2026年湖南省长沙市中雅培粹学校二模数学试题

2026年上学期初三第二次模拟检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合 题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( 2.如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是( 主视方向 A D 3.2026年国内新能源风电项目稳步落地，某海上风电场全年累计清洁发电量达到 8620000000千瓦时，将数据8620000000用科学记数法表示为() A.86.2×108 B.8.62×109 C.8.62×108 D.0.862×1010 4.下列运算正确的是（) A.5+V5=V8B.x6÷x3=x2 c.V5x3=15 D.(a3)4=a7 5.某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表： 年龄/岁 农 13 14 15 16 人数 4 2 则这个小组成员年龄数据的中位数是( A.13 B.14 C.2 D.3 6.一次函数y=-5x+4的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n,∠1=15°，则∠2=() A.45° B.35 C.20° D.15° 8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E,若OE=2,∠ACB=45°，则AB= () A.2 B.√2 C.2W2 D.4 第1页共4页 V(m) 60°△ 0 1.8 pkg/m3） 第7题图 第8题图 第10题图 第15题图 9.《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人 分8斗，还差6斗。设一共有x名农户，下列方程符合题意的是() A.6x-4=8x+6B.6x+4=8x-6C.6x+4=8x+6D.6x-4=8x-6 10.魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多 边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的 近似值为3.1416.圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的 面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可 得π的估计值为() A.3 B.3V5 C.25 D.2W2 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.因式分解：m2-9n2= 12.己知n是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式n2-n-2026的值为 l3.圆锥的底面直径为6cm,母线长为8cm,则该圆锥的侧面积是 cm2 14.为了解某校学生参与课后服务的情况，从该校全体2400名学生中，随机调查了80名学 生，统计结果显示有12名学生未参与课后服务。由此，估计该校全体学生中，未参与课后 服务的学生有 名 15.已知一定质量的氧气的体积V(m3)是密度p(kgm)的反比例函数，其图象如图所示， 则当p=1.5kgm3时的氧气的体积V= 16.2026年4月23日是第31个世界读书日.为响应“共促全民阅读，共建书香社会"的号召， 小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量 足够多)，相互分享阅读某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有 本书籍， 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第 22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.计算：-12026+3tan30°-V27+23-3到 第2页共4页 3(x-1)≤1+2x① 18.解不等式组 x+3>+3 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来， 2 111 4-3-2-101234 19.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为 圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M,交BC于点N,分别 D 以点M,N为圆心，大于二MN的长为半径画弧，两弧在 ∠ABC的内部相交于点D,画射线BD,连接AC. (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若∠CAB=50°，求∠CBD的度数. 20.某校组织学生开展了“诵经典诗文，抒家国情怀”竞赛活动.竞赛项目有：A经典背诵、B 诗文解读、C知识抢答、D即兴抒怀学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学 生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请 你根据图中信息解答下列问题： 学生参加竞赛项目的条形统计图 学生参加竞赛项目的扇形统计图 人数 24 21 18 D项目 (1)本次被调查的学生共有名： (2)在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，并把条形统计图补充完整： (3)从本次被调查的甲、乙、丙、丁这四名学生中，随机抽出2名同学去做风采展示代表， 请用列表或画树状图的方法求出恰好甲和乙被抽中的概率. 21.2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空.航天主题周边商品 随之迎来热销某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖每个飞船模型的进价 是纪念徽章进价的1.5倍. (1)已知商店用1200元购进的飞船模型数量，比用1200元购进纪念徽章的数量少20个. 求纪念微章和飞船模型每个的进价分别是多少元？ (2)商店计划再次购进这两款周边共300个，进货总资金不超过8100元，求最多能购进多 少个飞船模型？ 22.如图所示，在□ABCD中，BF⊥AD于F,BE⊥CD于E,且 BF=BE. (1)求证：□ABCD为菱形； (2)若∠D=120°，AF=3cm,求☐ABCD的面积. 第3页共4页 23.某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程 人员为测量宣传牌AB的高度，他站在距离办公楼底部E处6 米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测 得办公楼窗户D处的仰角为30(A、B、D、E在同一直线 上).然后，工程人员沿坡度i=1:1.5的斜坡从C走到F处， 45 此时DF正好与地面CE平行. D (1)求DE的长度（结果保留根号）： 30 (2)若工程人员在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°， 求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，V2≈1.41，V5≈1.73） 24.如图，四边形ABCD内接于圆O,对角线AC,BD交于点E.其中AB=AD, ∠BCD=90°，BC<CD. (1)填空：①∠BCA= ;②BECE :③BC+DC AE DE AC (2)若四边形ABCD的面积为25，求点A到CD的距离； (3)若圆0的半径为1，点1为△BCD的内心，若O1= 3，求BE 的值. DE 备用图 25.平面直角坐标系中，若函数图象上存在点P(x,y),其坐标满足2x+y巾=k(k为常 数且k>0),则称此函数为“k-定周函数”，点P为“k-定周点” (1)在下列关于x的函数中，是“2-定周函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”， 否则请打“×”. 4 ①y=2x+1()；②y=- ( )；③y=-x2+2( (2)已知二次函数y=x2-2ax+a2+a是“8-定周函数”，求a的取值范围； (3)已知点A,B是直线y=一x- =1x-5上的两个“6-定周点”.问：在第一象限内是否存 3 3 在“6-定周点”P,使得∠APB度数最大？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在， 请说明理由. 第4页共4页 2026年上学期初三第二次模拟检测答案 数学科目 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B A D B B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.(m+3n)(m-3n) 12.-2024 13.24π 14.360 15.6 16.4 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第 22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.解：原式=-1+√3-35+2√5-3 4分 =-46分 18.解：解不等式①得：X≤42分 解不等式②得：X>-3… 4分 .此不等式组的解集为一3<X≤45分 6分 19.解：(1)证明：由题意得：BN=BM,DN=DM,BD=BD ∴.△BND≡△BMD(SSS).… 2分 ∴∠CBD=∠ABD .BD平分∠ABC3分 (2).AB是半圆O的直径 .∠ACB=90°… 4分 ,∠CAB=509 .∠ABC=90°-∠CAB=90°-50°=40°… 5分 .BD平分∠ABC ÷∠CBD=∠ABC=2x40°=20 1 即∠CBD的度数为20°. … .6分 第1页共6页 20.解：(1)60： 2分 (2)90°… 3分 补全统计图如下： 学生参加竞赛项目的条形统计图 人数 24 21 18 15 12 9 6 3 0 A B 项目 4分 (3)根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) 6分 由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好甲 和乙被抽中的情况有2种. 7分 则恰好甲和乙被抽中的概率是2=1 126 8分 21.解：(1)设每个纪念徽章进价x元，则每个飞船模型进价1.5x元. 由题意得： 1200 -20= 1200 .5x 1分 解得：x=20 02 经检验，x=20是原方程的解且符合题意.… 3分 .1.5x=1.5×20=30 答：每个纪念徽章进价20元，则每个飞船模型进价30元.。 4分 (2)设购进飞船模型y个，则购进纪念徽章(300-y)个。 由题意得：20(300-y)+30y≤81006分 解得：y≤210. 7分 第2页共6页 答：最多能购进210个飞船模型.8分 22.解：（1) ,四边形ABCD是平行四边形 .∠A=∠C ,BF⊥AD,BE⊥CD ∴.∠BFA=∠BEC=90° .BF=BE ∴.△AFB兰△CEB(AAS) ..AB=BC .☐ABCD是菱形.4分 (2).在菱形ABCD中，∠D=120° ∴.∠A=60 在REAABF中，AB=o手6，BF=w3E 3 S菱形ABCD=6X3V3=18V3cm2.9分 23.解：(1)在RtACDE中，CE=6,∠DCE=30° .DE=CE.tan∠DCE=6×tan30°=2V3m 答：DE长为2√3m.… 4分 (2)过F作FG⊥CE于G .CF的坡度为1：1.5 .CG=1.5FG=1.5X2V3=3V3m.5分 .FD=GE =CG+CE=(3v3+6)m................. 6分 在RtAAFD中，∠AFD=45° .AD=FD·tan∠AFD=（3V3+6)×tan45°=(3V3+6)m.7分 在RtABCE中，CE=6,∠BCE=60 .BE=CE,tan60°=6V3m8分 AB AD DE-BE 3V3+6+2V3-6V34.3m........ 9分 答：宣传牌的高度AB约为4.3m. 24.解：(1)①45°；②0，③V2.3分 (2)如图，过A作AH⊥CD于H,过A作AF⊥CB于F H D 第3页共6页 四边形ABCD是圆内接四边形 ∴.∠ADH+∠ABC=180° .∠FBA+∠ABC=180° ∴.LFBA=∠ADH :AH⊥CD,AF⊥CB ∴.∠F=∠AHD .'AB=AD .△AFB兰△AHD(AAS) ∴.AF=AH .∠BCD=F=∠AHD=90° ∴.四边形AHCF是矩形 又.AF=AH ∴.四边形AHCF是正方形 :S四边形ABcD=SE方MHCF=25 .AH=V25=56分 (3)如图，过I作IF⊥BD,以I为圆心，IF为半径作△BCD的内切圆I,并与BC、CD分别 切于G、H,连接ID B 设DH=x,IH=r 由切线长定理，DH=DF=x ,圆0的半径为1 ..0F=DF-1=x-1 在Rt△FI0中：(x-1)2+r2=0I2 :01=号 “02=月 .(x-102+2=号① 由切线长定理，FB=BG=2一X ..BC=2-x+r 在Rt△BCD中：(x+r)2+(2-x+r)2=22② 由0②得：r=}x=342 3 第4页共6页 CD=4+2 3 BC=42 3 .'AB=AD ∴.∠BCA=∠DCA 器-器=22 7 10分 25.解：(1)①：②X;③X;3分 (2),二次函数y=x2-2ax+a2+a=(x-a)2+a ∴顶点坐标为(a,a) .顶点在直线y=光上运动4分 ①如图1，当抛物线y=x2-2ax+a2+a与直线y=-x+4相切时，联立解析式得： x2-(2a-1)x+a2+a-4=0 ∴.△=(2a-1)2-4(a2+a-4)=-8a+17=0 17 解得：a= P 5分 图1 图2 ②如图2，当a<-4,且抛物线y=x2-2ax+a2+a经过(-4,0)时， 可得：a2+9a+16=0解得：a=二9±匝 2 a<-4 .a= -9-17 2 6分 综上所述，a的取值范围为9-V7sg<17 2 ≤a≤ 8 第5页共6页 (3),点A,B均是直线y= 1x-三上的两个“6-定周点”， 3x-3 y=-x+3 x=-1 由15得： ∴.点A坐标为(-1，-2) y=3x-3 y=-2 y=x-3 [x=2 由15得： ∴.点B坐标为(2，-1) y=3x-3 y=-1 15 令直线y=-x+3与直线y=二x- 3 的交点为点M 3 ( 7 y=-x+3 X=- 联立 2 1 得： y=x-3 点M坐标为(，- 2’- 3 y=- 2 如图，当△APB的外接圆与直线y=一x+3相切于点P时，∠APB度数最大 此时由切割线定理得：PM2=MB●MA 设点P的坐标为(m,-m+3) .2m2-14m+ 49V103V10 222 化简得：2m2-14m+17=0 解得：m=±V5 2 又.0<m<3 7-W15 ∴.m= 2 10分 个y 6 以 第6页共6页