专题4.1 三角函数的概念讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数概念专题，涵盖任意角（分类、象限角、终边相同角）、弧度制（概念、换算、弧长与扇形面积）、任意角的三角函数（定义、符号、特殊角值）等高考核心考点，按“概念构建-度量转化-函数定义”逻辑组织知识，通过考点梳理（表格填空、概念辨析）、方法指导（终边相同角表示、扇形面积最值）、真题训练（分层练习）帮助学生突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，设计特色教学活动，如用终边相同角的集合表示培养符号意识，通过扇形面积最值问题训练运算能力与模型观念，结合三角函数定义应用强化几何直观。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生对三角函数概念的理解与应考能力。

专题4.1三角函数的概念 4.1.1 任意角 1.角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角. （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 2.象限角和轴线角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ①象限角的集合表示： 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ②轴线角的集合表示： 角的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的非负半轴 x轴的非正半轴 y轴的非负半轴 y轴的非正半轴 y轴 x轴 坐标轴 （2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 3.终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 例1.把下列各角写成α+k•360°（k∈Z）（0°≤α＜360°）的形式，并指出它们的终边位置． （1）765°； （2）110°； （3）﹣540°； （4）﹣135°． 解：（1）765°＝45°+2×360°，因为45°是第一象限角，所以765°角的终边落在第一象限； （2）110°＝110°+0×360°，因为110°是第二象限角，所以110°角的终边落在第二象限； （3）﹣540°＝180°+（﹣2）×360°，因为180°是界限角，所以﹣540°角的终边落在x轴的负半轴； （4）﹣135°＝225°+（﹣1）×360°，因为225°是第三象限角，所以﹣135°角的终边落在第三象限． 例2.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． （1） （2） 解：（1）在0°～360°范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°， 因此，阴影部分区域所表示的集合为{α|k•360°+135°≤α≤k•360°+300°，k∈Z}； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为{α|﹣60°+k•360°＜α＜45°+k•360°，k∈Z}＝{α|2k•180°﹣60°＜α＜2k•180°+45°，k∈Z}， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为{α|120°+k•360°＜α＜225°+k•360°，k∈Z}＝{α|（2k+1）•180°﹣60°＜α＜（2k+1）•180°+45°，k∈Z}， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为{α|2k•180°﹣60°＜α＜2k•180°+45°，k∈Z}∪{α|（2k+1）•180°﹣60°＜α＜（2k+1）•180°+45°，k∈Z}＝{α|k•180°﹣60°＜α＜k•180°+45°，k∈Z}． 1.把下列角化成2kπ+α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相 同的角的集合． （1）； （2）﹣1485°． 解：（1），它是第二象限角，与终边相同的角的集合为； （2），它是第四象限角，与终边相同的角的集合为． 2.已知角α＝840°． （1）写出与840°终边相同的角的集合，并指出角α所在的象限； （2）在﹣720°～720°范围内，指出与角α终边相同的角； （3）指出与角α终边相同的最大负角和最小正角． 解：（1）∵840°＝360°×2+120°，∴与840°终边相同的角的集合为：{α|α＝120°+k•360°，k∈Z}，角α在第二象限． （2）在﹣720°～720°范围内，指出与角α终边相同的角有：120°﹣360°，120°﹣720°， 120°，120°+360°，即﹣600°，﹣240°，120°，480°． （3）与角α终边相同的最大负角为﹣240°，最小正角为120°． 3.用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： 解：（1）由图可知，边界对应射线所在终边的角分别为，，k∈Z， 终边在阴影部分的角的集合为{α|α，k∈Z}； （2）边界对应射线所在终边的角分别为2kπ，，2kπ+π，，k∈Z， ∴终边在阴影部分的角的集合为： ． 4.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 解：由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°，① α－β＝670°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°. 取k＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得α＝15°，β＝65°. 5.已知α是第二象限角： (1)求角所在的象限； (2)求角2α所在的象限． 解：(1)方法一：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)． 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<<n·360°＋90°，这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<<n·360°＋270°，这表明是第三象限角．∴为第一或第三象限角． 方法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角． (2)∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上． 4.1.2 弧度制 1.弧度制的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad，这种以弧度 单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.角度与弧度的换算 （1）圆心角与弧长的关系：一般地，正角的弧度是一个正数，负角的弧度是一个负数，零 角的弧度是0；如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是. 当圆心角为周角时，；当圆心角为平角时，. （2）角度和弧度的换算公式：由180°= rad，得1°=rad≈0.01745。反过来，1rad=≈57.30°=57°18′. 3.用弧度制表示弧长及扇形的面积公式 （1）弧长公式：. （2）扇形的面积公式：.其中l是弧长，r是半径，是圆心角，S是扇形的面积. 例1.将下列角度转化为弧度，弧度转化为角度． （1）60°； （2）150°； （3）； （4）； （5）． 解：（1）60°＝60； （2）150°＝150； （3）（）＝15°； （4）（）＝150°； （5）（）＝270°． 例2.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L（α＞0）． （1）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解：（1）根据题意可知，扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L， ，解得（舍去），，所以扇形圆心角α； （2）由已知得，l+2R＝20，所以（R﹣5）2+25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，，解得α＝2， 当扇形的圆心角α＝2时，扇形面积最大值为25． 1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4)－. 解：(1)72°＝72×＝； (2)－300°＝－300×＝－； (3)2＝2×＝； (4)－＝＝－40°. 2.一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15． （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积． 解：（1）设扇形对应的圆心角对应的弧度数为α， ∵扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15，∴15＝5+5+5α，解得α＝1． （2）该扇形的面积为． 3.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l． （1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l； （2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大； （3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：（1）l＝10（cm）． （2）由已知得：l+2R＝20，所以SlR（20﹣2R）R＝﹣（R﹣5）2+25． 所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad． （3）设弓形面积为S弓，由题知lcm，S弓＝S扇﹣S△222×sin （cm2）． 4.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝. (2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝， 而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，∴S＝S扇形－S△AOB＝25. 5.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长． 解　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t·＋t·＝2π，所以t＝4，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒． P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝. 4.1.3 任意角的三角函数 1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.设点P(x,y)为角终边上任意一点，那么： ，其中. 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 3.特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°等的三角函数值. 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 无 -1 0 无 0 例1.已知角α的终边经过点，M（3，﹣4），求sinα，cosα，tanα的值. 解：角α的终边经过点，M（3，﹣4），所以，，． 例2.已知角α的终边落在直线y＝﹣2x上，求sinα，cosα，tanα的值． 解：由题意可得直线y＝﹣2x过第二，第四象限， 取直线y＝﹣2x在第二象限上一点M（﹣1，2）， 则，， ，取直线y＝﹣2x在第四象限上一点B（1，﹣2）， 则，， ． 综上，当角α的终边在第二象限时，，，tanα＝﹣2； 当角α的终边在第四象限时，，，tanα＝﹣2． 1.已知角α终边上一点p（x，﹣8），且，则x＝（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．±10 解：因为角α终边上一点p（x，﹣8），且，所以，则x＝10．故选：C． 2.在平面直角坐标系xOy中，P（3，4）为角α的终边上一点，将角α的终边绕原点O按顺 时针方向旋转后得到角β，则tanβ的值为（　　） A． B． C． D． 解：根据题意可知，P（3，4）为角α的终边上一点，则，， 所以．故选：D． 3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(　　) A．2 B．±2 C．－2 D．－2 解：因为cos α＝－<0，所以x<0，又r＝，由题意得＝－， 所以x＝－2.故选：D. 4.已知角α的终边过点P（5，a），且，求a及sinα的值． 解：由题意可知，，解得a＝±12，所以． 5.已知角α的终边经过P（4a，﹣3a），（a≠0），求2sinα+cosα的值． 解：由题意，r＝5|a|， 若a＞0，r＝5a，则sinα，cosα，2sinα+cosα； 若a＜0，r＝﹣5a，则sinα，cosα，2sinα+cosα； 所以2sinα+cosα＝±. 6.已知角θ的终边经过点P（5a，﹣12a），其中a≠0． （1）求cosθ的值； （2）若θ为第二象限角，求cosθ+sinθ的值． 解：（1）因为角θ的终边经过点P（5a，﹣12a），其中a≠0，所以，所以当a＞0时，，当a＜0时，； （2）若θ为第二象限角，则a＜0， 则，，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1三角函数的概念 4.1.1 任意角 1.角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角. （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 2.象限角和轴线角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ①象限角的集合表示： 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ②轴线角的集合表示： 角的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的非负半轴 x轴的非正半轴 y轴的非负半轴 y轴的非正半轴 y轴 x轴 坐标轴 （2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 3.终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 例1.把下列各角写成α+k•360°（k∈Z）（0°≤α＜360°）的形式，并指出它们的终边位置． （1）765°； （2）110°； （3）﹣540°； （4）﹣135°． 例2.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． （1） （2） 1.把下列角化成2kπ+α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相 同的角的集合． （1）； （2）﹣1485°． 2.已知角α＝840°． （1）写出与840°终边相同的角的集合，并指出角α所在的象限； （2）在﹣720°～720°范围内，指出与角α终边相同的角； （3）指出与角α终边相同的最大负角和最小正角． 3.用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： 4.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 5.已知α是第二象限角： (1)求角所在的象限； (2)求角2α所在的象限． 4.1.2 弧度制 1.弧度制的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad，这种以弧度 单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.角度与弧度的换算 （1）圆心角与弧长的关系：一般地，正角的弧度是一个正数，负角的弧度是一个负数，零 角的弧度是0；如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是. 当圆心角为周角时，；当圆心角为平角时，. （2）角度和弧度的换算公式：由180°= rad，得1°=rad≈0.01745。反过来，1rad=≈57.30°=57°18′. 3.用弧度制表示弧长及扇形的面积公式 （1）弧长公式：. （2）扇形的面积公式：.其中l是弧长，r是半径，是圆心角，S是扇形的面积. 例1.将下列角度转化为弧度，弧度转化为角度． （1）60°； （2）150°； （3）； （4）； （5）． 例2.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L（α＞0）． （1）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4)－. 2.一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15． （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积． 3.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l． （1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l； （2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大； （3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 4.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 5.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长． 4.1.3 任意角的三角函数 1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.设点P(x,y)为角终边上任意一点，那么： ，其中. 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 3.特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°等的三角函数值. 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 无 -1 0 无 0 例1.已知角α的终边经过点，M（3，﹣4），求sinα，cosα，tanα的值. 例2.已知角α的终边落在直线y＝﹣2x上，求sinα，cosα，tanα的值． 1.已知角α终边上一点p（x，﹣8），且，则x＝（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．±10 2.在平面直角坐标系xOy中，P（3，4）为角α的终边上一点，将角α的终边绕原点O按顺 时针方向旋转后得到角β，则tanβ的值为（　　） A． B． C． D． 3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(　　) A．2 B．±2 C．－2 D．－2 4.已知角α的终边过点P（5，a），且，求a及sinα的值． 5.已知角α的终边经过P（4a，﹣3a），（a≠0），求2sinα+cosα的值． 6.已知角θ的终边经过点P（5a，﹣12a），其中a≠0． （1）求cosθ的值； （2）若θ为第二象限角，求cosθ+sinθ的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $