专题07 空间直线与平面（4大考点31题，基础知识全掌握）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

**基本信息** 空间直线与平面专题汇编，含4大考点31题，精选上海多校期末试题，覆盖平面性质、线线/线面/面面位置关系，注重基础巩固与空间能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|平面基本性质（如长方体交线判断）、线线位置关系（如异面直线成角范围）|以正方体、长方体为模型，考查空间概念辨析| |填空题|14|直观图面积计算（如斜二测画法面积转换）、线面距离（如正方体中点到平面距离）|基础题与中档题结合，强调空间度量计算| |解答题|5|线面平行证明（如四棱锥中线面平行）、折叠问题（如直角梯形折叠后线面角）|多问设计，综合考查空间想象与逻辑推理，贴合上海期末命题趋势|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07空间直线与平面 (4大考点31题，基础知识全掌握) 目目 考点01 平面及其基本性质 1.C 2.42 3.5cm2 4 4. 914.5 2 5.24 目目 考点02 直线与直线间的位置关系 6.B 7.B 8.C 9.D 10.35°或55° 山.牙 12.相交或异面 13.3 14. 0556 32’23’3 15.(①) 2 (2)因为正方体ABCD-AB,CD中，CC,IDD,CC,=DD, 因为E、G分别是棱CC,、DD的中点，所以D,G=CE,D,GICE, 所以四边形D,GCE是平行四边形，所以GC∥ED, 由(1)知，GBIID F,由图形可知∠BGC、∠FD,E均为锐角，所以∠BGC=∠FD,E 目目 考点03 直线与平面间的位置关系 16.C 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.B 18.2 19.5}5 22 20.号 21.a/1a或aca 22.(1)证明：假设直线DE与BC不是异面直线， 则直线DE与BC可以确定一个平面，记为平面a, 所以点E,点B,点C在平面a上 又根据题意可知：点E,点B,点C在平面ABCD上 所以点E,点B,点C三点共线，这与点E是BC,的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线DE与BC是异面直线， ()②arctan5 23.(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行. 在△PBC中，E,F分别为BC,PB的中点， 所以EF/1PC,又EFI平面PAC,PCc平面PAC, 所以EF//平面PAC. D (2)是，定值90°. 24.(1):P0⊥平面ABCD,且BDc平面ABCD,.PO⊥BD 又：AC⊥BD,:ACPO=O,AC、POc平面ABCD,故BD⊥平面PAC, (2):AD/IBC且ADc平面ADM,BC不在平面ADM上，·BCII平面ADM, 又：BCc平面PBC,平面ADM∩平面PBC=MN,.BCIIMN,且BCI/AD,:MNIIAD 25.(1)由AB⊥平面BCE,ECc平面BCE,所以AB⊥EC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又四边形ABCD是矩形，AD=2,所以BC=AD=2,又BE=√3，EC=1, 所以BE2+EC2=BC2,所以EC⊥BE,又ABBE=B,AB,BEC平面ABE, 所以EC⊥平面ABE: (2)arccos 26,I)取PD中点M,连接EM,CM,EF,由E是PA中点，EM11AD且EM=4D, 由ABCD是正方形，F是BC中点，所以FC1AD且FC=AD, 2 从而MEI/FC且ME=FC,所以四边形EMCF为平行四边形，所以EF //MC, 又MCc平面PDC,EF不在平面PDC内，所以EF/I平面PDC M D (2)如图，过P作直线1与BC平行， 则1∥AD,故1，AD共面 延长DE与I交于点G,连接FG,FG与PB的交点即为点H 因为底面ABCD是正方形，F是BC的中点， 所以AD I/BC,且AD=2FB, 因为E是PA的中点，所以PG=AD, 则PG=2P8,所以PH=2 HB G E 0 目目 考点04 平面与平面间的位置关系 27.C 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 28.C 29.2 30.30cm 31.(1)如图，连接BG,因为AD=DE=2,G为AE中点，所以DG⊥AE, 又AD1DE,所以AE=V22+22=2V2,DG=AG=V2, 在aABG中，AB=4,∠BAD=90°，则∠B1G=壬，由余弦定理，GB=2+16-2xV2×4×c0s子=10， 又BD=25,所以BD2=DG2+GB2,则DG⊥GB, 又AE∩GB=G,AE,GBC面ABCE,所以DG⊥平面ABCE. (2)arcsin V6 6 、3 A 专题07 空间直线与平面 （4大考点31题，基础知识全掌握） 4大高频考点概览 考点01平面及其基本性质 考点02直线与直线间的位置关系 考点03直线与平面间的位置关系 考点04 平面与平面间的位置关系 一、单选题 地 城 考点01 平面及其基本性质 1．(24-25高一下·上海控江中学·期末)如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 二、填空题 2．(24-25高一下·上海松江一中·期末)如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 3．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)在水平放置的平面上有一个边长为1cm的正方形，其直观图的面积为_____. 4．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 5．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 地 城 考点02 直线与直线间的位置关系 一、单选题 6．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在空间中，下列命题中正确的是（    ） A．相交于同一点的三条直线共面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．垂直同一条直线的两直线平行 7．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 11．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 12．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 13．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      14．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 三、解答题 15．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 地 城 考点03 直线与平面间的位置关系 一、单选题 16．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 17．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 二、填空题 18．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 19．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 20．(24-25高一下·上海川沙中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 21．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 三、解答题 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 23．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 24．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 25．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 26．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 地 城 考点04 平面与平面间的位置关系 一、单选题 27．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 28．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 29．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 30．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 三、解答题 31．(24-25高一下·上海松江一中·期末)如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 空间直线与平面 （4大考点31题，基础知识全掌握） 4大高频考点概览 考点01平面及其基本性质 考点02直线与直线间的位置关系 考点03直线与平面间的位置关系 考点04 平面与平面间的位置关系 一、单选题 地 城 考点01 平面及其基本性质 1．(24-25高一下·上海控江中学·期末)如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 二、填空题 2．(24-25高一下·上海松江一中·期末)如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据已知有是等腰直角三角形且，结合斜二测画法确定原图的相关边长，进而求面积. 【详解】由题设，易知是等腰直角三角形， ， 所以原图中，， 则原图面积为. 故答案为：. 3．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)在水平放置的平面上有一个边长为1cm的正方形，其直观图的面积为_____. 【答案】cm2 【分析】利用斜二测画法进行求解． 【详解】如图所示：    四边形为正方形，且边长为1， 则在直观图中，， 则正方形的直观图的面积为：， 故答案为： 4．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 5．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 【答案】 【分析】根据直观图和原图的面积关系可得结果. 【详解】由直观图和原图的面积关系式，可得， . 故答案为：24 地 城 考点02 直线与直线间的位置关系 一、单选题 6．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在空间中，下列命题中正确的是（    ） A．相交于同一点的三条直线共面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．垂直同一条直线的两直线平行 【答案】B 【分析】通过举例判断A；根据基本事实4判断B；由平行四边形的判定定理判断C；由线线位置关系判断D. 【详解】对于A，正方体的同一顶点处的三条棱所在的直线不在同一平面内，故A错误； 对于B，由基本事实可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确； 对于C，同一平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 不在同一平面内时，两组对边分别相等的四边形不是平行四边形，故C错误； 对于D，垂直同一条直线的两直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故D错误. 故选：B. 7．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 8．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 9．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 二、填空题 10．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 11．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 12．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 13．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 14．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 【答案】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的直线的夹角的余弦值即可. 【详解】 利用直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条直线都取两条棱所在的直线的时候，有与两种情况， 所成角的度数分别是0或，其余弦值为1或0； 两条直线一条取面对角线与一条取棱所在的直线时，有与两种情况， 所成角的度数分别是或，其余弦值为0或； 两条直线都取面对角线时，有与两种情况， 由为等边三角形，得； 所成角的度数分别是0或，其余弦值为0或； 两条直线一条取体对角线与一条取棱所在的直线时，有这一种情况， 设正方体的边长为1，在中， 可得, 故所成角的余弦值为； 两条直线一条取体对角线与一条取面对角线时，有与两种情况， 由面,可得,可得夹角得余弦值为0， 中，可得, 故夹角的余弦值为，故其余弦值分别是0或； 两条直线都取体对角线时，有这一种情况， 在中，,,, 故夹角的余弦为. 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 故答案为： 三、解答题 15．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 地 城 考点03 直线与平面间的位置关系 一、单选题 16．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的几何性质结合空间中的直线与直线平行的判定定理求解出截面的形状进而再求截面面积即可. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则，    又且，得是平行四边形，得，所以， 则共面，故平面截该正方体所得的截面为． 又正方体的棱长为1，， ，故的面积为． 故选:C. 17．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】B 【分析】对于①，作出辅助线，得到，进而得到平面，故①正确；对于②，先作出，由垂直的判定定理，进行判断即可. 【详解】对于①，取中点，中点，连接，所以， 又为的中点，所以，所以四点共面， 因为平面，平面， 所以平面，故①正确；    对于②，取中点，可证≌，所以， 所以，故. 若平面上存在一条直线，与平面垂直，则一定与垂直， 即与平行，但与不垂直， 故平面上不存在直线，与平面垂直.故②错误.    故选：B． 二、填空题 18．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 【答案】 【分析】结合图形利用梯形的中位线即可求出线段的中点到平面的距离． 【详解】∵线段的端点A，B到平面的距离分别为1，3， 且A，B在平面α的同侧，由梯形的中位线公式， ∴线段的中点到平面的距离为． 故答案为：    19．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 20．(24-25高一下·上海川沙中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 21．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 三、解答题 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】（1）证明：假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. （2） 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 23．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)是，定值． 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 24．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【详解】（1）平面，且平面 又，，平面，故平面. （2）且平面，不在平面上，平面， 又平面，平面平面， ，且，. 25．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，利用勾股定理有，即，最后由线面垂直的判定定理即可得证； （2）将四棱锥放到长方体中，即证，，即为异面直线与所成的角或其补角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 26．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    地 城 考点04 平面与平面间的位置关系 一、单选题 27．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确. 故选：C. 28．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据面面平行及面面垂直的性质定理等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于①，平面内的两条直线均平行于另一个平面，可能是两条平行线平行于另一个平面，这两个平面可能相交，故①错误. 对于②，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故②正确. 对于③，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则， 平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线的平行线，故③正确. 对于④，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则，故④正确. 故选：C. 二、填空题 29．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 30．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【答案】 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 三、解答题 31．(24-25高一下·上海松江一中·期末)如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，利用几何关系得，，再利用线面垂直的判定定理，即可求解； （2）由（1）知为与平面所成的角，在中，利用，即可求解； （3）在上取点，使，连接，过作交于，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，进而可得平面平面，再由面面平行的性质，即可求解. 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面. （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为. （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且. / 学科网（北京）股份有限公司 $