专题06 复数（5大考点60题，基础知识全掌握）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

**基本信息** 复数专题汇编，覆盖5大高频考点（四则运算、实部虚部与共轭、模、实系数一元二次方程、三角形式），60题精选上海多所中学期末真题，注重基础巩固与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约17题|复数概念、四则运算、模的比较|结合充分必要条件、方程根的性质考查基础| |填空题|约23题|共轭复数、模的计算、方程根的应用|注重实部虚部求解、模的最值等基础题型| |解答题|约20题|实系数一元二次方程虚根、模的几何意义|综合考查方程根与模的关系，如已知虚根求参数范围、模的最值问题，体现数学思维与语言表达|

专题06 复数 （5大考点60题，基础知识全掌握） 5大高频考点概览 考点01复数的四则运算 考点02复数的实部、虚部与共轭 考点03复数的模 考点04 实数系一元二次方程 考点05复数的三角形式 地 城 考点01 复数的四则运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 2．(24-25高一下·上海静安区·期末)当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 3．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B： 设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ： 设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D： 设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 二、填空题 4．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 5．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 6．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 7．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)已知为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 8．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 【答案】/ 【分析】根据相反向量及复数运算求解. 【详解】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量， 所以向量所对应的复数是. 故答案为： 9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知实数、使得，则_______． 【答案】4 【分析】根据复数的运算公式，即可化简求值. 【详解】， 则，得. 故答案为：4 10．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 11．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)计算______． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算及乘法运算求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：. 三、解答题 12．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 13．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 14．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念即可列式求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数， 则，解得； （2）关于的实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为， 所以由韦达定理得，解得. 15．(24-25高一下·上海嘉定区上海师范大学附属嘉定高级中学·期末)已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出，的值； （2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可. 【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理，，解得，. （2）若，则方程的根为，， 若，则，，则，，， 所以； 若，则，，则，，， 所以； 故. 地 城 考点02 复数的实部、虚部与共轭 一、单选题 16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 17．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为1. 故选：A. 18．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据特例及复数的相关性质即可求解. 【详解】对于AD，若， 此时，则，，故AD错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为得， 题目未限定，使用无法推出，故C错误. 故选：B. 二、填空题 19．(24-25高一下·上海松江一中·期末)复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【分析】根据复数的概念可知. 【详解】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 20．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【答案】 【分析】根据共轭复数定义求解即可. 【详解】复数（为虚数单位）的共轭复数． 故答案为：. 21．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设复数满足. 若为实数，则________ 【答案】2或 【分析】先设，再根据为实数求出的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以可设， 所以， 因为为实数，所以，所以或. 若，则；若，则. 故答案为： 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)若复数是纯虚数（为虚数单位），则实数________． 【答案】 【分析】根据复数是纯虚数列出关于的关系式即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 23．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 24．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 25．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知，其中、，则_________． 【答案】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 26．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出复数的实部. 【详解】因为，则，故复数的实部为. 故答案为：. 27．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 三、解答题 28．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是实系数一元二次方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解； （2）根据题意得方程的一个实数根为，代入得，进而求解. 【详解】（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； （2）由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 29．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【分析】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【详解】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 30．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知方程有两个根，. (1)若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入方程，由复数相等列出等式求解即可； （2）由韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个虚根， 所以， ， 所以， 解得. （2）方程两个根为， 因为， 所以， ，进而， 所以， 解得：或. 地 城 考点03 复数的模 一、单选题 31．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 32．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 33．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 【详解】， 所以的最大值为. 故选：A. 二、填空题 34．(24-25高一下·上海金山中学·期末)若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 35．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)若，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 36．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 37．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 38．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 39．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 40．(24-25高一下·上海静安区·期末)若z是虚数，且，则___________. 【答案】或 【分析】先设出复数，再利用复数的有关计算得出结果. 【详解】设且不等于零， 则， 故或（舍），所以，解得，故或， 故答案为：或 41．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 【答案】 【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 42．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期末)已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 【答案】 【分析】设从而可得即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解即可. 【详解】设 因为,所以, 即 化为 故、对应平面内距离为的点，如下图中, 因为, 所以与、对应点的距离为或 即构成了点共个点， 故的最大值为 故答案为： 三、解答题 43．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 【详解】（1）已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，，. 所以 （2）i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 44．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 【答案】 【分析】设，根据共轭复数的概念及复数乘法得，再求复数的模长，确定其最小值. 【详解】设，则，解得， ， 当，即时，的最小值为. 45．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，再分及代入计算即可得解； （2）设，再分及验证是否恒成立即可得. 【详解】（1）设， 若，则， 故， 即，，即； 若，则， 故， 即，，即； 综上所述，或； （2）设， 若，则，， 则， ，故； 若，则，， ， ，故； 故恒成立，即得证. 46．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次方程实根分布列式求解. （2）求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解. 【详解】（1）依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． （2）依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 47．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【详解】（1） 为纯虚数，，解得， 故，则． （2）， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 48．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； （2）当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 地 城 考点04 实数系一元二次方程 一、填空题 49．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 50．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 【答案】5 【分析】根据实系数一元二次方程根的共轭和韦达定理求值. 【详解】因为，方程的两虚根为、， 所以. 可设，则（不妨设）， 则根据韦达定理，得：，又， 所以，，. 故答案为：5 51．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 【答案】或 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得， 当时，则、均是实数， 又因为，则， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数， 又，则，即， 解得，符合题意； 则实数的值为或. 故答案为：或. 二、解答题 52．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 【答案】(1)4 (2)5 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. （2）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 当时，. 所以. （2）设，则， 由. 又因为，所以， 所以. 所以分别对应复数和. 所以. 53．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得 54．已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程有虚根，判别式小于0求解； （2）根据实系数一元二次方程，可利用韦达定理可构造方程组求得，得解. 【详解】（1）时，关于的方程在复数集中有两个虚根， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）是关于的实系数方程的一个根， 是另一个根， ，解得. 地 城 考点05 复数的三角形式 一、单选题 55．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 56．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 57．(23-24高一下·上海松江区第四中学·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 二、填空题 58．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知复数，其中为虚数单位，则_________． 【答案】/ 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义与复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，则， 故答案为：. 59．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期末)若复数（i是虚数单位），则=______． 【答案】 【分析】根据复数除法，化简复数，得出复数的虚部. 【详解】已知，则， 所以， 故答案为：. 三、解答题 60．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，方程为，利用韦达定理即可求解； （2）设，由得，又由即可求解. 【详解】（1）当时，，由韦达定理有， 所以， （2）由题意可设，所以， 即，由是方程的两根虚根，所以， 所以解得，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06复数 (5大考点60题，基础知识全掌握) 目蝈城点01 复数的四则运算 1.B 2.A 3.C 4.1+i 6.17 7.-1+i 8.4-3i/-3i+4 9.4 10.(N2x-2+v3i)2x-v2-5i 11.2i 12.(1)-2 2(22) (3)a=tV2,b=4 13.p=2,9=17 14.(1)m=-l:(2)a=-2,b=5 15.(1)a=-2,b=5 (2O1+0i)oc=-2 冒地城嫩点吧 复数的实部、虚部与共轭 16.D 115 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.A 18.B 19.-1 20.1-31 21.2或-2 22.2 24.V4 25.4 26.1 27.-1-21 28.(1)a=-2,b=5 ②a6e2 29.(1)1或3 (2)5 30.(1)p=-2,9=5 5 (2)g=-2或9= 2 昌地城点00 复数的模 31.C 32.C 33.A 34V5 35.5-2,2+5 36.5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.[4,6 38.[3-22,22+3] 39.17 40.1+i或1-i I.6 42.5 43.0)64) (2)m=-6或4 4号 45.(1)z=3-2i或2=-3+2i (2)设2=a+bi(a,b∈R) 若a≥0，则f(a)=a+bi,f)=a-bi 则f2)f同)=a+bi)(a-b)=a2+b =(匠+B=a2+b,故fef(=: 若a<0,则f(2)=-a-bi.f(回=-a+bi f(z)f(@)=(-a-bi)(-a+bi)=a2+B2 -(a+=a2+,故fef回)=f: 故)小f同-H恒成立，即得证 46.(1)-0,10: 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 QNg 47.(1)m=-3 48.(1)b=4,c=8 =2-v10 (2)b=1或 2 昌地嫩点04 实数系一元二次方程 49.1 50.5 51,±或 52.(1)4 (2)5 53.(1)m=n=1 (2)0=-2V5 54.a2,2) (②4-26=2 昌烟嫩点06 复数的三角形式 55.D 56.C 57.D 85g5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 60.(4)-3 (2)±2 5/5 专题06 复数 （5大考点60题，基础知识全掌握） 5大高频考点概览 考点01复数的四则运算 考点02复数的实部、虚部与共轭 考点03复数的模 考点04 实数系一元二次方程 考点05复数的三角形式 地 城 考点01 复数的四则运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一下·上海静安区·期末)当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 3．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 二、填空题 4．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知，若，其中为虚数单位，则__________. 5．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)已知a是实数，并且是实数，则______． 6．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 7．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)已知为虚数单位，则________． 8．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知实数、使得，则_______． 10．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在复数范围内分解因式______． 11．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)计算______． 三、解答题 12．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 13．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 14．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 15．(24-25高一下·上海嘉定区上海师范大学附属嘉定高级中学·期末)已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 地 城 考点02 复数的实部、虚部与共轭 一、单选题 16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 18．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 二、填空题 19．(24-25高一下·上海松江一中·期末)复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 20．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)复数（为虚数单位）的共轭复数________． 21．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设复数满足. 若为实数，则________ 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)若复数是纯虚数（为虚数单位），则实数________． 23．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 24．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 25．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知，其中、，则_________． 26．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 27．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)设，则______． 三、解答题 28．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 29．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 30．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知方程有两个根，. (1)若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； (2)若且，求实数的值. 地 城 考点03 复数的模 一、单选题 31．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 32．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 33．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 34．(24-25高一下·上海金山中学·期末)若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 35．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)若，且，则的最小值是__________. 36．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若复数满足，则的最小值是_____ 37．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)已知，则的取值范围是_________． 38．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 39．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如果复数满足，那么的最大值是___________. 40．(24-25高一下·上海静安区·期末)若z是虚数，且，则___________. 41．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 42．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期末)已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 三、解答题 43．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 44．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 45．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 46．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)已知，关于的实系数一元二次方程． (1)若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； (2)方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 47．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 48．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 地 城 考点04 实数系一元二次方程 一、填空题 49．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 50．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 51．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 二、解答题 52．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 53．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 54．已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 地 城 考点05 复数的三角形式 一、单选题 55．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 56．复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 57．(23-24高一下·上海松江区第四中学·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、填空题 58．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知复数，其中为虚数单位，则_________． 59．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期末)若复数（i是虚数单位），则=______． 三、解答题 60．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $