专题4.3 三角函数的图像讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图像专题，整合图像基础、单调性、平移伸缩、解析式求解、奇偶性、对称性及最值等核心考点，按“性质梳理-变换应用-综合突破”逻辑架构知识，通过考点精讲、方法归纳、真题示例与分层练习环节，帮助学生构建知识网络，突破图像变换与性质应用难点。 讲义突出“数学思维”与“空间观念”培养，创新采用对比教学法，如在图像平移中对比先平移后伸缩与先伸缩后平移的差异，引导学生掌握变换本质。设置三级习题配合例题解析，高效突破高频考点，既提升学生解题能力，又为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题4.3 三角函数的图像讲义 4.3.1 三角函数的图像基础 三角函数的图像和性质 1.正弦函数：. （1）定义域：x∈R.（2）值域：[-1,1].（3）周期：T=2π.（4）奇偶性：奇函数. （5）最值：当时，.当时，. （6）单调性：单调递增区间：，，单调递减区间：，. （7）对称性：对称轴方程：，对称中心：. 2.余弦函数：. （1）定义域：x∈R.（2）值域：[-1,1].（3）周期：T=2π.（4）奇偶性：偶函数. （5）最值：当时，.当时，. （6）单调性：单调递增区间：，，单调递减区间：，. （7）对称性：对称轴方程：，对称中心：. 3.正切函数：. （1）定义域：.（2）值域：R.（3）周期：T=π.（4）奇偶性：奇函数. （5）最值：无.（6）单调性：单调递增区间：， . （7）对称性：无对称轴方程，对称中心：. 例1.当时，曲线与的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 例2.函数在区间的简图是( ) A B C D 例3.下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在 x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 例4.在内，使成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 1.根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0，2π]． 2.函数，的简图是( ) A．B． C．D． 3.函数，的简图是( ) A．B．C．D． 4.（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( ) A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴 5.函数在区间上的简图是( ) A．B． C．D． 6.若，则( ) A. B. C. D. 7.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　) 8.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) 4.3.2 三角函数的单调性 1.对于 ①求增区间：令，然后解出不等式，得到增区间. ②求减区间：令，然后解出不等式，得到增区间. 2.对于 ①求增区间：令，然后解出不等式，得到增区间. ②求减区间：令，然后解出不等式，得到增区间. 例1.求函数的单调递增区间. 例2.求函数的单调递减区间. 例3.求函数的单调递增区间. 例4.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 例5.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 例6.设函数的最小正周期为，且，则（ ） A.在单调递减 B.在单调递减 C.在单调递增 D.在单调递增 1.求函数的单调递减区间. 2.求函数在区间上的单调递增区间. 3.已知函数，则（ ） A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递增 4.函数为增函数的区间是（ ） A. B. C. D. 5.函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 6.函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D. 7.函数在下面哪个区间内是增函数（ ） A. B. C. D. 8.函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D. 9.函数，则下列选项正确的是（ ） A.在上递增，在上递减 B.在上递增，在上递减 C.在上递增，在上递减 D.在上递增，在上递减 10.已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到. 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.若函数在区间上单调递增，且在区间上单调递减，求的值. 12.若函数在区间上单调递减，求正数的取值范围. 4.3.3 三角函数的图像平移和伸缩 1.对于函数：（A>0,>0）有：振幅A，周期，初相，相位， 频率. 2.函数的平移 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的 图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的 图像就是的图像. 3.周期 ①（A≠0,≠0）的周期. ②（A≠0,≠0）的周期. ③（A≠0,≠0）的周期. 例1.函数y＝sin（x）的图象可由函数y＝sin的图象（　　） A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 例2.把函数图像上所有的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( ) A. B. C. D. 例3.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( ) A. B. C. D. 例4.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 1.把函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左 平移个单位长度，得到函数y＝sinx的图象，则f（x）＝（　　） A． B． C． D． 2.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所 得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( ) A. B. C. D. 4.为得到函数的图像，只需将函数的图像( ) A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 5.要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 6.为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 7.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 8.将的图像按向量平移，则平移后所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 9.函数的图像为， ①图像关于直线对称； ②函数在区间内是增函数； ③由的图像向右平移个单位长度可以得到图像. 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知函数，x∈R． （1）用五点法作出它的简图； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 4.3.4 已知图像求解析式 结合三角函数的图像和性质，根据题意所给（A>0,>0）的图像，求出函数解析式. 例1.函数的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 例2.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A. B. C. D. 例3.若函数的图象(部分)如图所示，则和的取值是( ) A. B. C. D. 例4.设函数，其中.若，且的最小正周期大于，则( ) A. B. C. D. 1.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如下图所示，则（　　） A． B． C． D． 2.函数的部分图象如图，则( ) A. B. C. D. 3.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A. B. C. D. 4.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( ) · A. B. C. D. 5.函数的部分图象如图所示，则( ) · A. B. C. D. 6.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象．若，求g（x）的值域． 7.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中 f（x）的图象与x轴的一个交点的横坐标为． （1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 8.函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示： （1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间； （2）求函数f（x）在[0，]上的值域． 4.3.5 三角函数的奇偶性 1.函数 （1）若为偶函数，则；（2）若为奇函数，则. 2.函数 （1）若为偶函数，则；（2）若为奇函数，则. 3.函数若为奇函数，则. 例1.函数是偶函数，求的一个可取数值（）. 例2.若是奇函数，求最小正数取值. 例3.是奇函数，求的一个值. 例4.是奇函数，，求. 例5.已知，是偶函数，求满足关系式. 例6.已知函数，将图像向右平移个单位后得到的函数为偶函数，求正整数的最小值. 1.函数为奇函数，求的集合. 2.是奇函数，，，求. 3.函数是上的偶函数，则的值是（ ） A.0 B. C. D. 4.函数是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 5.将函数的图象沿向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C.0 D. 6.已知函数，则是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 7.函数是（ ） A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2 C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为 8.若函数，则是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 9.已知函数(为常数，)的图象关于对称，则函数是（ ） A.偶函数且它的图象关于点对称 B.偶函数且它的图象关于点对称 C.奇函数且它的图象关于点对称 D.奇函数且它的图象关于点对称 4.3.6 三角函数的对称性 1.设A>0,>0. （1）对于 ①对称轴：当，时，的对称轴为，此时. ②对称中心：当，时，的对称中心为，此时. （2）对于 ①对称轴：当，时，的对称轴为，此时. ②对称中心：当，时，的对称中心为，此时. 2.对于 ①对称轴：无对称轴. ②对称中心：当，时，的对称中心为. 例1.已知，是一条对称轴，求最小正整数值. 例2.函数的一个对称中心为，求最小的值. 例3.下列函数的对称性描述正确的是 . ①对称轴为； ②对称中心； ③对称中心； ④对称中心. 例4.若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为 （　　） A． B． C． D． 1.求函数的对称轴方程. 2.求的一个对称中心横坐标. 3.求所有对称轴. 4.求的一个对称中心. 5.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 6.已知函数的最小正周期为，则该函数的图像( ) A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称 7.已知函数，则下列判断正确的是( ) A.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 B.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 C.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 D.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 8.记函数的最小正周期为.若，且的图像关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 9.设函数，则下列结论错误的是（ ） A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点为 D.在单调递减 10.已知函数，下列结论错误的是（ ） A.的图像关于点中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D.既是奇函数，又是周期函数 4.3.7 三角函数的最值 常见三角函数的最值方法 1.模型 设，化为一次函数在上的最值求解. 2.模型 用辅助角公式化为，再求最值. 3.或或模型 设，化为二次函数在闭区间上的最值求解. 4. 设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解. 5.与模型 根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解务必注意或的范围. 6.导数法：求导判断增减性，再求最值. 例1.求的最大值与最小值. 例2.求的值域. 例3.，求函数值域. 例4.求函数的值域. 例5.求函数的值域. 例6.求函数的值域. 例7.，求该函数的最值. 1.，则最大值为 ，最小值为 . 2.，则最大值为 ，最小值为 . 3.已知函数，则函数的值域为 . 4.已知函数，则函数的值域为 . 5.已知函数，则函数值域为 . 6.已知函数，则函数的最大值为 ，最小值为 . 7.已知函数，则函数的最大值为 ，最小值为 . 8.已知函数,则（ ） A.的最小正周期为,最大值为 B.的最小正周期为,最大值为 C.的最小正周期为,最大值为 D.的最小正周期为,最大值为 9.函数的最大值为（ ） A. B.1 C. D. 10.函数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 11.函数的值域是（ ） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角函数的图像讲义 4.3.1 三角函数的图像基础 三角函数的图像和性质 1.正弦函数：. （1）定义域：x∈R.（2）值域：[-1,1].（3）周期：T=2π.（4）奇偶性：奇函数. （5）最值：当时，.当时，. （6）单调性：单调递增区间：，，单调递减区间：，. （7）对称性：对称轴方程：，对称中心：. 2.余弦函数：. （1）定义域：x∈R.（2）值域：[-1,1].（3）周期：T=2π.（4）奇偶性：偶函数. （5）最值：当时，.当时，. （6）单调性：单调递增区间：，，单调递减区间：，. （7）对称性：对称轴方程：，对称中心：. 3.正切函数：. （1）定义域：.（2）值域：R.（3）周期：T=π.（4）奇偶性：奇函数. （5）最值：无.（6）单调性：单调递增区间：， . （7）对称性：无对称轴方程，对称中心：. 例1.当时，曲线与的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解：因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点，故选：C. 例2.函数在区间的简图是( ) A B C D 解：因为，所以排除AC.由得，所以可知函数在上递减，在上递增，所以排除B，故选：D. 例3.下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在 x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 解：y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③.故选：D. 例4.在内，使成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：画出函数图象，如图所示：根据图象知，故选：C. 1.根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0，2π]． 解：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为. 2.函数，的简图是( ) A．B． C．D． 解：函数，，因时，，即原函数图象过原点，排除选项A、C；又当时，，则，即函数，的图象在轴下方，排除选项B，选项D符合要求.故选：D. 3.函数，的简图是( ) A．B．C．D． 解：函数的周期是，排除AB，又时，，排除C.只有D满足.故选：D. 4.（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( ) A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴 解：A选项，令，解得，即为零点；令，解得，即为零点.显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，的对称轴满足，的对称轴满足.显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC. 5.函数在区间上的简图是( ) A．B． C．D． 解：因为，，所以排除BD； 由，得； 由，得. 所以可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以排除A.故选：C. 6.若，则( ) A. B. C. D. 解：，，， ∵，在区间单调递增， ∴，即.故选：A. 7.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(　　) 解：由题意得.故选：D. 8.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) 解：当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；当x＝π时，y＝0； 当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x，且－2<y<0.故选：D. 4.3.2 三角函数的单调性 1.对于 ①求增区间：令，然后解出不等式，得到增区间. ②求减区间：令，然后解出不等式，得到增区间. 2.对于 ①求增区间：令，然后解出不等式，得到增区间. ②求减区间：令，然后解出不等式，得到增区间. 例1.求函数的单调递增区间. 解：令，则. 正弦函数的增区间为. 代入：， 解得：. 故函数的单调递增区间为. 例2.求函数的单调递减区间. 解：令，则. 余弦函数的减区间为. 代入：， 解得：. 故函数的单调递减区间为. 例3.求函数的单调递增区间. 解：先利用诱导公式化简：. 函数的增区间，等价于的减区间. 正弦函数的减区间为：，解得：， 所以函数的单调递增区间为. 例4.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 解：，由题设的周期为，. 由得，.故选C. 例5.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 解：因为对任意恒成立，所以， 则或. 当时，，则（舍去）； 当时，，则，符合题意， 即解得，即的单调递增区间是.故选C. 例6.设函数的最小正周期为，且，则（ ） A.在单调递减 B.在单调递减 C.在单调递增 D.在单调递增 解：由题意， 因为函数的最小正周期为，且， 所以，且，解得， ，又，所以，所以， 当时，，故在上单调递减，故A正确，C错误； 当时，，故在上不单调，故B、D错误.故选：A. 1.求函数的单调递减区间. 解：先化简：（余弦是偶函数）. 余弦函数的减区间为：，解得：， 所以函数的单调递减区间为. 2.求函数在区间上的单调递增区间. 解：先求整体增区间：，解得： 令，得区间，与的交集为； 令，得区间，与的交集为. 因此，在上的增区间为. 所以函数在上的单调递增区间为. 3.已知函数，则（ ） A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递增 解：因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C. 4.函数为增函数的区间是（ ） A. B. C. D. 解：，，， ，令可得的递增区间为.故选：C. 5.函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 解：由于在R上递增，根据复合函数单调性同增异减，可知， 函数在区间上递增.故选A. 6.函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D. 解：由题意，令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增.而的单调增区间是，单调减区间是. 对于A，当时，单调递减，且，此时单调递减，所以是的一个单调递减区间； 对于B，当时，单调递减，，此时不是单调函数，所以不是的一个单调增区间； 对于C，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间； 对于D，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间；故选：A. 7.函数在下面哪个区间内是增函数（ ） A. B. C. D. 解：令，则， 令，可得或， 故选B. 8.函数的一个单调增区间是（ ） A. B. C. D. 解：函数，令， 求得，故函数的增区间为， 令，可得它的减区间为.故选D. 9.函数，则下列选项正确的是（ ） A.在上递增，在上递减 B.在上递增，在上递减 C.在上递增，在上递减 D.在上递增，在上递减 解：因为，当时，此时，所以，当时， 此时，所以， 因为在上单调递增，所以在上递增， 在上递减.故选：A. 10.已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到. 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：因为，所以的最小正周期为.，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确.故选：A. 11.若函数在区间上单调递增，且在区间上单调递减，求的值. 解：正弦函数在单调递增后紧接着单调递减，说明是函数的一个极大值点（最高点），此时. 函数的周期满足：从增区间到减区间的转折点到下一个对称点的距离为，即：. 故.又，因此：. 验证：当时，，在处取最大值，符合题意. 12.若函数在区间上单调递减，求正数的取值范围. 解：，则在上单调递增. 函数的减区间为. 令，则当时，. 要使单调递减，需：， 取（取其他整数时无正数解）：，解得：. 4.3.3 三角函数的图像平移和伸缩 1.对于函数：（A>0,>0）有：振幅A，周期，初相，相位， 频率. 2.函数的平移 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的 图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的 图像就是的图像. 3.周期 ①（A≠0,≠0）的周期. ②（A≠0,≠0）的周期. ③（A≠0,≠0）的周期. 例1.函数y＝sin（x）的图象可由函数y＝sin的图象（　　） A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 解：y＝sin（x）＝sin（x），则由函数y＝sin的图象向左平移个单位得到y＝sin（x）的图象.故选：A． 例2.把函数图像上所有的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( ) A. B. C. D. 解：由已知的函数逆向变换： 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象； 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象.所以.故选：B. 例3.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( ) A. B. C. D. 解：由题意知：曲线为.又关于轴对称， 则，解得.又，故当时，的最小值为. 故选：C. 例4.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解：记，变换后所得函数为， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误.故选：C. 1.把函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左 平移个单位长度，得到函数y＝sinx的图象，则f（x）＝（　　） A． B． C． D． 解：由题意，将变换过程反过来，先将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度， 可得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得的图象，C项符合题意．故选：C． 2.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所 得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变， 可得y＝sin（2x）的图象，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得y＝sin[2（x）]＝2sin（2x）的图象，对照各个选项，可知B项符合题意． 故选：B． 3.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( ) A. B. C. D. 解：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C. 4.为得到函数的图像，只需将函数的图像( ) A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 解：，将函数向左平移个长度单位，得到，故，解得，即向左平移个长度单位. 故选：A. 5.要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 解： 所以只要的图像向右平移个单位可得.故选：A. 6.为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解：因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.故选：D. 7.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 解：，将横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：再向左平移个单位长度，得到符合要求； D选项：再向右平移个单位长度，得到，不满足要求，故D选项错误. 故选：C. 8.将的图像按向量平移，则平移后所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 解：若按向量平移，则向左平移个单位，向下平移2个单位，平移后图象对应的解析式为，即为：.故选：A. 9.函数的图像为， ①图像关于直线对称； ②函数在区间内是增函数； ③由的图像向右平移个单位长度可以得到图像. 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解：解：函数的图象为， ①，由，可得图象关于直线对称，故正确； ②，由，可得，由可得函数在区间内是增函数，故正确； ③，由的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，而非图象，故错误.故选：C. 10.已知函数，x∈R． （1）用五点法作出它的简图； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）根据函数写出五点，以表格形式呈现： 0 π 2π x 0 0 0 描点画图如下图所示： （2）函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象． 4.3.4 已知图像求解析式 结合三角函数的图像和性质，根据题意所给（A>0,>0）的图像，求出函数解析式. 例1.函数的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：函数f（x）的最小正周期为T＝2×（），则ω3， 所以f（x）＝Asin（3x+φ），由f（）＝Asin（φ）＝0，且在x附近单调递减， 所以φ＝2kπ+π，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z； 又因为φ，所以φ，f（x）＝Asin（3x），因为， 解得，所以．故选：B． 例2.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A. B. C. D. 解：由题意，设，由图象知：，所以， 所以，因为点在图象上，所以， 则，解得， 所以函数为，即， 故选：D. 例3.若函数的图象(部分)如图所示，则和的取值是( ) A. B. C. D. 解：由函数图象可得：，解得， 由于点在函数图象上，且为五点作图法的第一个点， 可得，解得，当时，可得. 故选：C. 例4.设函数，其中.若，且的最小正周期大于，则( ) A. B. C. D. 解：由题意，其中，所以，又， 所以，所以，，由得. 故选：A. 1.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如下图所示，则（　　） A． B． C． D． 解：由图知A＝2，，解得ω＝2，φ， 所以函数的解析式f（x）＝2sin（2x）．故选：A． 2.函数的部分图象如图，则( ) A. B. C. D. 解：根据函数的图象可得：函数的周期为，， 当时取最大值，即，，，所以，故选：C. 3.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A. B. C. D. 解：由图象知，，，解得，因为函数过点，所以，， 即，解得， 因为，所以，.故选：A. 4.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( ) · A. B. C. D. 解：由五点作图知，，解得， 所以，令， 解得，故单调减区间为，故选D. 5.函数的部分图象如图所示，则( ) · A. B. C. D. 解：由题图知，，最小正周期，所以， 所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A. 6.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象．若，求g（x）的值域． 解：（1）由图象可得A＝2，T＝π；所以，所以f（x）＝2sin（2x+φ）， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为． （2）， 由可得，∴；∴g（x）∈[﹣3，0]． 7.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中 f（x）的图象与x轴的一个交点的横坐标为． （1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 解：（1）由图得A＝2，，∴T＝π，∴， ∵，，则，∴， 由（k∈Z），解得， 故f（x）的递增区间是， 由（k∈Z），解得， 故f（x）的递减区间是． （2）当时，， 当，即时，f（x）取得最大值为， 当，即时，f（x）取得最小值为， ∴f（x）在区间上的最大值是，最小值是﹣2． 8.函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示： （1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间； （2）求函数f（x）在[0，]上的值域． 解：（1）观察图象得：A＝2，令函数f（x）的周期为T， 则T＝2×（）＝π，所以ω2， 由f（）＝0得：2×（）+φ＝2kπ，k∈Z， 而|φ|，于是得k＝0，φ， 所以函数f（x）的解析式是f（x）＝2sin（2x）． 由2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递减区间是[kπ，kπ]（k∈Z）； （2）由（1）知，当x∈[0，]时，2x， 则当2x，即x时f（x）max＝2， 当2x，即x时，f（x）min， 所以函数f（x）在[0，]上的值域是[，2]． 4.3.5 三角函数的奇偶性 1.函数 （1）若为偶函数，则；（2）若为奇函数，则. 2.函数 （1）若为偶函数，则；（2）若为奇函数，则. 3.函数若为奇函数，则. 例1.函数是偶函数，求的一个可取数值（）. 解：正弦为偶函数满足， ；，均满足. 故的一个可取数值为或. 例2.若是奇函数，求最小正数取值. 解：正弦奇函数：， 时，. 故最小正数取值为. 例3.是奇函数，求的一个值. 解：余弦奇函数：，，取.故的一个值. 例4.是奇函数，，求. 解：是奇函数，则，又∵，则时符合条件. 例5.已知，是偶函数，求满足关系式. 解：， 又因为该函数为偶函数，则. 例6.已知函数，将图像向右平移个单位后得到的函数为偶函数，求正整数的最小值. 解：平移规则：右移， 是正弦型偶函数，则初相满足：， 整理得：，又， 令，则； 令，则； 故最小正整数. 1.函数为奇函数，求的集合. 解：函数为奇函数：. 则的集合为. 2.是奇函数，，，求. 解：因为是奇函数，∴， 因为，令. 3.函数是上的偶函数，则的值是（ ） A.0 B. C. D. 解：当时，为奇函数，不满足题意，排除； 当时，为非奇非偶函数，排除； 当时，，为偶函数，满足条件. 当时，，为奇函数，排除；故选：C. 4.函数是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 解：因为，∴为周期为的奇函数，故选：C. 5.将函数的图象沿向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ） A. B. C.0 D. 解：得到的偶函数解析式为显然.故选：B. 6.已知函数，则是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 解：.选D. 7.函数是（ ） A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2 C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为 解：由题意，， 所以该函数为偶函数. 又. 所以当时，取最大值.故选：D. 8.若函数，则是（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 解：考查三角变换和三角函数的性质，通过二倍公式可将等价转化为，由余弦函数的性质知为最小正周期为的偶函数，选D. 9.已知函数(为常数，)的图象关于对称，则函数是（ ） A.偶函数且它的图象关于点对称 B.偶函数且它的图象关于点对称 C.奇函数且它的图象关于点对称 D.奇函数且它的图象关于点对称 解：因为函数的图象关于直线对称，∴， 平方得，即，则，， 则，又， 则为奇函数， 且图象关于点对称，故选：D. 4.3.6 三角函数的对称性 1.设A>0,>0. （1）对于 ①对称轴：当，时，的对称轴为，此时. ②对称中心：当，时，的对称中心为，此时. （2）对于 ①对称轴：当，时，的对称轴为，此时. ②对称中心：当，时，的对称中心为，此时. 2.对于 ①对称轴：无对称轴. ②对称中心：当，时，的对称中心为. 例1.已知，是一条对称轴，求最小正整数值. 解：因为是一条对称轴， ∴， 两边同除：，因为，所以时为最小正整数. 例2.函数的一个对称中心为，求最小的值. 解：因为函数的一个对称中心为， 则， ，时最小. 例3.下列函数的对称性描述正确的是 . ①对称轴为； ②对称中心； ③对称中心； ④对称中心. 解：①，对称轴； ②：； ③对称中心，不只是； ④：.故①②④正确，③错误.故答案为：①②④正确. 例4.若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．故选：C． 1.求函数的对称轴方程. 解：正弦对称轴满足：整理得：，k∈Z. 2.求的一个对称中心横坐标. 解：正弦对称中心：，k∈Z. 时，，对称中心. 3.求所有对称轴. 解：余弦对称轴：. 故所有对称轴为. 4.求的一个对称中心. 解：正切对称中心： ，，所以的一个对称中心为. 5.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 解：因为在区间单调递增，所以， 且，则，. 当时，取得最小值，则，，则，， 不妨取，则，则.故选：A. 6.已知函数的最小正周期为，则该函数的图像( ) A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称 解：，.所以，由于，所以函数的图像关于点对称.故选：A. 7.已知函数，则下列判断正确的是( ) A.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 B.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 C.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 D.此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 解：，最小正周期为，当时，，图像的一个对称中心是.故选C. 8.记函数的最小正周期为.若，且的图像关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 解：由函数的最小正周期满足，得，解得，又因为函数图像关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A. 9.设函数，则下列结论错误的是（ ） A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点为 D.在单调递减 解：的最小正周期为，易知A正确； ，为的最小值，故B正确； ∵，∴，故C正确； 由于，为的最小值，故在上不单调，故D错误.故选D. 10.已知函数，下列结论错误的是（ ） A.的图像关于点中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D.既是奇函数，又是周期函数 解：对A选项，只考虑即可，而，故A正确； 对于B选项，只需考虑是否成立即可，而，故B正确； 对于C选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减.又当时；又当时，故C错误. 对于D选项，，故是奇函数，有，故周期是，故D正确； 故选：C. 4.3.7 三角函数的最值 常见三角函数的最值方法 1.模型 设，化为一次函数在上的最值求解. 2.模型 用辅助角公式化为，再求最值. 3.或或模型 设，化为二次函数在闭区间上的最值求解. 4. 设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解. 5.与模型 根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解务必注意或的范围. 6.导数法：求导判断增减性，再求最值. 例1.求的最大值与最小值. 解：令，由正弦函数值域： 原函数化为：， 一次项系数，在上单调递增. ①当时，； ②当时，. 所以函数的最大值为-1，最小值为-5. 例2.求的值域. 解：由辅助角公式：， ∴， ∵，∴， ∴函数的值域为. 例3.，求函数值域. 解： 令， 二次函数，开口向下，对称轴 ①时： ②区间离对称轴远的端点： 所以函数的值域为[-2，]. 例4.求函数的值域. 解：令，则， 两边平方：， 代入原式：， ，开口向上，对称轴， ①时：； ②时：. 所以函数的值域为. 例5.求函数的值域. 解：分离常数：， 因为， 取倒数：，， 两边加：， 所以函数的值域为. 例6.求函数的值域. 解：去分母：， 整理得：， ∵，∴， 等价，两边平方得：， 化简得：， 解不等式得：， 所以函数的值域为. 例7.，求该函数的最值. 解：∵ ，仅处 ∴在上单调递增. ∴当；当. 所以函数的最小值为0，函数的最大值为. 1.，则最大值为 ，最小值为 . 解：，令，，，单调递减. 当：；当：. 故答案为：最大值为，最小值为-2. 2.，则最大值为 ，最小值为 . 解：由辅助角公式得：，由， 所以，.故最大值为2，最小值为1. 3.已知函数，则函数的值域为 . 解：令， 则， 代入原式：， ∵，开口向下，对称轴， ①当时：； ②当时：. 所以函数的值域为.故答案为：. 4.已知函数，则函数的值域为 . 解：， 令，则， 该函数开口向下，对称轴， ①：， ②（离对称轴远）：. 故函数的值域为.故答案为：. 5.已知函数，则函数值域为 . 解：，则， 所以，两边平方得：， 所以，解不等式得， 所以函数值域为.故答案为：. 6.已知函数，则函数的最大值为 ，最小值为 . 解：， 在区间上单调递增. ：； ：.故答案为：最大值为.最小值为. 7.已知函数，则函数的最大值为 ，最小值为 . 解：令， 则， 因为，对称轴， ①：， ②：。 故答案为：最大值为：，最小值为。 8.已知函数,则（ ） A.的最小正周期为,最大值为 B.的最小正周期为,最大值为 C.的最小正周期为,最大值为 D.的最小正周期为,最大值为 解：根据题意有， 所以函数的最小正周期为，且最大值为.故选：B. 9.函数的最大值为（ ） A. B.1 C. D. 解：由诱导公式可得， 则，函数的最大值为.故选：A. 10.函数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 解：因为， 而，所以当时，取得最大值5，故选：B. 11.函数的值域是（ ） A. B. C. D. 解：由已知， 则，∴.故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $