1), 所以a1十a2十…十an=0. 又a1·a2=a1·a3=a2·a3=1, 所以2的完美3维向量集为A={(1,1,0), 【例19】n个空间向量，任意两个的夹角为钝 (1,0,1),(0,1,1)}. 角，求n的最大值. (2)依题意，完美4维向量集B含有4个元 [解析]不妨假定一个向量是(1,0,0)，则 素b:(i=1,2,3,4),且每个元素中含有四个 考虑其余向量与它的数量积，得到其余每个 分量，T∈{0,1,2,3,4}， 向量的x轴坐标都小于0，从而考虑剩下任 (i)当T=0时，b∈{(0,0,0,0)}，与集合中 意2个向量(x1,y1,2),(x2,y222)的积时， 元素的互异性矛盾，舍去； x1x2大于0，所以y轴和之轴组成的平面向量 (i)当T=1时，b∈{(1,0,0,0)， 之积y1y2十之1之2小于0.而易知平面向量互成 (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不满足 钝角至多有3个，所以其余空间向量至多3个， 条件③，舍去； 从而n的最大值为3+1=4. (m)当T=2时，b:∈{(1,1,0,0)， 例如向量1c0-(-21.0(3 (1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0), (0,1,0,1),(0,0,1,1)}, (2一日，一）即为特合题意的一组向量 因为(1,1,0,0)·(0,0,1,1)=0，故 2/ (1,1,0,0)与(0,0,1,1)至多有一个在B中， 【例20】定义两个n维向量a:=（x.1, 同理：(1,0,1,0)与(0,1,0,1)至多有一个在 x,2…,xm）,a=（x1xj.2…,x.m)的数量 B中，(1,0,0,1)与(0,1,1,0)至多有一个在 积a;·a)=x.1xj.1十x.2x,2十…+TinTjn B中， (i,j∈N+),a;·a:=a;2,记x.k为a;的第 故集合B中的元素个数小于4，不满足条件 个分量(k≤n且k∈N+).如三维向量a1= ①，舍去； 108 第七章平面向量 (iV)当T=3时，b:∈{(1,1,1,0)， 记Sg=x1,k十x2.k十…十xnk(k=1,2,…,n), (1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不满足 不妨设x1,1=x2.1=…=xT+11=1,xn,1=0, 条件③，舍去： x,2=xn,3=…=x,T+1=1, (V)当T=4时，b∈{(1,1,1,1)}，与集合中 下面研究c1,c2,c3,…,cT+1的前T+1个 元素的互异性矛盾，舍去； 分量中所有含1的个数. 综上所述，不存在完美4维向量集 一方面，考虑c1,c2,C3,…,cT+1中任意两个向 (3)依题意，T的完美n维向量集C含有n 量的数量积为1，故x1,x2,…,xT+1 个元素c:(i=1,2,…,n),且每个元素中含有 (j=2,3,…,T+1)中至多有1个1， n个分量，因为c2=T,所以每个元素中有T 故c1,c2,C3,…,cT+1的前T+1个分量中， 个分量为1，其余分量为0， 所有含1的个数至多有 所以S1十S2十…十Sn=nT(*),由(2)知， (T+1)+T=(2T+1)个1(**). T≠0,1，n,故2≤T<n, 另一方面，考虑c1·cm=1(i=1,2,…,T十 假设存在，使得T十1≤S.≤n,不妨设 1),故c1,c2,c,,cr+1的前T+1个分量 T+1≤S1≤n. 中，含有(T+1)+(T+1)=(2T+2)个1， （i）当S1=n时，如图，由条件③知，S:=0 与（￥￥）矛盾，不合题意. 或S,=1(i≠1)，此时S1+S2+…+S 故对任意≤n且k∈N+,S≤T,由() ≤n+(n-1)=2n-1<2n≤nT,与（￥）矛 可得Sk=T. 盾，不合题意. ●真题实战演练 1 T个1 、选择题 C2 1 T个1 1.(2010·清华)设向量a,b,满足a=|b=1, T个1 a·b=m,则|a+tb|(t∈R)的最小值为 cT+i ( 1 T个1 T个1 A.2 B.√J1+m 0 … T个1 C.1 D.√1-m2 2.(2011·清华)已知：向量a=(0,1),b= S2 ST+ (i)当T+1≤S1<n时，如图， (-》c-》m+0+x C 1 1,2 x1,T+1 T个1 (1,1),则x2+y2+2的最小值为() C2 1 x2.2 x2,T+1 T个1 A.1 T个1 D.2 CT+i c xT+1,2 布年 ZT-1.T T个1 3.(2020·清华)（多选）a≤1，|b≤1，|a+2b : T个1 +cl=|a一2bl,则|cl的最值为 0 0 0 T个1 A.最大值为4√2 B.最大值为2√⑤ S2 ST+ S, C.最小值为0 D.最小值为2 109 强基数学·巅峰突破 4.(2015·清华)△ABC的三边长是2,3,4，其 9.(2021·清华)在平面直角坐标系中，O是坐 外心为O,则OA·A官+O庐·B心+ 标原点，两定点A,B满足1OA|=OB= OC·CA= OA.OB=2,则点集{POP=λOA+uOB, A.0 B.-15 |a|+I|≤1，入，∈R}所表示的区域的面 号 D罗 积是 ( ) A.22 B.4√2 5.(2015·清华)（多选）设m,n是大于零的实数，a =(mcos a,msin a),b=(ncos B,nsin3),其中a,3 C.2√3 D.4√3 10.(浙江)已知单位向量e1,e2的夹角为60°， ∈[0.2x),定义向量a=(mcos受msim号 向量a=xe1十ve2,且1≤x≤2,1≤y≤2，设 向量a与e1的夹角为a,则cosa的最大 b=(ncos 值为 () 记0=a-3,则 A.6 A.a·a=a 4 B B.a·b=√/nncos 0 5 c n29 C.|a-b2≥4 mnsin29 二、填空题 11.(2017·北大)圆O半径为3，一条弦 D.a+b1≥4 micos号 AB=4,P为圆O上任意一点，则A立·B驴 的最大值是 6.(2017·清华)在△ABC中，AB=2,AC=3,BC 12.(2019·清华)已知△ABC为斜边AB= =4,O为三角形内心，若A0=入A丽+uBC, √2019的直角三角形，则A范·AC+BA· 则3λ十64的值为 BC+CA CB= A.1 B.2 C.3 D.4 1.(清华)a=(0,1.b=(受-2》 7.(2020·清华)（多选）设平面向量a,b,c满足 1a≤2，|b≤1，且|a-2b-c≤|a+2b,则 c=(,-》且m+b+x=(1,1). |cl的 ( 则x2+y2+之2最小值为 A.最大值为4√2 14.(2022·清华)任意四边形ABCD,AC=a, B.最大值为2√6 BD=b,(AD+BC)(AB+DC)= C.最小值为0 结果用a,b表示. 15.(全国)△ABC中，A、B、C的对边分别为 D.最小值为√② a、b、c,O是△ABC的外心，点P满足 8.(2020·清华)（多选）在△ABC中，∠A 90°，AB=1,AC=√3，点P满足 OP=OA+0店+O元，若B=3, PA PB PC =0,则 且BP·BC=4,则△ABC的面积为 IPAIPBI PCI 16.(全国)已知平面单位向量a、b、c、x,且a+b A.∠APC=120 B.∠APB=120 +c=0,记y=|x-a|+|x-b|+|x-c, C.|P1=2|PA1 D.PCI-2PB 则y的最大值为 第七章平面向量 17,(全国)已知点A清足1OA1-号，B,C是单 26.(2025北大)已知|2a-b|=a+2b|=1, 求|3a+4b的最大值 位圆O上的任意两点，则AC·BC的取值范 三、解答题 围是 27.已知四边形ABCD中，AC=l1,BD=l2, 18.(浙江)已知a,b为非零向量，且 求(A店+D心)·(BC+AD)的值. |a=a+b=1,则2a+b+b的最大 值为 19.(浙江)设平面向量a,b,c满足a=1, b=2,a-c=b-c=3,c=a+ub (,>0).若十=4，则c= 20.(河北)在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=1, 动点P在边CD上.设∠PAB=&,∠PBA= 3,则Pi:P西的最大值为 cos (a+B) 21.(河南)在平面上，AB1⊥AB2,1OB1I= 10B1-1,AP-A5+A6,若1O< 则|OA的取值范围是 22.(浙江)已知平面向量a,b,c满足a= b=2c=2,且(2c-a)·(c-b)=0,则 (a+2b)·c的最大值为 28.在三角形ABC中，D是BC边的中点，若 23.(福建)如图，点M、N AD·AC=0,则tanC-cotA的最小值是 分别在△ABC的边 多少？ M AB、AC上，且AM= xAB,AN=y AC,D 为线段BC的中点，G为线段MN与AD的 交点.若AG-3AD, 5 则时+的最小值为 24.(福建)已知I为△ABC的内心，且5IA= 4(BI+CI).记R、r分别为△ABC的外接 圆、内切圆半径，若r=15, 则R= 25.(贵州)在△ABC中，GA+GB+GC=0, GA·GB=0.则 (tan A+tan B)tan C_ tanA·tanB 强基数学·巅峰突破 29.O、A、B是平面上不共线三点，向量O月=a, 31.(2010·北大)已知向量OA与O夹角，|OA O庐=b,设P为线段AB垂直平分线上任意 =1,1Oi1=2,OP=(1-t)O月，OQ=tOB, 一点，向量O庐=p.若|a|=5,|b|=3, 0≤t≤1.P夜在t。时取得最小值，当 则p·(a一b)的值是多少？ 0<4,<号时，求夹角的取值范围。 32.(2017·清华)记OA=OAm-1+(xm,yn), 其中xyn∈Z且xn+ly=3. 30.(2019·清华)已知a=b=1,a·b=2, (1)求1OA1的最大值. (c-a)·(c-b)=0,若|d-c|=1,求|d的 (2)求|OA2o171的最小值. 最大值. 112 第七章平面向量 33.(河北)已知O是△ABC的外心，且3OA十 35.(湖南)直线族是指具有某种共同性质的直 4OB+5OC=0,求cos∠BAC的值， 线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的 直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的 每一条直线都是该曲线上某点处的切线， 且该曲线上的每一点处的切线都是该直线 族中的某条直线. (1)若圆C1:x2十y2=1是直线族m.x十ny =1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的 关系式： (2)若点P(xoy)不在直线族2：(2a一4)x+ 4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线 上，求y。的取值范围和直线族2的包络曲 线E; (3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作 曲线E的切线，l2,其交点为P.已知点 34.(湖北)若平面上的点A,(x1,y1), C(0,1),若A,B,C三点不共线，探究 A2(x2y2),A3(x3,y3),C（1,-2) ∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由. 满足1CA1|=|CA2|=|CA=5. (1)求|CA,-CA2|的最大值； (2)设向量m=(a,b),n=(c,d),定义运算 m⑧n=ac-bd.若A2A1·A2A3=0, 求OA1☒OA2+OA2☒OA3+OA3☒OA1的 取值范围.（其中O为坐标原点） 13强基数学·巅峰突破 当n为偶数时，a= ()》+，易知=-（品） =Vmc0s。=mn cos号：C选项，直接验证有， 2 十号单涧增，<a,<号脚7<a,<号，得a-1 1a-=m+w-2Vmms号≥2Vm(1-os号） ∈[-器02)进一步有6=1：踪上么= 1,n为偶数， 2,n为奇数， 4 mnsin号：D选项，直接验证有a立+b=m十n十 易知5=受+品[1-（-品门当m为%接时工。 2 mncos号>2Vm(1+cos号）=4 /mncos号.故本 号：南8<工得1-（是）门<0，即（品）广>1，无 题选BCD. 评析：定义了新概念，要仔细读题.整体上来说考点很基础， 解：当n为寺数时，了。=T+1一61=3，D-1=3m+1 只是证明中用了基本不等式 2 2 由s,<工得[1+（品）门<号中（品）广<益故> 6.C 由角平分线定理，B肥-A迟 DC AC 10g普≈16,7，所以存在正整数使得3<T,正整数n 号>BD=号BC=号.品-部 的最小值为17： 5 第七章 平面向量 号（店+B)=号（店+号BC)=号A店+号B元.则3十 一、选择题 6=3. 1.D|a+b|=√Ta+tb+2ab 评析：平面向量问题，活用角平分线定理，或者直接记住内心 的相关结论即可. =√/+1+2mt=√/(t+m)2+1-m, 7.AC由a+2b≥a-2b-cl≥|cl-|a-2bl得 所以|a十b|mn=√-m.选D. |c≤a+2bl+la-2bl,令m=a+2b,n=a-2b, 2.B由xa十b十c=(1,1)得 则|m,n分别是以a,2b为邻边的平行四边形的对角线的 +=1. √3 （y-)=1, 长，则m十n≤ Aml2+nl2 2 2a+12b∑≤8. 由于x2+y2+ 2 2 x-=1. 2 所以(m+n)mx=42,当且仅当|a=2,b|=1且a⊥b =x+y叶)y=》,换成关于x,y+y-之三个变 时得最大值.所以clms=4√2；显然a=0且b=0时lc=0. 2 所以|cmin=0.选A、C. 量，变形= 2 PA PC PB 代入x2+y+2=x2+ 8.ABCD 首先： IPAI IPCI PBI y十之=2(x-1), 两边平方得：1十1+2cos∠APC=1,所以3 +9少=父+2e-1)+号=3-+ 8 3 ∠APC=120°，同理∠APB=120°.所以P 是△ABC的费马点.作△ABC的形外正 A 3(-)广+告答套R △BCD和正△ABE.显然：P怡为AD、CE 3.BC a-26|=a+26+cc-a+26, 的交点，且D、B、E共线.由∠APB= .|c|≤|a-2b|+|a+2b|(*), 又|a-2b2+|a+2b|2=2(1a2+|2b12)≤10， ∠AD=120△APB△ABD.所以品-品-提-子 .由柯西不等式知()右≤2√5， 南丽=21P1,同理路-能-%=2.车心=2 .c2√5，当a=(0,1),b=(1,0)时取到， .综上，选A、B、C、D 若c=0,则只需a⊥b,即可符合题意 9.D由OA·OB=|OA1IOB 若|c|=0,则不需要a⊥b即可符合题意，所以选B、C cos 0, 2,3 4.D过O点作AC的垂线，垂足D 为AC中点，则O元·CA=DC· 解得c0s日=立 1 C=-21Ac=-合6.潮下 即OA和OB的夹角为60°」 根据非常基本的向量知识，P所表 两个点积的值同理得到，原式的值 示的区域为右图所示矩形 为-合a++=-婴 其面积为2X23=4√3」 评析：这类向量点积的问题，作垂线投影是经常使用的方法和技 巧，尤其是在出现了外心的向量问题当中，大家要引起重视 x+2) 10.C 由题意有cosa= ,则c0sa 5.BCDA选项，两个向量相乘应得实数，A错误；B选项，直接 √+xy+y 验证有 x2+x叶y 3 4 a.b=√m(os分os号+sin号sn号） z+zy+y (号)++1 320 参考答案与解析 又因为∈[2]，所以osa∈[]，所以 3+m+m》,即有m十≤2，故y=1x-a+x-b1十1x 4 5 cl=m+n+|x-c|≤2+2=4. 14 答案：4 二、填空题 17.解析：AC·BC=(O元-OA)·(OC-OB)=O心+ 11.解析：由于AB.BP-AB,(BO+O币)=AB.Bò+AB. OP,其中AB·BO为-8，AB·OP的最大值当AB与OP同向 2[oi+0成-⊙：-0亦-0亦-0心]=20A+C 时取到，为12，所以最大值为4. 、1 答案：4 评析：向量问题的老套路：把向量拆成两个向量的和，再做 又0≤OA+C成<OA+C<号+2=号，取等可以保 处理。 12.解析：由向量数量积的几何意义以及勾股定理，AB.A心+ 运，故所求范因为[一日]， BA.BC+CA.CB=AC+BCI*=2 019. 答案：2019 案：[日可 18.解析方法一：设a=(1,0),b=(cos0-1,sin0),则 13.解析：0十6+e=(0,x)+(-,.-名y)十 |2a+bl+|b|=√(cos0+1)'+sin'0+ (停，-名=1所以 √(cos0-1)2+sin0 9+9=1,-151-.0 =2(os号引+m2)2E → -5y=1+3(1-x),②， 2a+b=n+m,且n=m=1, 方法三：设n=a+b则a=n一m ①、②平方相加，3x2+3y2+3x2=9.x2-12x+8 所以|2a+b|+b|=|n+m|+|n-m≤ =9(z-子）+4≥4，(x+y+)m=子 √2(n+m+n-m)=√4(n'+m)=2√2. 答案：2√2 19.解析：如图所示，作OA=a,OB=b, 答案：号 O0=c, 由题意得|a-c|=|CA=3, 14,解析：向量的回路恒等式 1b-cl=1cB1=3, AB+CD=AD+CB 设直线OC与直线AB交于点P.因为 证明：AB+CD=(AD+DB)+CD=AD+(CD+DB)= c=a+b(λ>0，>0)， AD+CB 故点P在线段AB上（不含端点）， 记忆方法：首1尾2十首：尾：=首1尾：十首，尾。 又入十μ=4，结合等和线性质可知O心=4OP, 因此：(AD+BC)(AB+DC)=(AC+BD)(AC+DB》 作OG⊥AB于G,CH⊥AB于H,有CH=3OG,PH=3PG =(a-b)(a+b)=a2-b 记∠CBA=0, 或者(AC+CD+BD+DC)(AC+CB+DB+BC) ①当点G在线段AB上时，CH=3sin0, =(a-b)(a+b)=a2-b 答案：a2-b BH=AH=3cos0→0G=3CH=sm0→AG- 15.解析：由OP=OA+0B+O元，得OP-OA=OB+OC,即 √OA-OG=cosf→BG=5cosA, AP=OB+O元. 由OG+BG=OB,得sin0+25cos0=4,可解得cos0= 注意到(OB+O心)LBC,所以AP⊥BC.同理，BP⊥AC,所以 P是△ABC的垂心， 誓进西有如 40 BP.BC=(BA+AP)·BC=BA.BC,所以accos B=4, 光时，PH=子GH=是(G-BH)=号osg=8.CH= ac=8,所以SAAx=2 acsin B=25. 3sin0=子Vm 答案：2√3 16.解析：单位向量a、b、c满足a十b 点P为线段AH的中点，在线段AB上，符合题意， 十c=0,则有a,b〉=〈b,c〉=〈c, 可得CP=VPH+CF-音V属所以OC专PC- a=红，不妨设四个向量如图所 3 ②当点G在线段AB的反向延长线上时，同①方法可推得，点 示，分别为OA、OB、O元、O,X P与点A重合，矛盾 在单位圆O的AB上.设|AX1= 综上所迷，c=0C=⑧ 2 m,Bx1=n,则有m2+n2+ mn=3,故有(m十n)2=3十mn 答案： 321 强基数学·巅峰突破 20,解析：因为P.P 5=一p·P1,所以问题转化 1 cos (a+B) 1 80当且仅当，即三红日 3 所以 9 83y 为求|PA1·PB的最小值 2 由等面积法可得？DA·|PB·sin∠APB=之×3× 1 号时等号成立 1所以D·=m2AP5 所以宁+号的展小雀为智 1 当∠APB=,即sin∠APB=1时，所求最大值为-3. 答案号 答案：一3 24.解析：解法一：如图，取BC的中 21.解析：因为AB1⊥AB,AP=AB+AB,则AB,PB:为矩 点D, 形，以AB,所在直线为x轴，以AB。所在直线为y轴建立 依题意，有5A=一4（店+心） 平面直角坐标系，如下图所示： =-8D 所以A、I、D三点共线，AB= B P(m,n) AC.由r=ID=15,知1A=24. 70(x,y) 作IE⊥AB于E,则IE=ID=15, Sn∠BAD=只=音，os∠BAD=便 ,tan∠BAD 8 √0，所以BC=2BD=2AD·an∠BAD=2X39X 5 5 Bm √39 10√/39. 设AB,=m,AB,=1,O(x,y) 则A(0,0),B1(m,0),B2(0,n),P(m,n).因为1OB1= 又m∠BAC=m2∠BAD-2X音×-5国 8 32 以八梦T释--1- 1OB21=1, 所以2R= m2ac=10V丽X2-64,R=2. BC 5√39 x2+(y-n)2=1 (y-n)-1-x2. 解法二：依题意，有5A+4店+4元=0. 因为0<号，即(x-m)+(y-)<}由以上两式 由三角形内心的向量表示：若a,b、c分别为△ABC的内角 A、B,C的对边，1为△ABC的内心，则aIA+bB+c1亡- 可得1-x2+1-少< 0.可得a:b:c=5:4:4,设a=10k,则b=c=8k. 即x+y>子，因为(-m)≥0，(-n)≥0，即1-y≥ 作ADLBC于D,则AD=V丽&，SA=号×BCX AD- 0,1-x≥0. 5V39k. 所以y<1x<1,则x+y≤<2.综上可知子<x+<2, 又r=15,S=3(AB十BC+CA)r=13,因北，k 因为1O1=+,所以9<104≤2，即 13×15=√39. 5√39 IoA1∈(E] 又nB=8-厘，所以2R=品B58V丽X AB 8 答案：(5万 8=64,R=32。 √/39 答案：32 22.解析：(a+2b)·c≤|a十2b1·|c=√a+4b+4a·b≤ 25.解析：设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c. w4+16+4a·b=6, 由GA+GB+GC=0,GA·GB= 当且仅当a=b=2c时取得最大值. 0,知G为△ABC的重心， 答案：6 又GA⊥GB. 23.解析：依题意有： GA+GB=, AG=多A市=是·2(A店+A心)=品(Ai+AN) 所以（合6）+G=(), =+不 (2GB)+GA= 3 因为M.C、N三点共线，所以8+品，=1，所以日 得到a2+b=5c.故： (tan A+tan B)tan C(sin Acos B+cos Asin B)sin C tanA·tanB sin Asin Bcos C 由柯西不等式知，[()+（号）门·[+（侵）门 sinC 2abc 2c2 sin Asin Beos C ab (a+6c)2 (位1+号)广-(+)广=g 答案：日 322 参考答案与解析 26.解析：由13a+4b1= 11(a+2b)+2(2a-b) 注意到W√+y≤|x|+|y|=3成立， 11a+2b+212a-b1|=13 所以OA的最大值为9，在x1=x=x=3,y=y:=y= 5 0的时候，最值可取到. 当且仅当a+2b,2a-b同向时取等号，故|3a+4b的最大 (2)|OA017|的最小值为1. 位为吕 一方面，令x1=1,y1=2x2=-2,y2=-1;x3=1y=-2, 答案：号 |OA|取到1.在|OA,|的基础之上， 令x4=1,y=2；x=-1,y=-2(即AA=0), 三、解答题 27.解：(AB+DC)·(AD+BC)=AB.AD+AB.Bt+D元. x6=1,y%=2;x,=-1,y,=-2(即AA,=0),…,2o16= AD+D元.BC= 1,2o16=2;2o1m=-1,217=一2（即Ao1A20n=0).故在这种 AB.AD-Bi.BC-D元.Di+Ci.C成=AB·1AD1· 情况下，|OA17|=1.另一方面，我们证明|OA:1,|不可能 cos∠BAD-IBi1·IBC1·cos∠ABC-IDI·IDi|. 小于1，即说明|OA1,|不可能为0. cos∠CDA+ICD1·ICi|·cos∠DCB A御+A:-B励A+成-衣 若|OA1,|=0,则1十x十…+x2o1=1十y2+…+yo17 =0,而飞十x十…十212十十2十…十21？=0.可是根据 D心+Di-ACD+C-励 x1十y=3,我们推出x十y1是奇数，于是十x2十… 2 2 十x201?十y1十y2+…+y2o1,=(x1+y)十(a十y2)+…十 =|AC2-Bd12=片-. (x21,十y1)应该也是奇数(2017个奇数相加还是奇数)， 28.解：如图取AB的中点E, 矛盾！ 则DE∥AC,∠ADE=90°， 评析：这是一个结合了向量、不等式和组合知识的综合题，问 ∠DAE=A-90°， 题上手的方式应当是从简单情况处寻找OA最值的规律. 记AC=b,AD=m,则tanC=B 33.解：设△ABC的外接圆半径r=1,由已知得3OA=一4OB an(A-90）=2 b b -cot A= ,所以tanC-cotA 27n 50花，两边平方得O店.0=-手.同理可得O1.0心- 公+品>，当且仅当m=号6时等号成立，故amC 2 是.0i.0i=0. cotA的最小值是√②. 所以AB·AC=(OB-OA)·(O元-OA)=OB·O元- 29.解：如图，QP是线段AB 的垂直平分线，因为O oi0d-oi.0i+0i=春 =O成+Q,O= 合a+b,办1i,所 故有c=(0心-Oi)=2-2·(-是)=9 以p·(a-b)=(O0+ 所以cos∠BAC= AB.A花 /10 ·√厚 10 Q)·i-0.Bi+Q,i=号(a+b)·(a-b) 2(a-b1)=8. i 34.解：1)因为1CA-CA:|≤|CA|+1CA|=25, 30.解：由条件知c-a时=1c小-2c.a+b+3 等号当且仅当向量CA与CA:反向共线时成立，所以 2 2 |CA,-CA|的最大值为25. (e-(c-6)+=a<e+1<+ 2 (2)由于|CA|=|CA|=|CA|=5,所以点A,A,A 3=3士5，最大值里然可以取到. 在以C为圆心，√5为半径的圆上 2 2 又因为AA·AA=0,所以A1A为圆的直径，则点C为 31.解：不妨设OA,OB夹角为a,则|OP|=1-t,|OQ=2t, A1A的中点. 令g(t)=|PQ1=(1-t)2+4t2-2·(1-t)·2 tcos a= 所以OA⑧OA,+OA,☒OA+OA⑧0A,=x1z-yy+ (5+4cosa)t+(-2-4cosa)t+1.其对称轴为 x2x3一y2为+x3x1-y3y1① 1=牛品而f)=计器在(-是+)上单调递 因为点C为A1A,的中点，所以x1+x3=2,y1+y=-4, 培成-1丰8<分事0计分时， 代入式①可得原式=2+4y:十x1-M=2x+4y十 x1(2-x1)-y1(-4-y1) =2x,+42-z+21+yi+4y1② 因为|CA|=|CA,|=5, 当-1≤十2cos<0时，g()在[0,1门上单调递增，于是6 5+4cos a 所以4一1)+(0+2)=5 =0.不合题意.于是夹角的范国为（受，） ,-1)+(4+2)=5可得-z+2红，=+ ≥-4， 32.解：1)|OA|=|OA+AA+AA|≤1OA1+1AA|+ 再代入式②可化简为：2x2十4y+2(一x+2x1),且-8≤ |AA|=√i++√++√+. 2(-x+2x1)≤2. 323 强基数学·巅峰突破 设x2=1+W5cosa,y2=-2+√5sina, 同理c.市-(+1)(+1) 则2.x:+4y:=-6+25cosa+4V5sina∈[-16,4]. 故0A,⑧0A+OA☒0A,+OA⑧0A,=2x+4+2(- 所以 CA.CP (任+(+） +2x1)∈[-24,6]. |CA·ICP| 35.解：(1)由定义可知，mx十ny=1与x2+y=1相切，则 1c(+1) 圆C1的圆心(0,0)到直线m.x+ny=1的距离等于1，则 (+ ci.C币 (+)(华+) d= =1,m2+n2=1. √m2+n2 1c1·c1 1c1(+1) (2)点P(xy)不在直线族2：(2a-4)x+4y+(a-2) =0(a∈R)的任意一条直线上， (12+1） 4 所以无论a取何值时，(2a-4)x。十4y。十(a-2)2=0无解. CA.CP CB.CP CPI 将(2a-4)x。十4y。+(a-2)=0整理成关于a的一元二次 1CA·1d币可1c,市可得 ,即 方程， cos∠PCA=cos∠PCB,所以∠PCA=∠PCB成立. 方法二：过A,B分别作准线的 即a2+(2x。-4)a+(4+4y6-4)=0. 垂线AA',BB,连接A'P,BP, 若该方程无解，则△=(2x。一4)2一4(4十4y,-4.x。)<0,即 如图所示：则A'(xA,-1),因 证明：在=苦上任取一成Q(等)y= 年在该点处的 -1-1=-2 切线斜率为=受， 显然km·kAC=-1,又由抛物线定义得AA'=AC,故 于是可以得到y=苦在Q(2千)点处的切线方程为：y PA为线段A'C的中垂线，得到PA'=PC,即∠PA'A =∠PCA. 同理可知∠PB'B=∠PCB,PB=PC,所以PA'=PC PB',即∠PA'B'=∠PB'A'.则∠PA'A=∠PA'B'+90 即-2x1x+4y+x=0.令直线族2：(2a-4)x+4y+ =∠PB'A'+90°=∠PB'B (a-2)2=0中2a-4=-2x1, 所以∠PCA=∠PCB成立 则直线为一2x1x十4y十x=0,所以该曲线上的每一点处的 切线都是该直线族中的某条直线， 第八章立体几何 而对任意a∈R,(2a-4)x十4y十(a-2)2=0都是抛物线 在点(2-a,2-))处的切线. 一、选择题 1.A即动点的位置到两个点的张角为定角，即使在空间中，也 所以直线族0的包络曲线E为y=二 不难看出M的轨迹是一个圆. (3)方法1：已知C(0,1),设A(xy),B(), 2.B如图，BC⊥a,n∥n,AB与平面a的夹角为牙，即∠BAC 则Ci=-1,成=(y-1D.11=草+1 =45,∠BAD= 1C=琴+1： 由三面角公式：cos∠CAB·cos∠CAD=cos∠BAD, 由2)知y=千在点A()处的初线方程为y=号： w7·m∠CD-as号m∠CD- →∠CAD= 2 (注意：平面CAD⊥平面BAD) 同理y=苦在点B(92)处的切线方程为y=号 2 联立 可得P()所以 B =(- 3.B本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分 4 要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假 因此c.市=·()+(-件- 设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面 角可确定其他要素，如正四棱锥的高等，然后我们用两种方 手+要+语+1=(+)(+1) 法，一种是建立坐标系，另一种是平移，平移其中一条线段与 另一条在一起。 324