4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第四章 三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 ★[考试要求] 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助 单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义， 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 3.任意角的三角函数 1.角的概念 (1)设a是一个任意角，a∈R,它的终边OP与 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 单位圆相交于点P(x,y),则sina= 旋转所成的图形 cos a= tan a- （x≠0)」 按旋转方向不同分为 (2)任意角的三角函数的定义（推广）： (2)分类 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意 按终边位置不同分为 和轴线角. 一点，其到原点O的距离为r,则sina= (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同 y cos a= 方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 1- 相反角.角α的相反角记为 tana=义(x≠0). (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合S={33= (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二 a+k·360°，k∈Z}. 正弦、三正切、四余弦，如图， 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号 知识拓展用活 rad表示. 1.象限角 (2)公式 第一象限角 2km<a<2kπ+号，keZ 角a的弧 1a=(弧长为1，半径为r) {@2km+<a2km+r,kEZ 度数公式 象限角 第二象限角 集 第三象限角 +<a<2k,kEZ 2 角度与弧 第四象限角 a2kT+3T<a<2kT+2T,kEZ 1°=π 2 rad;1 rad= 度的换算 180 2.轴线角 弧长公式 终边落在x轴上的角 Kaa=kπ，k∈z} l= 扇形面 终边落在轴上的角=罗+kπ，k∈Z S 积公式 集合 终边落在坐标轴上的角 a=，kez ·70· 第四章三角函数与解三角形 3.终边相同的角与对称性拓展 (3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也 (1)B,a终边相同台B=α十2kπ，k∈Z. 定相等， () (2)B,a终边关于x轴对称台3=一a+2kπ， (4)若sina>0,则a的终边落在第一或第二 k∈Z. 象限。 (3)B,a终边关于y轴对称台3=π一a十2kπ， 2.[多选]下列与角的终边相同的角是 k∈Z. (4)B,a终边关于原点对称台3=π十a+2kπ， ( ) k∈Z. A.14x 3 B.2kπ- ED 4.若角a∈0,2 ,则sina<a<tana. C.2kx+2(k∈ZD.(2k+1)r+2(k∈Z) 3 自主诊断查验 3.sin2·cos3·tan4的值 () 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 或“X”) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是 锐角. ( 4.已知角a的终边过点P(一3cos0,4cos0), ) (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角 其中0∈（，元]，则sina ,tan a 度是 跃升>关健能力 核心考点分类突破 题型1〔 角及其表示 2.确定0,9(n∈N)的终边位置的方法 2 [例1] (1)设集合M= (1)将日的范围用不等式（含有k,且∈Z) {=含·180+45∈ZN- 表示 {女=是180+45，∈Z,那么( (2)两边同除以n或乘以n. A.M=N B.M∈N (3)对k进行讨论，得到9或0(m∈N)所 C.NCM D.M∩N=O 在的象限. （2)设9是第三象限角，且0s号 0 [注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如 2 角0的终边逆时针旋转180°可得角0+180° 则号是 ( 的终边 A.第一象限角 B.第二象限角 日跟踪训练 C.第三象限角 D.第四象限角 1.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非 规律方法 负半轴上，终边在直线y=√x上，则角&的 1.表示区间角的三个步骤 取值集合是 () (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止 边界 A.{ae=2k元-，k∈Z (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对 应的一360°~360°范围内的角a和角B, B{e=2x+k∈Z 写出最简区间. (3)起始、终止边界对应角a,阝再加上360 Q=k+,k∈Z 的整数倍，即得区间角集合， D{=-吾∈Z ·71 高考总复习数学 2.[多选]若角。是第二象限角，则号可能是 规律方法 弧长和扇形面积的计算方法 A.第一象限角 B.第二象限角 1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在 C.第三象限角 D.第四象限角 角度制下更方便、简捷.但要注意圆心角 的单位是弧度. 题型2 弧度制及其应用 2.从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化 [例2]已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧 为关于α的不等式或利用二次函数求最 长为l 值的方法确定相应最值. (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长l; (2)若a=言，R=2cm,求扇形的弧所在的 3.记住下列公式：①1=aR;②S=2R;③S 弓形的面积； 2aR.其中R是扇形的半径，L是弧 (3)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心 长，a(0<&<2π)为圆心角，S是扇形 角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 面积. [尝试解答] 日跟踪训练 1.[多选]已知扇形的周长是6，面积是2，下列 选项可能正确的是 ( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 2.早在两千年前，古人 就通过观测发现地太阳光 地球 面是球面，并会运用 2元 巧妙的方法对地球 半径进行估算.如图 所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球 心，A,B为北半球上同一经度的两点，且 A,B之间的经线长度为L,于同一时刻在 A,B两点分别竖立一根长杆AA1和BB, 通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角α 和B(α和B的单位为弧度)，由此可计算地 球的半径为 题型3 三角函数的概念 [角度1]利用三角函数的定义求值 例3-1] (1)已知角α的终边经过点 P(-5,m)(m≠0)，且sina=②m,则cosa ,tan a= ·72， 第四章三角函数与解三角形 (2)[多选]角a的终边上一点P(a,2a)(a≠0)， (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终 则2sina一cosa的值可取 ( 边上一点P的坐标中的参数值，可根据 复 B.一 c. D.-35 定义中的两个量列方程求参数值（如例 5 5 5 3-1). [角度2]判断三角函数值的符号 (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α 工例3-2] (1)[多选]下列各选项中正确 的大小，根据三角函数的定义可求角 的是 ( ) 终边上某特定点的坐标， A.sin300°<0 B.c0s(-305°)>0 :跟踪训练 22 C.tan 3π>0 D.sin 10>0 1.已知角a的终边经过点(3，一4)，则sina十 (2)若sin atan a<0,且cosa<0,则角a是 1 一等于 () tan a cos a A-吉 B37 15 A.第一象限角 B.第二象限角 c别 2.[多选]若角a=3rad(rad为弧度制单位)， C.第三象限角 D.第四象限角 规律方法 则下列说法正确的是 A.sin a>cos a B.a是第三象限角 三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角 C.sin a>0 D.tan a>0 α的三角函数值.先求P到原点的距离， C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关21 再用三角函数的定义求解 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 ★[考试要求] L.理解同角三角函数的基本关系式sin'a十cosa=l,sina=tana,2.掌握诱导公式，并会简单应用. cos a 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)平方关系： sin a=1-cos'a=(1+cos a)(1-cos a); cos'a=1-sin'a=(1+sin a)(1-sin a); (2)商数关系： (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. 2.三角函数的诱导公式 自主诊断查验 公式 一 二 三 四 五 六 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 2kπ十a 或“X”) 角 元十度 十C (k∈Z) (1)若a,3为锐角，则sina十cos23=1.（) 正弦 sin a (2)若a∈R,则tana=sin恒成立.() cos a 余弦 cos a (3)sin(π+a)=一sina成立的条件是a为 锐角， () 正切 tan a -tan a (④若snx-e)-导ez0.则sine=景 口诀 奇变偶不变，符号看象限 ( 73·(2)当a=-2时，g)=/e)-/)=e-n>0, 则g'(x)=e-1 x 因为y=ey=-上在(0，十0)上均单调递增， 所以g'(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(合）=e2-2<0,g1)=e-1>0, 所以在区间（侵1上存在。使得g)=0… 当x∈(0，x)时，g(x)<0,当x∈(x,十∞)时，g(x)>0 所以g(x)在(0，)上单调递减，在(，十∞)上单调递增， 所以g)存在唯一极小值点云∈（合） 因为e。-上=0，即lnx=-, 所以g(xo)=e'0-lnxo=ea十x, 因为x∈（侵1小且y=e+z在（合，）上单调道增。 所以8x)=十，>e+日 又e> 所以> 所以8)=0十x>名+日=2 跟踪训练 解：1)f)=血++2的定义裁为(0，十o), f(.x)= （位+1-n++2) -In x-1 当0<x<1时，(x)>0,(x)单调递增， e 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减 故当x=6时， fx)取最大值f()-©(+是)厂e+1 (2)由ae≥f(x)可得a≥血x+x+2, re-l 令g(x)=血++2.则g() _位+水✉e)-m++2ei) (.xe-)2 化简可得g(x)=二nx十x十1D1+c) xe 由于0，故老>0， 又函数y=lnx,y=x十1均为单调递增函数，因此p(x) =lnx十x+1单调递增，且p(1)=ln1+1+1>0, p(e2)=-2+e2+1<0,因此存在唯一x∈(0,1)， p(x)=0,即lnx十z0+1=0,且x,<x时，p(x)>0, g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x>x>0时，p(x)<0,g'(x)>0,g(x)单调递增， 故g()=g(,)1n西十+21 Toeo 由lnx,十x十1=0可得xoeo+1=1,进而xeo1 1 e2 故g(x)a:=g(x,)=1n,十n+21 =e eo可=1 e 因此a≥g(x)mx=e2,故a≥e2. ·3 参考答案 第四章三角函数与解三角形 §4.1任意角和孤度制、三角函数的概念 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)-& 2.1半径长2(）】 lalr irar 3.(1)yx 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2AC[与角号的终边相同的角为2x+否k∈D,k=2 时4+-兰] 3.A[因为sin2>0,cos3<0,tan4>0, 所以sin2·cos3·tan4<0. 4.解析：因为0e(受x所以c0s0K0, 所以r=√Jx+y=√/9cos0+16cos0=-5cos0, 所以na=义=-号ana=￥=-青 3 答案：号- 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]由于M中，x=多·180°+45°= 2 k·90°+45°=(2k+1)·45°，2k+1是奇数；而N中， x=冬·180+45°=k·45+45=(k+10·45,6+1 是整数，因此必有M二V. [答案]B (2)[解析]0是第三象限角，π十2kx<0<3+ 2 2kx,∈乙受+<号<酒+x,k∈乙， “号的终边落在第二，四象限，又c0s号 -60s号c0s号<0号是第二京限角， [答案]B 跟踪训练 1,C[因为直线y=Bx的倾斜角是牙，所以终边落在直线 y=原x上的角的取值集合为{aa=k红+k∈Z] 2.AC[a是第二象限角， “受+2k<a<x+2kx,k∈Z +k红<受<受+xk∈Z. 当负为偶数时，受是第一象限角： 当k为奇数时，号是第三象限角.] 题型2 [例2】[解]1a=60°=号1=10×号-19(cm. (2)设弓形面积为S5.由题知1= 3 cm. S,=S。-S.5=合×5×2-合×2×n晋= (号-)水em. 93 高考总复习数学 (3)由已知得，l+2R=20, 所以S=合R=合(20-2R)R=10R-=-(R-5 +25. 所以当R=5时，S取得最大值25cm', 此时1=10，a=2. 跟踪训练 1.ABC[设扇形半径为r,圆心角孤度数为a, 2r-ar=6, 2ar2-2. 则由题意得1 解得=1或=2， 1a=41 1a=1, 可得圆心角的孤度数是4或1.] 2.解析：如图所示，过点B作太阳光的平行线，与OA的延 长线交于点C, B B之 C--- 太阳光- B 地球 小、、 0 则∠B,BC=B,∠BCO=a,所以∠AOB=B-a, 设地球半径为R,则根据孤长公式得R(B-a)=L, 所以R=B一a L 答案g一a 题型3 [例3-1](1)[解析]设P(x,y).由题意知x=一√3，y =m,所以r2=OP2=(-√3)2十m2(0为坐标原点)， 即r=√3+m,所以sina=m=2m=m r42V2 所以r=√3十m=2√2，即3十m2=8,解得m=士√5. 当m-5时s。=m8=-5,当m-后时。 coS a=- 4,tan a=15 6 3 [答案]- 士⑤ 4 3 (2)[解析]，P(a,2a)为角a的终边上一点，且a≠0， .当a>0时，sina= 2a =2a=2⑤ √a2+(2a)' 5a 5 5 3w5 cos a=- a2+(2a)7 号2sina-cosa= 5； 当a<0时，sina=-2y5」 5,c0sa=- 5 .2sin a-cos a=- 3√5 综上可知，2sina-cosa=±35 5 「答案]CD [例3-2](1)[解析]300°=360°-60°，则300°是第四 象限角，故sin300°<0，-305°=-360°+55°，则一305 是第一象限角，故（一0时）>0，而-号=一8十经所 以-号是第二象限角，故am(一号） _22π）<0，因为3π< 10<7红，所以10是第三象限角，故sin10<0. [答案]AB ·3 (2)[解析]由sin atan a<0可知sina,tana异号， 则a为第二或第三象限角.由gosg<0可知cosa,ana异 tan a 号，则α为第三或第四象限角.综上可知，a为第三象限角 [答案]C 跟踪训练 1,D[因为角a的终边经过点(3，一4)，所以sina=一5 4 2.AC[因为1rad≈57.3°，所以a=3rad≈171.9°为第二 象限角，所以sina>0,cosa<0,tana<0,即B,D都错， A,C正确.门 §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1knia+osa=l(28-am(e≠受+k,6e2） 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D[因为&是第四象限角，且sina=一3： 5 所以cosa=√个-sina=5,所以ana=n么 12 3.CD[sin(-x)=-sinx,故A不成立； sim(受-x=-cos,故B不成立： os(受十x）=-sinx,故C成立： cos(.x-π)=-cosx,故D成立.] 4解析：平<。<经 4 .'cos a<0,sin a<0 cos a>>sin a, .∴.cosa-sina>0. 又(cosa-sina)=1-2 sin acos a=1-2X。 41 ∴cos a-sin a=2、 答案 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]因为tana=-3, sin'a-sin asin'a-sin a(sin'a-1)sin a sim(e+受) cos a cos a =一sin acos a_ 3 cosg+sin210 [答案]C [例1一2][解析]因为角a的终边上有一点P(1,2), 所以tana=2. sin a sin'a 所以1-3 sin acos a sin a十cosa-3 sin acosa tana 2 tana+1-3tana2+1-3X2=-4. [答案]一4 [例1-3][解析](1)由sina+cosa=5: 平方得sin2a+2 sin acos十cosa=25 整理得2 sin acos a三一25. 04