专题06 导数及其应用压轴题综合（25题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 专题06导数及其应用压轴题综合（25题），汇编上海多所中学期末试题，以悬链线、牛顿法等真实情境为载体，融合创新定义与数学史，考查导数综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|3题|双曲函数性质、导函数应用|结合悬链线工程背景，类比三角函数性质| |填空题|2题|公切线、双曲线与导数综合|存在性问题，考查导数几何意义| |解答题|20题|导数应用、创新定义（完美对应/导控函数）、数学史（牛顿法）|多校期末压轴题，综合考查逻辑推理与创新应用，如“绣曲线”包络线探究|

专题06 导数及其应用压轴题综合（25题） 一、单选题 1．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”的方程为，其中为参数.当时，该表达式即为双曲余弦函数，记为.类似地，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.则下列结论正确的个数为（    ） ①， ②， ③ ④当时，不等式在上有解 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 3．(23-24高二下·上海延安中学·期末)已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是______. 5．(23-24高二下·上海虹口区·期末)已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 三、解答题 6．(24-25高二下·上海进才中学·期末)已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 7．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)对于，求证：； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： (3)设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 8．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 9．(24-25高二下·上海向明中学·期末)设、是定义域为的函数，当时， ． (1)已知，，且对任意，，当时，有成立，求实数的取值范围； (2)已知，，，且对任意，当时，有，求：当时，的函数解析式． 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 11．(24-25高二下·上海松江区·期末)若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 12．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)“绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． (1)判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； (2)点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； (3)写出的包络的方程，并给出证明． 13．(24-25高二下·上海建平中学·期末)牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 14．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 15．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． (1)若，，．试判断是否具有“AX”性质； (2)若，，．求证：具有“AX”性质； (3)若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 16．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. (1)设，，求，； (2)已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同的、，与至少有一个成立”的充要条件. 17．(23-24高二下·上海奉贤区·期末)对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 18．(23-24高二下·上海金山中学·期末)设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 19．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯． (1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标； (2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由； (3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）； (4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值． 20．(23-24高二下·上海上南中学·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 21．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 22．(23-24高二下·上海洋泾中学·期末)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 23．(23-24高二下·上海闵行区·调研)若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 24．(23-24高二下·上海南汇中学·期末)已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 25．(23-24高二下·上海延安中学·期末)已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其应用压轴题综合（25题） 一、单选题 1．(24-25高二下·上海洋泾中学·期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”的方程为，其中为参数.当时，该表达式即为双曲余弦函数，记为.类似地，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.则下列结论正确的个数为（    ） ①， ②， ③ ④当时，不等式在上有解 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，直接求导验算即可；对于②③，直接验算即可；对于④，令，只需判断在上的最大值是否大于0即可. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， ，故②正确， 对于③，，故③错误； 对于④，，令， 求导得，令， 求导得，所以在上单调递减， 所以，当充分大时，有， 所以存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故我们只需要判断是否成立即可， 令， 求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，不等式在上有解，故④正确. 故选：C. 2．(23-24高二下·上海闵行区·调研)已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 3．(23-24高二下·上海延安中学·期末)已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 二、填空题 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先分别设出直线与两曲线的切点坐标，写出切线方程；再根据直线与两曲线都相切，列出方程组，整理得出；最后构造函，利用导数判断函数的单调性，求出最值，得出函数的值域，从而求出的取值范围. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 因为存在直线与曲线和曲线都相切， 所以，整理得：. 令， 则， 令，解得：或；令，解得：或； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又因为，， 当时，， 所以函数的值域为， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．(23-24高二下·上海虹口区·期末)已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 三、解答题 6．(24-25高二下·上海进才中学·期末)已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【详解】（1）结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3）由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . 7．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)对于，求证：； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： (3)设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）举出实例即可； （2）令，时不合要求，，求导得到单调性，求出，故，即，令，求导得到其单调性，得到，故； （3）设，，与都存在最小值，且最小值相等，设在处取得最小值，在处取得最小值，故，即，结合在R上严格增，若，得到，要想恒成立，需满足且，由于的任意性，可知是偶函数，若，此时直线与重合，是偶函数满足要求，得到结论 【详解】（1）当时，， ，对恒成立，故； （2），令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线的“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； （3）设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数. 8．(24-25高二下·上海实验学校·期末)已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【详解】（1），，则切线方程为； （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 9．(24-25高二下·上海向明中学·期末)设、是定义域为的函数，当时， ． (1)已知，，且对任意，，当时，有成立，求实数的取值范围； (2)已知，，，且对任意，当时，有，求：当时，的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先依据条件判断函数的单调性，然后求导使其导数大于等于0，求出的范围. （2）构造新函数，然后根据条件列出不等式，判断的单调性并确定为常数，从而得到的解析式. 【详解】（1）由题意，对任意，当时，有成立. 则在上递增. 因为，求导得. 为了使得对所有成立，则判别式. 即，解得. （2）令， 则. 根据条件得到， 所以，即对任意恒成立， 那么， 当时，则，所以，所以单调递减， 所以； 当时，则，所以，所以单调递增， 所以； 所以综上，，所以，为常数. 因为，所以，所以. 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【详解】（1）因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①，           ②； （2）即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. （3）由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 11．(24-25高二下·上海松江区·期末)若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，得到，即，即可得到答案； （2）求得，转化为成立，令，求得，得出的单调性，的得到，即可求解； （3）若存在常数，使得恒成立，得到，求得，证得充分性成立；若，则，由函数是函数的 “ 1 相关函数”，得到，再由，转化为，进而得到，证得必要性成立，即可得证. 【详解】（1）解：由函数是否是，可得， 因为对 ，所以 ， 即对任意实数 成立， 所以函数是函数的 “ 2 导控函数” . （2）解：由函数，且， 可得， 对任意实数，都存在常数，使得 成立， 设，则， 由， 当时，；当 时， . 即在上严格减，在上严格增， 所以， 即对任意实数，成立， 所以导控系数的取值范围是 . （3）证明：充分性：若存在常数，使得恒成立， 因为，所以， 即， 即对任意实数成立，所以. 必要性：若，则， 因为函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ①， 由，得函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ，即， 用代换，得对任意实数 ②， 由①②可知:对任意实数 ，即， 所以存在常数，使得恒成立， 综上可得: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 12．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)“绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． (1)判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； (2)点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； (3)写出的包络的方程，并给出证明． 【答案】(1)在，理由见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由两点坐标，则可得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程的性质，可得答案； （2）由（1）所得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程无解的情况，建立不等式，可得答案； （3）由题意写出曲线方程，利用导数的几何意义，求得任意一点的切线方程，整理可得答案. 【详解】（1）由，，则直线的斜率， 所以直线AB的方程为 将的坐标代入AB的方程，得到关于a的方程， 即，因为，所以此方程有实数解， 因此点在中的某条直线上． （2）点不在中的任意一条直线上， 所以关于a的方程无实数解，即无实数解． 因此，解得． 因此，的取值范围是． （3）的包络是抛物线． 证明如下： 过点和的直线的方程是， 该直线与抛物线切于点． 设为抛物线上任意一点，由函数求导可得， 在处的切线方程是， 将代入整理得，． 取，该切线方程为， 整理得，是过点和的直线． 因此，抛物线是的包络． 13．(24-25高二下·上海建平中学·期末)牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 【答案】(1)－1.35 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）构造函数，再根据题设定义，即可求解； （2）（i）点的坐标为，根据条件可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得，即可求解；（ii）根据条件，先证明，进而证明，即可求解. 【详解】（1）当时，令， 则，所以，又， 所以曲线在处的切线为， 令，得，则． 又， 曲线在处的切线为， 令，得，则， 故用牛顿迭代法求原方程满足精度的近似解为－1.35． （2）（ⅰ）设点的坐标为，则，即， 所以，得到，解得，则， 又，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则． 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意的正实数都有，即当时，都有． （ⅱ）因为在上单调递减，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是在的极大值点，也是在的最大值点， 即． 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得①． 曲线过点（1，n－1）和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，即在上单调递减， ． 因为，且，即和都在的严格减区间内， 所以，即， 所以，即． 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得②． 由②①，得， 即证得． 14．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 【答案】(1)不具有性质，理由见详解. (2)证明见详解. (3)单调递减区间为，单调增区间为， 函数不具有性质，理由见详解 【分析】（1）由题可得即可判断不具有性质； （2）根据题意当时，可得，所以函数不具有性质； （3）对确定定义域并求导，根据导函数的正负确定单调区间，当时，可判断，再构造函数，求导可证得，即，从而得到，故函数不具有性质. 【详解】（1）由题知， 则， 所以函数不具有性质. （2）证明：不妨取时，因为函数在定义域上严格减， 所以，， ， 所以函数不具有性质. （3）函数定义域为， ， 当时，，当时， 所以函数单调递减区间为，单调增区间为， 性质的判断， ，则， 在单调递减，，即， 令， ， 所以在单调递减，，即， 所以， 综上，， 故，函数不具有性质. 15．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知函数的定义域为D．若存在非空集合和，使得对任意的，，都有，且成立，则称函数具有“AX”性质． (1)若，，．试判断是否具有“AX”性质； (2)若，，．求证：具有“AX”性质； (3)若，，A中元素的最小值为．求所有使具有“AX”性质的集合A的并集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，分别计算与，再比较大小，可得答案； （2）由题意，利用作差法并分解因式，再构造函数，根据其单调性以及二次函数性质，可得答案； （3）根据三角函数的性质，分段分析证明不等式成立，利用三角函数恒等式，可得答案. 【详解】（1）已知对于任意，则， 由，且，则， 不满足成立，所以不具有“”性质. （2）已知，函数定义域. 对于任意，则. 由 ， 因为，所以， 令在上单调递增，则. 由，即. 所以，即成立，所以具有“”性质. （3）已知中元素最小值为，函数定义域. 设，对于任意，且成立. 当时，，此时，满足. 当时，，，显然满足. 当时，. 当时，，因为，所以. 下证当时，对成立： 令 根据和差化积公式， 则， 因为，所以,, ，则， 在上单调递增，，即. 当时，，则，整理得， ，而当，则，不符合题意， 所以满足条件的是，其并集就是. 16．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. (1)设，，求，； (2)已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同的、，与至少有一个成立”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按照，的定义利用求导求解即可； （2）由题意可得是在处的切线，分分别求解即可； （3）按照，的定义，及充要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为，，求导得， 所以在上为单调递增函数， 所以当时，， 因此 （2）因为，所以， 令可得，又，故， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 表示过点，斜率为的直线， 当时，函数，在上都单调递增， 所以， 等价于对任意的，不等式恒成立， 整理得， 当时，，成立， 当时，， 所以， 当时，此时， ，所以，不符合题意舍去； 当时，此时，， 因为函数的导函数， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，故 所以，故时，不满足条件，舍去， 所以， 综上所述，的取值范围为. （3）①证明充分性: 若为上的单调增函数， 则任取， 由题意可得， ， 因为，所以或， 因为为上的单调增函数， 所以或， 所以或成立. ②证明必要性: 首先证明：对任意，都有， 否则存在，使得或， 若存在，，则存在，使得， 记，，， 则 设 则或， 对应有或，均与题目条件矛盾， 当存在，使得时，同理可推出矛盾. 因此假设不成立，即对任意，都有.(*) 下面证明：为上的单调增函数. 否则，则存在、，满足，且. 由(*)可知， 此时在区间上，存在，使得. 重复前述命题的证明过程，可以推出矛盾. 因此假设不成立，即为上的单调增函数. 即证. 17．(23-24高二下·上海奉贤区·期末)对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 18．(23-24高二下·上海金山中学·期末)设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质 (2)； (3) 【分析】（1）直接利用函数的单调性即可判断； （2）将原问题转化为对任意恒成立，再通过讨论a的取值范围去掉绝对值符号即可求解答案； （3）由题意知对恒成立，根据函数具有性质求出的值，再将转化为，结合导数知识求解即可得的最小值. 【详解】（1）因为函数是R上的增函数，所以，即函数具有性质， 函数是R上的减函数，所以，即函数不具有性质． （2）由题意知，对任意恒成立， ①当时，原不等式等价于， 即恒成立，故，则满足； ②当时 （i）当时，原不等式等价于， 即； （ii）当时，原不等式等价于， 即，即， 则当时满足； ③当时，原不等式等价于， 即满足； ④当时，当时，原不等式等价于， 即，不满足； ⑤当时，原不等式等价于， 即满足； 综上的取值范围是． （3）由题意知对恒成立， 令得，又， 又， ， 令， 则，因为不存在，使得， ， 当时，， 当时，在上递减则当时，满足条件， 则的最小值为． 【点睛】关键点点睛：函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.像第2小问这种涉及绝对值的不等式，需要通过分类讨论的思想方法先去绝对值符号，再求解.第3问涉及求参数的取值范围问题，一般可以构造函数，结合导数知识求解，也可以进行参变分离，利用函数性质或导函数求最值即可. 19．(23-24高二下·上海交通大学附属中学·期末)如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯． (1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标； (2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由； (3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）； (4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值． 【答案】(1) (2) (3)②，理由见解析 (4) 【分析】（1）求导，得到，根据斜率乘积为-1得到另一个端点的横坐标，得到答案； （2）设出两端点，求导，得到，不妨设，求出，故，得到答案； （3）结合圆，直观得到②满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大，故选②； （4）设上两点满足直角弯，故，显然一正一负，不妨设， 故，求出，要想取得最大值，则取得最小值，表达出，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到答案. 【详解】（1），，， 设以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标为，， 则，故，解得， 故，所以另一个端点的坐标为； （2）假设上存在直角弯，且两端点分别为，，， 则，， 故， 若或，此时，故上式无解， 要想上式成立，需一正一负，即一个比1大，一个比1小， 不妨设， 则， 由于，故当，即时， 无解， 故端点横坐标的取值范围是； （3）如图所示，，， 直观看出②满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大，故选②； （4），， 设上两点满足直角弯， 故， 显然一正一负，不妨设， 故， 由于，故，解得， 由得， 要想取得最大值，则取得最小值， ， 设，， 则， 令得， 令得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 故， 所以曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值为. 【点睛】新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，此类问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （3）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 20．(23-24高二下·上海上南中学·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间和最值； （2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值. 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点. 21．(23-24高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 22．(23-24高二下·上海洋泾中学·期末)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23．(23-24高二下·上海闵行区·调研)若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断. 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 【点睛】方法点睛：根据过某点切线方程（斜率）或其与某线平行、垂直或重合等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解． 24．(23-24高二下·上海南汇中学·期末)已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可. （2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值. （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论. 【详解】（1）函数，求导得， 则在上单调递增，所以. （2）令，，求导得，即函数在上递增， 则，而对任意恒成立，因此； 要对任意恒成立，只需在恒成立， 令，，求导得，由，得， 当时，，函数在上递增，成立，于是， 当时，，函数在上递减，，不符合题意， 当时，则当时，，函数在上递减，此时，不符合题意， 因此，从而， 所以的最小值为. （3）令，， 求导得，令，，求导得， 则函数在上单调递增，显然， 于是存在，使得，即，当时，， 当时，，则函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上递减， 即，则， 从而，，即， 所以的图象恒在直线上方. 【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 25．(23-24高二下·上海延安中学·期末)已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案； （2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则或；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为； （2）因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则，定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； 又， 当时，，在上单调递增； 当时，需在上恒成立， 即在上恒成立， 对于，图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立，需满足且， 解得， 综合可得，即a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解. / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题06导数及其应用压轴题综合 1.C 2.C 3.B 4[罗 5.(8,46 6.(1)结合题意令f(x)=tan 当xeo时，e0引 则其值域为[0，+∞)，满足条件①， 根据复合函数单调性知f(x)在[0，)单调递增，则其满足条件②， 故可取e)=am (2)假设有∫(x)是集合Z到Q的一个完美对应， 则有f0)=a,f0=b,其中a<b∈Q,于是，a+b 2 Q, 由完美对应的定义，存在整数，使得f似)=a+b且0<k<1, 2 这与k为整数矛盾，故假设不成立 所以，整数集Z到有理数集Q之间不存在完美对应 (3)-00,- 35 2 U0yU[3,+∞) 7.当(k,b)=（0,-1时，1：y=-1, f(x)-（-1)=x2+1>0,对xeR恒成立，故M≠⑦； (2)b≤-1 (3)设g1x=f(x-(kx+b),g2（x)=f(x-(-kx+b), 若对任意k,b)∈M,都有(-k,b)∈M,直线4：y=x+b与l:y=-kx+b的 即g(x)与g,x)都存在最小值，且最小值相等， 设g（x)在x=x处取得最小值，g2x在x=x2处取得最小值， 故g1x)=g2x2),f(x)-(+b)=f(x2)-(-x2+b), / 让教与学更高效 25题) ∫-距离”相等， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(x)-kx=f(x2)+kx2, 其中g(x=f'(x)-k,g2'(x)=f'(x)+k, 则81(x)=∫'(x)-k=0,82(x2)='x2)+k=0, 故f'(x)=k,f'（x2)=-k, 若k≠0，因为y=f'(x)在R上严格增，所以'(x)≠∫'(x2),故x≠x2, 要想fx)-x=fx2)+kc恒成立，需满足x=-x2且∫(x)=fx, 由于x,x2的任意性，可知y=∫x)是偶函数， 若k=0,此时直线4与马重合，y=∫(x)是偶函数满足要求， 综上，y=f(x是偶函数 8.(1)y=-1 (2)0,+0 3)1 wix)x.2-ind. 2an 设-+2行1国-立- 11 因为a>1,当x>1时8到在+单调递塔，g小>8=1，故a>1. ---re-. 即9到在+a单调2增，则p>9=0,故当e)时，x-》n 即aa-1<a,-la-<<2(a-=2 所以a,-1<a22,即a,<+1a22: 1 11 11 1 故S,=4+a++a,<2+2+… 2+n=22m 1了*n=1 20+n<n+1. 2 9.(1)a∈[-5,5] 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)f(x=e sinx)cosx 10.(1)因为正余弦的两种性质：①平方关系：sin2x+cos2x=1,②导数： (cosx)=-sinx sh'(x)=ch(x) 类比得到①ch2(x-sh2(x=1, ② ch(x)=sh(x)i (2)t<V5-2ln2+W5 ch(x)=e'te 2， 则ch'(x)=e-e 人，e-e则ly三一2-m409 2 2 2, 同y-e二-m+g”,联立求得P叫m+1e, 2 2 4- e+e 41-me+(m+小e: 同理，求得So=1-则e+m+小e, G(m)=5m5o-( 当m>0时，记g(m=(1-m)2e2m-(m+1)2e2m, hm)=g'(m)=(2m2-2m）e2m+2m2+2m)e2m,h(m)=(4m2-2j(e2m-e2m）, 当0<m<5时，m<0,即gm)在0, 严格减， 2 2 当5<m≤1时，hm>0,即g在 2 / 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 易得g1。>0，g 2 ≈-1.12<0，g'(0)=0, 故存在m,∈ 2 使g'(m)=0, 此时，g(m)在(0，mo)严格减，在mo,1严格增， 又g0=心8间<0，放c=六，在0严格格，在严体减。 故存在两个不同的m1,m2∈(0,1，使G(m1)=G(m2）, 因为8'(m)=(2m,2-2me2+(2m,2+2m,e2=0即e=m,+1 1-mo 此时Gm,=6m+e0-1-m产e] 1621-mm≤6-m+m)=6当且仅当风-2时取等， 2 因为三，<1，故对任意me0.Gm<6 11.(1)解：由函数fx=2x是否是gx=sinx,可得f'(x=2,g'(x)=cosx, 因为对xeR,g'(xe[-1,1,所以'(x)-2g(x)=2-2cosx≥0， 即对任意实数x∈R,f'(x)≥2g'(x成立， 所以函数fx)=2x是函数gx=six的“2导控函数”. (2)解：由函数f(x)=-x4-4x3-12x2-20x,且gx=e, 可得f'(x)=-4x3-12x2-24x-20,g(x)=e>0, 对任意实数x∈R,都存在常数k,使得 之k成立， g(x) 设对=-4-12-24-20，则以 4x3-_4(x-1(x2+x+ g'(x e e 1)23 由x2+x+1 x+ G+ x+24>01 当x∈(-oo,l时，h'x<0；当x∈(1，+o时，h'(x>0 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 即hx在-o,1上严格减，在1，+o）上严格增， 所以h(x)≥h1=-4-12-24-20.60 e e f'(x)、60 即对任意实数x∈R, ≥-成立， g'(x)e 所以导控系数的取值范围是（←0，-6] (3)证明：充分性：若存在常数C,使得px-qx)=c恒成立， 因为gx=q-x,所以p(x=p(-x), 即2025+m.2025=2025x+1m.2025, 即对任意实数x∈R,(m-1)(2025-2025）=0成立，所以m=1. 必要性：若m=1,则px)=2025"+2025=p(-x), 因为函数y=p(x是函数y=qx的“1导控函数”， 所以对任意实数x∈R,p'x≥gx)①， 由9(-x)=qx),p(-x=px),得函数y=p-x)是函数y=q-x的“1导控函数”， 所以对任意实数x∈R,-p'(-x)≥-9（-x),即p'(-x)≤g(-x, 用-x代换x,得对任意实数xeR,p'x≤g(x②， 由①②可知：对任意实数x∈R,p'x=q'(x,即p'x-q'(x=0, 所以存在常数C,使得px-qx)=c恒成立， 综上可得：“m=1”的充要条件是“存在常数C,使得p(x-qx=c恒成立”. 12.（1)由4a,,8(a-99-a,则直线AB的斜李k=a-9-a_2a-9 a-(a-9）9 所以直线AB的方程为y=2a-9 9-(x-a)+a 将P(0,4的坐标代入AB的方程，得到关于a的方程4=2a-9(0-a+a, 9 即a2-9a+18=0,因为△=(-92-4×18=9>0，所以此方程有实数解， 因此点P(0,4)在下中的某条直线上. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)点C(1,o)不在中的任意一条直线上， 所以关于a的方程=20.91-a+a无实数解，即2a2-20a+91+y小=0无实数解 因此4=400-721+%<0，解得%>18+29 、1.941 因此，的取值范围是 41 9 +00 (3)下的包络是抛物线y= 2.9 182 证明如下： 过点(a,a)和(0-9,9-a的直线的方程是y=2a9( 9(x-a)ta, 该直线与抛物线y=+? 切于点 2a-92a-929 -+ 182 182 设T}为嘴物线y-后上任密一点，由面数y-后？果导可得y一号 91 在T(x,y处的切线方程是y=(x一x)+片， 9 将=片+？代入整理得，y=。x5+9 182 9182 取a9+五，该切线方程为y=g一x-a9.9 2 +2 18 整理得y=20-9 (x-a+a,是过点(a,a和(a-9,9-a的直线。 因此，起物线y后是「的包名。 13.(1)-1.35 (2)(i)fx≤gx): (ⅱ)因为f'(x)=n-nx-在(0，+0）上单调递减，f'(1=0, 所以fx在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减， 所以x=1是f(x)在(0，+o)的极大值点，也是∫(x)在(0，+o)的最大值点， 即f(xmx=f1=n-1>0. 又f(0)=∫(x。)=0,所以当方程f(x=a有两个根时， 必满足0<x1<1<x2<x。,且0<a<n-1, 耐学科网 www.zxxk.com 曲线y=f(x)过点(1，n-1和点(0,0)的割线方程为y=(n-1x. 下面证明：f(x>n-1x(0<x<1. 设ux=f(x-（n-1x=x-x"(0<x<1, 则1-r0c.令=0.行x=月户 所以当0<x< 所以u(x)在 上单调递增，ux>u(0)=0, 上单调递减，ux)>u(1=0, 所以当0<x<1时，ux)>0,即fx>n-1x. 因为0<x<1,所以a=f(x)>(n-1x,解得x<a,①. n-1 曲线=过点，n=D和点七，0的别线方程为”-办 下面证：>-<小. 反叫=a安--做r--n小， 1-x0 则v()=n-r-”1<x<,即v在，)上单调递减。 1-x0 1-n nm-1 因为+n+1-+日>a1-ce0=,且+分之1.即1+利 n 1 所以x。=n>1+ ,即n时-1>1 n 1 所以n-1 一>0，即'(x)<0. n"-1 -1 由零点存在性定理可知，存在x,∈(1，x。),使得v'（x3)=0, 所以当1<x<x时，v'(x)>0;当x3<x<时，v'(x<0, / 让教与学更高效 都在fx)的严格减区间内， 学科网 www.zxxk.com 所以v(x)在(1，x)上单调递增，y(x>v(1)=0, 在(x3,xo)上单调递减，v(x)>v(xo)=0, 所以当1<x<x时，>0，即f>”-(x-x. 1-x0 因为1<5，<，所以a=f小>-，解得名>1-小+无@ n-1 即证药%x>(} 14.(1)由题知xm+1=g(xn)=xn+b, X+x+2=X+x+b=2x+2b=2x+=2x+26; 所以函数gx)=x+b不具有性质T. (2)证明：不妨取xn<xn1时，因为函数y=mx)在定义域D=-o,+0)上 所以xn<xa+1=m(xn)，xn+2=m(X)<mxn)=xn+1? .xn+xn+2<Xn+1+xn+1=2xn+1, 所以函数y=mx)不具有性质T. (3)函数h(x定义域为0，+0)， h(x==-0x=l, 当x∈(0,1)时，h'x)<0,当x∈1，+oo)时h'x>0, 所以函数h(x单调递减区间为0,1)，单调增区间为1，+∞)， 性质T的判断， 巧0，，则=)=m七+ :hx在(0,1单调递减，h(x)>h(1=1,即x2>1, 令u()=1nx+-xx>, w=-1 r2 让教与学更高效 严格减， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 所以ux在1，+o单调递减，ux)<u(1=0,即lnx+二<x, 所以x3=h(x2)=nx2+ 综上，x+x<2x2, 故x∈(0，l),函数(x)=lnr+I不具有性质T. 12 15.(1)己知f(x)=x+1,A={2,X=R对于任意a=2∈A,x∈X=R,则ax=2xeR=D, 由f(ax)=f(2x)=2x+1,af(x)=2(x+l=2x+2,且2x+1<2x+2,则f(ax)<af(x), 不满足f(ax≥afx成立，所以y=fx不具有“AX”性质. (2)已知fy=2+,A=(2,+o),X=l,+切)，函数定义域D={xx0. 对于任意a∈A=(2,+o),x∈X=[1,+oo),则ax∈(2，+0)sD 由fax-a时(=(ar2+-ax+=a2x+1-ar2-a ax x ax -(o-a)x+L-a-(a-o)x-a-I-(ala-I)x-(a-I)ia+D ax ax ax -to-a-)(--t ax 因为a>2,x≥1，所以a-1>0,ax>0, 令gx=a2x3-(a+1,gx)在1，+o)上单调递增，则gx)≥g(1=a2-(a+1=a2-a-1. e>2c-1--g2-21=1>0,-1p>0 所以fax-af(x>0,即f(ax)≥af(x成立，所以y=f(x具有“AX”性质 (3)-1U[0, 16.(1)M,(D)=e2-4,mr(D)=e-2 (2)[6,+0∞) (3)①证明充分性： 若f(x)为[0,1]上的单调增函数， 则任取D1=a,b,],D2=[a2,b], / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意可得M（D)=fb),Mr（D2)=fb), mr(D)=f(a),mr(D)=f(a), 因为D,≠D2,所以a1≠b或a2≠b, 因为f(x)为[0,1]上的单调增函数， 所以fa)≠f(a2)或f(b)≠f(b), 所以M,(D)≠M,(D2)或m(D)≠m(D2)成立. ②证明必要性： 首先证明：对任意xe(0,1),都有0<∫(x)<1, 否则存在xe(0,1),使得f(x)≤0或f(x)≥1， 若存在x∈(0,1)，f(x)≤0，则存在x。∈(0,1)，使得m([0,1)=f(x), 记D=[0,1],D,=[0,x],D2=[xo,1], 则m(D)=m,(D)=m(D2), 设M(D)=f(x),则x∈D,或x,eD, 对应有M(D)=M(D)或M,(D)=M,(D),均与题目条件矛盾， 当存在x∈(0，)，使得f(x)≥1时，同理可推出矛盾 因此假设不成立，即对任意xe(0,),都有0<∫(x)<1.() 下面证明：∫(x)为[0,1]上的单调增函数 否则，则存在X、x2∈[0，，满足x<x2,且f(x)≥f(x2) 由(*)可知x1≠0，x2≠1， 此时在区间[x,0]上，存在x∈(x,1),使得m(x,1)=f(xo) 重复前述命题的证明过程，可以推出矛盾 因此假设不成立，即f(x)为[0,1]上的单调增函数 即证 17.(1)因为Vx2-1≤x≤Vx2+1对x∈[1，+o)恒成立， 所以存在一条分界线， (2)-1≤b≤1 学科网 www.zxxk.com (3)画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数y=elnx与yx的一个交点远c(小，》 再猜想：直线y-。=(x-C)和函数y=elnx相切于C,则k= y-elnx 下面从两个角度去证明该直线是分界线： -方面：-(6x-引x-620, 所以x-esx2 22 另一方面：令H(x)=elnx- 则H=e-√E=0,解得x=,则H)在(0，)上严格增，在(E,+o) 所以H(x)sH(E)=0,即所以Vx-S≥eInx 所以enr≤ver号对r对e0网恒院立 2 18.(1)函数y=x具有性质Po.224(6),函数y=2不具有性质Po.224(6) (2)-0,3U[7,+0）; o号 19.5 f. (3》如图所示，k-x<,-,K-广压-x' 1 直观看出②xp-x 一满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大， / 让教与学更高效 上严格减， 故选②； 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 X3 (421n2+1 20.（1)由题意得：fx定义域为0，+0， 若a=1,则fx=nx-x,f"(x)=上-1=1-x, x 当x∈(0,1)时，f'x>0;当x∈(1，+0)时，f'x<0; 所以fx)的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1，+0），函数f(x)的最大值为f(1=-1,无最小值 (2)由题意得：f(x)定义域为0，+o),f(x)=1-a=1-ar, 1 当a>0时，令f'x=0,解得：x=二， a 当xe0时.f>0:当g,f到k0: a 可知小到的单闲递增区间为》，单调院减区间为合+松小 ①当1≤1，即a≥1时，f(x在l,2]上单调递减，则f(x)m=f2)=lh2-2a ②当。≥2，即0<a≤)时，f()在l,2]上单调递增，则f(x)m=f八0=-a: ③当1<。2，即a<1时，f在[)上单调递塔，在日2]上羊调還减。 则f(xm=min{f(),f(2} 因为f1)=-a,f(2=ln2-2a, 当-a≤1n2-2a,即)<a≤n2时，fxm=f0=-a; 当-a>ln2-2a,即ln2<a<1时，f(x)mm=f(2)=lh2-2a; 综上所述：当a∈(0，ln2]时，f(xmn=-a;当a∈(ln2,+o时，f(xm=lh2-2a 21.)f-刘+f=,故-到--+-=0. 其中()=fx刘-)2，则x刘+=0， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 其中=f定义域为R,故（到=到为奇函数， (2)由gx=x得e-√er=a,令h(x)=e-x,则h(x)=e-Ve 令1国=e-6>0,解得x分令1到k0,样得分 所以(=。-E在(，》单调递减，在行+上单调遍增。 天p)6-9-9, 故当a<时，e-6x=u无解，当a=e时，e-r=a有1个解， 2 2 当a>时，e-6x=a有2个解， 2 综上，当a<E时，函数gx没有不动点； 2 当a=ye时，函数gx)有1个不动点： 当a>e时，函数g(x)有2个不动点 22.(1)y=-1 (2)0或3 ()2n2 23.(1)对于函数y=c0sx: 由函数y=cosx的图象可知：y=1和y=-1为函数y=cosx的“自公切线”， 所以函数y=Cosx的图像存在“自公切线”； 对于函数y=e:则y=e,可知y'=e在R上单调递增， 可知x≠x2,可知e≠e,即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数y=e的图像不存在“自公切线” (2)y= e (3)假设函数y=∫x)的图像存在“自公切线”，设为y=kx+m, 因为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则f'(x=3ax2+2bx+c, / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(xo)=axo+bxo+cxo+d,f(xo)=3axo+2bxo+c, 可知y=f(x在x=x处的切线方程为y-ax+bx+cx。+d)=3ax+2bx+c(x-x,), 整理得y=(3ax+2bx。+cx-2ax+bx-d, 3axo+2bxo+c=k 则 3ax+2bx。+c-k=0 ,即 -(2ax+bx-d）=m’即l2ax+bc+m-d=01 x+x=-3a 可知方程3ax+2bx。+c-k=0有两个不相等的根x,x2,则 _c-k =3a 且x1,x2也为方程2ax。+bx。+m-d=0的根， 2ax+bx+m-d 2ax;+bx2 +m-d, 整理得2a(x-x2)x2+xx2+x)+b(x-x2)(x+x2)=0, 且≠七3，即x-x2≠0， 可得2a(x+xx2+x号)+b(+,)=0,即2a(x+x,)-xx2+b(x+)=0, 可62。(8-0，：0 则3ax+2b,+3a =0,整理得(3ax+b2=0,解得x=-3a b 即此时方程3ax+2bx。+c-k=0只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数y=∫(x)的图像不存在“自公切线” 24.（1)函数f(x)=(x-1)e+1,x∈[0,1]，求导得f"(x)=xe*≥0， 则f(x)在[0，山上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0. (2)e-2 3 (3)令p()=f)-(r-2=x-e-x+2,xe0,1, 求导得o'(x)=xe-1,令y=xe-1,x∈[0,1]，求导得y'=(x+1)e>0, 则函数p在@上单调递增，显然p(= 2 -1<0,p'①=e-1>0, 于是存在x∈分，)，使得p()=0,即e-,当0<x<6时，p<0, 学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 当x<x<1时，0'(x)>0,则函数p()在[0，x)上递减，在(x,1]上递增， +--+, 因此p(am=p(x,)=(G-1e0-+22 xo 而函数=+在兮》上递减， 1 即x x02 2=5 ,则p(x)mm=p(x,)>0, 从而x∈[0，，p()>0,即f)>x-2 1 所以口的图象恒在直线)=一上方 25.0-h2- (2)[0,8周] /