专题05 导数及其应用（5大考点46题，基础知识全掌握）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦导数及其应用专题，涵盖5大核心考点，46题汇编自上海多区多校期末真题，注重基础概念与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|约10题|导数概念、单调性判断等|结合图像辨析切线斜率（如第1题）| |填空题|约20题|导数运算、极值点存在条件等|考查导函数几何意义（如第5题切线方程）| |解答题|约16题|单调性、极值、最值综合应用|含实际情境（如第43题易拉罐体积优化），多问递进设计（如第33题含单调性讨论与零点问题）|

专题05 导数及其应用 （5大考点46题，基础知识全掌握） 3大高频考点概览 考点01导数的概念及意义 考点02导数的运算 考点03利用导数研究函数的单调性 考点04 利用导数研究函数的极值 考点05利用导数研究函数的最值 地 城 考点01 导数的概念及意义 一、单选题 1．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 二、填空题 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 【答案】/ 【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数的最小值. 【详解】由题设有， ， 故，， 故， 因为函数图像上任意一点处的切线为， 总存在函数图像上一点处的切线，使得， 故为的子集， 所以，解得，故实数的最小值是， 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知在处可导，若，则__________． 【答案】2 【分析】由导数得定义计算即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为：2. 4．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【答案】 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知曲线在处的切线方程为，则_______． 【答案】1 【分析】由题意先求，利用导数的几何意义求即可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以， 故答案为：1. 6．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由，又，所以. 所以. 故答案为： 7．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)设函数在处可导，且，则______. 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可知：. 故答案为：3. 地 城 考点02 导数的运算 一、单选题 8．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)函数（）的驻点为（   ） A．（1，0） B．（1，2） C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据驻点的知识求得正确答案. 【详解】令，解得（负根舍去）， 所以驻点为. 故选：C 二、填空题 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是______． 【答案】 【分析】求导即可列方程求得点的横坐标，进一步代入可得点的纵坐标. 【详解】设点的横坐标为，求导得，所以，解得， 所以. 故答案为：. 10．(24-25高二下·上海川沙中学·期末)函数的导函数________． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，代入数值计算即得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 11．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 【答案】 【分析】求函数的导函数及导函数在时的值，结合导数的几何意义求结论即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为， 故答案为：. 12．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)函数的驻点为______． 【答案】 【分析】对求导得，再利用驻点的定义，即可求解. 【详解】因为，则，令，即， 解得， 故答案为：. 13．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)函数的导数______． 【答案】 【分析】先求出导函数；再将代入即可求解. 【详解】由可得. 则. 故答案为：. 14．(24-25高二下·上海虹口区·期末)曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 【答案】 【分析】根据已知得、、，进而得到，则，最后求出，即可得参数值. 【详解】由题意，， 的导数为，在处斜率为， 的导数为，在处斜率为， 根据题意，， 结合和、，得， 对于，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，显然均为正数， 而在上单调递增，故，即， 此时：， 设，方程变为：或， 当时，， 当时，不符， 综上：. 故答案为： 15．(24-25高二下·上海虹口区·期末)函数的导数_____． 【答案】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及加法法则求导即可. 【详解】由. 故答案为： 三、解答题 16．(24-25高二下·上海静安区·期末)设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， .(或) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式求切线方程即得； （2）设另一条切线对应的切点为，写出切线方程，代入点，得到方程，解方程得，利用两条切线的斜率和到角公式即可求出两切线的夹角. 【详解】（1）由，可得，且， 故， 故以点为切点的切线方程为，即. （2）设经过点与函数图象切于另一点的切线存在， 则切线方程为：， 将代入直线方程得， 化简得：， 解得，即存在另一条切线，其斜率为． 设两条切线夹角为，则，或， 则夹角.(或) 17．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知函数，（），其导函数为． (1)若，求的值； (2)若的图像过点与，求原点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，据此可得答案； （2）由题目条件得到，可将直线化简为：，然后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）， 则； （2）因的图像过点与， 由（1），. 由题可得直线存在，则，则， 则原点到直线的距离为. 地 城 考点03 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 18．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，分别判断两个命题的真假，得出答案. 【详解】当为奇函数，则，则， 根据复合函数求导可得， 则有，即，可知为偶函数，①是真命题， 当时，，即函数，使得在定义域上单调，但在定义域不单调，所以②是真命题. 故选：A. 19．(24-25高二下·上海虹口区·期末)对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性可得，的奇偶性，再根据时判断当时的正负，即可求解. 【详解】已知函数是奇函数，函数是偶函数， 则为偶函数，为奇函数， 又当时，，则当时，， 对于A选项，与的大小关系无法确定，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，与的大小关系无法确定，故D错误． 故选：B． 二、填空题 20．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 21．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 【答案】 【分析】由导数可得单调递增，然后由定义可得答案. 【详解】注意到，则在R上单调递增. 则. 故答案为：. 22．(24-25高二下·上海静安区·期末)函数在闭区间上的零点_______． 【答案】 【分析】根据函数单调性结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】函数在闭区间，. 因为在单调递增，所以函数在闭区间上只有一个零点. 所以函数在闭区间上的零点只有一个且为0. 故答案为：0 三、解答题 23．(24-25高二下·上海虹口区·期末)设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【答案】(1)递减区间为(0,2)，递增区间为； (2)； 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． （2）由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 地 城 考点04 利用导数研究函数的极值 一、单选题 24．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 二、填空题 25．(24-25高二下·上海实验学校·期末)若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意可得在上无变号零点，根据二次函数性质求解. 【详解】因为， 令， 由题意可知，或，解得. 故答案为：. 26．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 【答案】 【分析】根据导函数的图象确定区间单调性，进而判断极值点个数. 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 27．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 【答案】343 【分析】分析函数的性质，由对应取值的情况分类讨论求出的个数即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递减，在处既得极大值，在处取得极小值， 因此对应取值可以是1个、2个或3个，且当或时，取值只有1个； 当或时，取值只有2个；当时，取值有3个， 当对应的个数均为1时，集合的个数为1； 当对应的个数为两个1，一个2时，集合的个数为； 当对应的个数为两个1，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个2时，集合的个数为； 当对应的个数为1，2，3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数为两个2，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个2，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数均为3时，集合的个数为， 所以符合要求的集合的个数最多为343. 故答案为：343 28．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求导，由题意得是方程的两个解，即是方程的两个根，得，由得，即，利用对勾函数即可求解. 【详解】令， 则是方程的两个解，也即方程的两个根． 所以有且， 等价于，解得 易知， 而 ， 所以 故答案为： 29．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同零点的问题，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】函数的定义域为，， 函数既有极大值又有极小值， 在上有两个不同零点， ，解得：，即的取值范围为. 故答案为：. 30．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用函数与方程的思想，将函数有且只有一个零点问题，转化成直线与函数的图象有且仅有一个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值，作出函数的图象，数形结合即可求得参数的范围. 【详解】由可得， 依题意，直线与函数的图象有且仅有一个交点. 因，由可得或，由可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极大值，即； 当时取得极小值，即， 且当时，，当时，，如图所示.    由图可得，要使直线与函数的图象有且仅有一个交点， 需使或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 31．(24-25高二下·上海青浦区·调研)已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 【答案】4 【分析】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【详解】定义域为， ， 由题意得， 故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 故答案为： 三、解答题 32．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 33．(24-25高二下·上海实验学校·期末)设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 34．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)已知函数．求函数的单调区间和极值． 【答案】答案见解析 【分析】利用导数与函数单调性的关系，求导，研究导数与零的大小关系，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 故函数的极大值为，极小值为. 35．(24-25高二下·上海青浦区·调研)定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. (1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； (2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; (3)若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)具有“对称互补”关系，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； （2）由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 （3）由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 地 城 考点05 利用导数研究函数的最值 一、单选题 36．(24-25高二下·上海实验学校·期末)在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】对于①，由题意，进一步即可判断；对于②，将题目转换为只需证明，即可. 【详解】设，易知， 单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，所以，故①正确； 设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 又，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 下面证明，只需证， 由于，在上单调递减， 即证，即证. 设，， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 故，即成立.故②正确. 故选：A 37．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】设圆锥的高为，求出该圆锥体积的函数关系，利用导数求出最大值，进而判断得解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则， 圆锥的体积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当，时，圆锥的体积取得最大值， 此时圆锥的母线与底面所成角，有，，①正确； 而，则圆锥的体积不能取到，②错误. 故选：B 二、填空题 38．(24-25高二下·上海实验学校·期末)函数在上的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】因为，则， 又恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故答案为：. 39．(24-25高二下·上海浦东新区上海师范大学附属中学·期末)已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 40．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】. 【分析】利用求导，根据已知极值，可知导数值为，由此可解得参数，，再利用不等式恒成立，只需要满足最小值成立即可得，从而问题可得解. 【详解】由题意知，因此，从而. 又求导得， 又由题意可知，因此，解得； 故.令，解得. 1 0 + 极小值 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为； 所以在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需.即， 从而.解得或. 所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 41．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】(1) (2)（i）和； （ii） 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果. （2）（i）通过导数可求的单调递增区间. （ii）分析函数的极小值，与作比较可得结果. 【详解】（1）由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 综上得，. 42．(24-25高二下·上海浦东新区上海师范大学附属中学·期末)已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)0； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减，， 所以函数的最大值为0. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，在上递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 43．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． (1)基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． (2)设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】（1）由题意整理易拉罐本身的质量的函数解析式，利用导数研究其单调性，从而求其最值，可得答案； （2）根据圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】（1）设易拉罐的高为h与底边半径为r，则． 依题意，即求当取最小值时的值． ， 令，求导可得， 令，解得，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时取最小值． 因此，易拉罐的高与底边直径的比是2． （2）圆台的体积可看成是两个圆锥的体积的差，当圆台的上底面半径为r，下底面半径是R，高为h时， 设小圆锥的高为x，则有，解得． 因此圆台的体积为：． 该易拉罐的体积为． 44．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)存在，有2条. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数探讨函数的性质，将问题转化为直线与函数图象的交点个数求解. （3）设出与曲线均相切的直线切点，再利用导数的几何意义建立方程，转化为函数零点个数求解. 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解. （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. 45．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)已知为实数， (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若在和上都是递增的，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）根据条件得到，再求出在上的单调性，即可求解； （2）根据条件有，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又，则，解得， 所以，， 令，得到或， 当时，，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）因为，易知的图象过点，且开口向上， 又在和上都是递增的， 则需满足，即，解得. 46．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 专题05导数及其应用(5大考点4 目目 考点01 导数的概念及意义 1.C n5 2. 2 3.2 4.4050 5.1 7.3 目目 考点02 导数的运算 8.C 9.（2,1 1a9分6 11.1 12.x=3tkkcz 13.2 14.2ln2 15.cosx-sin x 16.(1)6x-y+6V3=0 (2)存在，日=arcco 14V37 (或0=arctan 27 185 14 1.0号 (2 2 目目 考点03 利用导数研究函数的单调性 18.A 19.B 让教与学更高效 6题) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.b>1 21.(-0,2025] 22.0 23.(1)递减区间为(0,2)，递增区间为(2，+0)； (2)a=1; 目目 考点04 利用导数研究函数的极值 24.D 25.a≥-2√2 26.1 27.343 28.[-3,+0 29.(00 30.(-m,2U(G3+o) 31.4 32.(1)y=-2 (2)1,+0) 33.(1)极大值为-1，没有极小值 2)-ax f'(x)=ae2x-(a+1e*+1=ae-1ew-1, ①当a=1时，f'(x=(e-1≥0，则f(x在R上为增函数； ②当0<a<1时，在区间(-o,0)及(-lna,+o)上有f'(x)>0,在区间(0，-lna)上有f'（x<0, 故当0<a<1时，f(x)在(-o,0)及(-lna,+oo）上为增函数，在(0，-lna上为减函数； ③当a>1时，在区间(-o,-lna及(0，+o)上有f'(x)>0,在区间(-lna,0上有f'(x<0, 故当a>1时，f(x在(-o,-lna及(0，+o）上为增函数，在-lna,0)上为减函数， (3)a>0或a=-2 34.由函数到号-x+2,求导可得f(=-1=(x-0x+, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令f'(x>0得x<-1或x>1,令f'(x)<0得-1<x<1, 所以函数f(x)的单调增区间为-0，-1和(1，+∞)，单调减区间为-1,1)， 该函数f的极大值为-)-斧，极小值为-青 35.(1)由题意得： f（x)+g(x)=0→x+1+x2-2x-3=0→x2-x-2=0, .X1=2,x2=-1, 所以具有“对称互补”关系： ②a=号或ae-1山 (3)be(-e,0l 目目 考点05 利用导数研究函数的最值 36.A 37.B 38.号+h2 39.-2,2 40.(,小u[3+ 41.(1)-00,-1U1,+0】 (2)(i)[0,2)和(2a,+o)； 0, 1<a≤3 (i)g(a)= 1-4a23+12a2,a>3 42.(1)0: (2)函数f)=lnr+ar+1的定义域为0，+o),求导得∫(= -+a, 当a≥0时，f"(x)>0,∫(x)在(0，+o)上递增： 当a<0时，由>0，得xe@日：由)<0，有xe(+o, 函数/)在(0，-日上单调递塔，在（片+）上单调递减， 所以当a≥0时，函数f(x)在(0，+oo)上递增； 当a<0时，函数f(x)在0，-月上单调递增，在(。+)上单调递减 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 43.(1)2 1 R-r’ 44.(1)6x-4y-1=0; (2》方程f)=g()+a÷a=f)-g(),令函数hx)=nx-x2-1, 4 则关于x的方程f(x)=g(x)+a解的个数，即为直线y=a与函数y=h(x)图象交点个数， 求导待=x=2x,当0<r<N2时，f)>0,当5时，)<0， x= x 2 2x 函数)在0，上单调递塔，函数值统合为(x,血、2-孕。 在[v2,+o)上单调递减，函数值集合为(-，lnV2-习，h(xm=h万)=nV万- 当a<1n5-时，直线y=a与函数y=M)图象有2个交点，原方程有2个解， 当a=h万-时，直线y=a与函数y=图象有1个交点，原方程有1个解： 当a>n反-多时，直线y=a与函数y=()图象无交点，原方程有0个解 珠 ln2-1.5 y=a (3)存在，有2条. 450设大值为好，经小值为9 (2)-2≤a≤2 46.0/-= In2x (2)减区间(1，e],增区间[e,+o); 专题05 导数及其应用 （5大考点46题，基础知识全掌握） 3大高频考点概览 考点01导数的概念及意义 考点02导数的运算 考点03利用导数研究函数的单调性 考点04 利用导数研究函数的极值 考点05利用导数研究函数的最值 地 城 考点01 导数的概念及意义 一、单选题 1．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 二、填空题 2．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 3．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知在处可导，若，则__________． 4．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 5．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知曲线在处的切线方程为，则_______． 6．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 7．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)设函数在处可导，且，则______. 地 城 考点02 导数的运算 一、单选题 8．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)函数（）的驻点为（   ） A．（1，0） B．（1，2） C．1 D．2 二、填空题 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是______． 10．(24-25高二下·上海川沙中学·期末)函数的导函数________． 11．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 12．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)函数的驻点为______． 13．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)函数的导数______． 14．(24-25高二下·上海虹口区·期末)曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 15．(24-25高二下·上海虹口区·期末)函数的导数_____． 三、解答题 16．(24-25高二下·上海静安区·期末)设． (1)求函数图象上以点为切点的切线方程； (2)经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 17．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知函数，（），其导函数为． (1)若，求的值； (2)若的图像过点与，求原点到直线的距离． 地 城 考点03 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 18．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 19．(24-25高二下·上海虹口区·期末)对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 20．(24-25高二下·上海宜川中学·期末)已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 21．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 22．(24-25高二下·上海静安区·期末)函数在闭区间上的零点_______． 三、解答题 23．(24-25高二下·上海虹口区·期末)设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 地 城 考点04 利用导数研究函数的极值 一、单选题 24．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 25．(24-25高二下·上海实验学校·期末)若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 26．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 27．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 28．(24-25高二下·上海建平中学·期末)已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 29．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·)已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 30．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 31．(24-25高二下·上海青浦区·调研)已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 三、解答题 32．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 33．(24-25高二下·上海实验学校·期末)设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 34．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)已知函数．求函数的单调区间和极值． 35．(24-25高二下·上海青浦区·调研)定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. (1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； (2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; (3)若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 地 城 考点05 利用导数研究函数的最值 一、单选题 36．(24-25高二下·上海实验学校·期末)在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 37．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 二、填空题 38．(24-25高二下·上海实验学校·期末)函数在上的最小值为__________. 39．(24-25高二下·上海浦东新区上海师范大学附属中学·期末)已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 40．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 1 0 + 极小值 三、解答题 41．(24-25高二下·上海七宝中学·期末)已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 42．(24-25高二下·上海浦东新区上海师范大学附属中学·期末)已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 43．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． (1)基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． (2)设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 44．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 45．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)已知为实数， (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若在和上都是递增的，求的取值范围． 46．(24-25高二下·上海第三女子中学·期末)已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； / 学科网（北京）股份有限公司 $