专题08 概率初步（续）（4大考点30题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦概率初步4大高频考点，精选上海多校期末试题，30题覆盖条件概率、随机变量、二项分布、正态分布，注重情境应用与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|条件概率命题判断、正态分布性质|如第1题辨析互斥与独立事件关系，第23题结合正态分布对称性| |填空题|16题|条件概率计算、二项分布方差、正态分布概率|如第5题市场占有率与一等品概率，第17题硬币抛掷正面次数概率| |解答题|10题|随机变量分布列与期望、二项分布综合应用|如第20题AI大模型使用统计分析，第12题招聘考试笔试面试概率模型，融合实际情境与多考点综合|

丽学科网 www.zxxk.com 专题08概率初步（续）(4大考点30 目目 考点01 条件概率与相关公式 1.C 2.0.68 3.2 15 4.10 19 5.0.9275/371 400 2768 6. 3439 7. 19 35 目目 考点02 随机变量的分布与特征 1 8. 3 9. 10.375 8 10.043 5 11.(①43 5 (②Ex]=8,D川X1=536 331 1089 3 12.(0q=8 (2)最小值为 96,相应的 1 2 (3》由(2)知，面试时每道题的难度系数是g=2, 1 1 则甲答对每道面试题的概率q= 2 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数X的可能取值为3,4,5， 当x=3x=-+-名 / 让教与学更高效 题) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当X=4时， px==c分c对 当X=5时，X=列=1-pX=X=4-号 所以X的分布列为： X 3 4 5 1 3 J 4 8 由期望公式得数学期望为E(X)=3×+4× +5x333 48 88 10品 1 2 (2②P=4,B 5 14.(1)X的可能取值是0、1、2， P(X=0)= =10P(X=D= C 1 c101 故X的分布列是 长 0 1 2 P(X=k) 1 3 5 10 数学期望E(X)=0x 3 +1×+2× 10 5 105 、21 250 目目 考点03 二项分布 15.C 16.8 7 n.8035 18. 6410.512 125 9. 命学科网 www.zxxk.com 20.(PB=P814) 23 ，A,B不独立 80 (2)从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率 由题设X可取0,12,3且X-B3,, 故P叫x=0=c[日aPx==G日2 故X的分布列如下： X 0 p 3 1 9 27 27 64 64 64 64 故E[X]=3×44 39 (3)由题设y可取0,12,3,4，Z可取0,1,2,3,4， 面Py=00PY=品Pv=小- 80 pv}pv4 101 808 故E[y=1×32+2×23+3×16+4x10-27+46+48+40_161 23 80 80 80 80 80 801 279 PZ0608PZ+3PZ200 Pz=高写Pz=品 -12081 故2-182× 27 12 4货品 +3x720 因为61>≥9，故Ey]>EZ 8020 21.4 (2)甲得分≥10的场次：2、3、5、6、8，共5场， 乙得分>丙得分的场次：2、5、6，共3场 X的可能取值：0,1,2， 总选法：C=10, / 让教与学更高效 303 40 可学科网 www.zxxk.com X=0:选0场乙≤丙，C=1,概率 01 X=1:选1场乙>丙和1场乙≤丽，CC=6,概率吕- X=2:选2场乙>丙，C=3,概 101 分布列如下： X 0 1 1 3 10 5 10 *2x3 数学期望：E(X)=0×1+1x3 =1.2 10 (3》以缓率估计获胜概率：甲：日子么：，丙： 2_1 3 8 三人获胜场数符合二项分布， n-5p=n-5 35_75 8864' 所以DY]<DY]=D[Y] 2.(1)D一级果4个，二级果3个，三级果2个；②Ex= 3 (2)当k=30时，P(Y=k)最大 目目 考点04 正态分布 23.A 24.B 25.0.8/4 27.4.6% 28.（-o0,1 29.①②③ 30.10 让教与学更高效 2 3 10 专题08 概率初步（续）（4大考点30题） 4大高频考点概览 考点01条件概率与相关公式 考点02随机变量的分布与特征 考点03二项分布 考点04 正态分布 一、单选题 地 城 考点01 条件概率与相关公式 1．(24-25高二下·上海建平中学·期末)下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用条件概率和事件的独立性即可判断（1），由与相互独立，不能推出与相互独立即可判断（2），根据独立事件的定义即可判断（3），由A和C为互斥事件得与互斥利用条件概率公式即可判断（4） 【详解】若，所以， 所以与相互独立，所以成立，故（1）正确； 若，所以与相互独立，不能推出与相互独立， 反例：在抛两次硬币试验中，设：第一次抛正面朝上；：第二次抛正面朝上； ：两次结果相同，那么独立，但不独立，故（2）错误； 因为与互斥，所以，所以与不是独立事件，故（3）正确； 因为，所以与互斥， 所以，故（4）正确； 所以真命题共有（1）（3）（4）三个． 故选：C 二、填空题 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 4．(24-25高二下·上海崇明区·期末)某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海崇明区·期末)某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】/ 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 6．(24-25高二下·上海建平中学·期末)不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【答案】 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以. 所以. 故答案为：. 7．(24-25高二下·上海建平中学·期末)有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 【答案】 【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解. 【详解】设表示“从乙袋中任取一球是红球”，表示“从甲袋中取出两个白球”， 表示“从甲袋中取出两个红球”，表示“从甲袋中取出一个白球和一个红球”， 则 由全概率公式，所求概率 . 故答案为： 地 城 考点02 随机变量的分布与特征 一、填空题 8．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 【答案】 【分析】由全概率公式求得，然后求得，最后结合条件概率公式即可得解. 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 9．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【答案】/0.375 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 10．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 二、解答题 11．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 12．(24-25高二下·上海进才中学·期末)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可. （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 13．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【详解】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； （2）（i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 14．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 地 城 考点03 二项分布 一、单选题 15．(23-24高二下·上海延安中学·期末)一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 二、填空题 16．(24-25高二下·上海实验学校·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 【答案】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 故答案为： 17．(24-25高二下·上海静安区·期末)连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______． 【答案】/ 【分析】设连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次正面朝上的次数为，则，根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】设连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次正面朝上的次数为，则， 则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是. 故答案为：. 18．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 【答案】/ 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，设没有鸡感染病毒为事件，则. 故答案为： 19．(23-24高二下·上海曹杨第二中学·期末)一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】每1粒种子发芽的概率为，发芽种子数量， 所以发芽种子数量的方差是. 故答案为： 三、解答题 20．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，不独立 (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立. （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 21．(24-25高二下·上海崇明区·期末)甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)，理由见解析 【分析】(1) 通过统计甲获胜的场数，利用古典概型概率公式计算甲获胜的概率； (2) 先确定甲得分不低于分的场次，乙得分大于丙得分的场次，进而确定的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式计算期望； (3) 先根据已知场比赛的获胜频率得到每人获胜的概率，由于接下来的比赛获胜场数符合二项分布，利用二项分布的方差公式计算并比较方差大小. 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率； （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：. （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以 22．(23-24高二下·上海海事大学附属北蔡高级中学·期末)已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 地 城 考点04 正态分布 一、单选题 23．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 24．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 二、填空题 25．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 26．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 27．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，先确定的值，再结合已知的概率公式计算质量误差超过的可能性. 【详解】因为每包糖果的实际质量服从的正态分布，则. 质量误差不超过，即，也就是. 根据参考数据可知. 那么质量误差超过的概率为. 故答案为：. 28．(23-24高二下·上海金山中学·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 29．(23-24高二下·上海南洋模范中学·期末)下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【答案】①②③ 【分析】根据二项分布的概率公式判断①； 根据正态分布的性质判断②； 根据条件概率判断③； 根据期望与方差的性质判断④. 【详解】随机变量服从二项分布，则，故①正确； 随机变量服从正态分布且，则，故②正确； 事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确； ，故④错误. 故答案为：①②③. 30．(23-24高二下·上海海事大学附属北蔡高级中学·期末)某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率初步（续）（4大考点30题） 4大高频考点概览 考点01条件概率与相关公式 考点02随机变量的分布与特征 考点03二项分布 考点04 正态分布 一、单选题 地 城 考点01 条件概率与相关公式 1．(24-25高二下·上海建平中学·期末)下列四个命题中，真命题的个数是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）若，且A，B为互斥事件，则A，B不为独立事件． （4）若，A和C为互斥事件，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 3．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知两个随机事件，，若，，，则________． 4．(24-25高二下·上海崇明区·期末)某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 5．(24-25高二下·上海崇明区·期末)某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 6．(24-25高二下·上海建平中学·期末)不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 7．(24-25高二下·上海建平中学·期末)有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个红球；乙袋中有2个白球，3个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．（结果为精确值） 地 城 考点02 随机变量的分布与特征 一、填空题 8．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 9．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 10．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 二、解答题 11．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 12．(24-25高二下·上海进才中学·期末)甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 3 4 5 13．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. (1)从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； (2)若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 14．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 地 城 考点03 二项分布 一、单选题 15．(23-24高二下·上海延安中学·期末)一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． … … … … 二、填空题 16．(24-25高二下·上海实验学校·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 17．(24-25高二下·上海静安区·期末)连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______． 18．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知鸡接种一种疫苗后，有不会感染某种病毒.如果3只鸡接种了疫苗，那么没有鸡感染病毒的概率为______. 19．(23-24高二下·上海曹杨第二中学·期末)一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______． 三、解答题 20．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 21．(24-25高二下·上海崇明区·期末)甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 0 1 2 22．(23-24高二下·上海海事大学附属北蔡高级中学·期末)已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 地 城 考点04 正态分布 一、单选题 23．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 24．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 二、填空题 25．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知随机变量服从正态分布且则________． 26．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知随机变量，，且，，则__________． 27．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从、的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过（即1%）的可能性为________.（结果精确到0.1%） （参考数据：若，则，，） 28．(23-24高二下·上海金山中学·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 29．(23-24高二下·上海南洋模范中学·期末)下列说法中正确的是______ ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 30．(23-24高二下·上海海事大学附属北蔡高级中学·期末)某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． / 学科网（北京）股份有限公司 $