6 乘法对加法的分配律（导学案）新四年级数学暑假自学课（沪教版·新教材）

6 乘法对加法的分配律 编者的话 亲爱的同学，你好！欢迎来到2026年暑假数学自学课堂。在之前的学习中，你已经掌握了加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律，它们让计算变得灵活而有趣。今天，我们将探索运算定律家族中的最后一位重要成员——乘法对加法的分配律。 这份导学案将从一个熟悉的长方形面积问题出发，带你发现“和乘一个数”与“分别相乘再相加”之间的奇妙联系。通过本节课的学习，你不仅能理解这一规律的本质，还能学会利用它进行简便计算，解决生活中的实际问题。请准备好纸笔，跟随我们的步骤，一起开启这段思维之旅吧！相信通过你的认真思考与练习，一定能轻松掌握这一关键技能，为新学期打下坚实基础。 学习目标 1.理解概念：结合具体情境（如图形面积），理解乘法对加法的分配律的含义。 2.掌握表达：能用字母 表示乘法对加法的分配律，即 。 3.应用运算：能运用乘法对加法的分配律进行一些简便计算，提高计算速度和准确率。 4.逆向思维：初步感知分配律的逆运用，即 ，并能识别相关算式。 知识要点 1. 情境引入：从面积模型发现规律 暑假期间，学校对长方形的向日葵园进行了扩建。 (1)原状：长 3 米，宽 4 米。 (2)变化：长增加 2 米，宽不变。 (3)问题：扩建后向日葵园的面积是多少平方米？ 方法一：先算扩建后的总长，再算总面积。 扩建后的长是 米，宽是 4 米。 方法二：分别算原来的面积和增加的面积，再相加。 原来的面积是 平方米，增加的面积是 平方米。 【发现】两种方法计算的结果相同，所以： 2. 核心定义：什么是乘法对加法的分配律？ 定义：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。这叫作乘法对加法的分配律。 字母表示： 如果用 表示三个数，那么：或者 注意： (1)左边是“和乘一个数”，右边是“分别乘再相加”。 (2)括号里的每一个加数都要与外面的数相乘，不能漏乘。 3. 应用技巧：简便计算 利用分配律可以使某些计算变得简便，特别是当其中一个因数接近整十、整百数，或者两个积中有相同的因数时。 示例 1：直接运用 计算： 示例 2：逆运用 计算： 示例 3：拆分法 计算： 4. 易错点警示 (1)漏乘现象： 不等于 。括号里的每一项都要乘。 (2)混淆结合律： 是连乘，应用乘法结合律，而不是分配律。分配律必须涉及“加”或“减”。 (3)符号错误：在逆运用时，注意中间的运算符号。如果是减法，如 。 自我评量 一、选择题 1.下面算式中，运用了乘法对加法的分配律的是（ ）。 A. B. C. D. 2.与 结果相等的算式是（ ）。 A. B. C. D. 3.计算 时，最简便的方法是（ ）。 A. B. C. D. 4.下面算式错误的是（ ）。 A. B. C. D. 二、判断题 5.。( ) 6.计算25×7×75×7可依据乘法分配律简算，写成（25＋75）×7。( ) 7.99×46＝（99＋1）×46＝4600。( ) 8.如果○＋□＝10，那么13×□＋○×13＝130。( ) 三、填空题 9.用字母表示乘法对加法的分配律： ______。 10. ______ ______ ______。 11. ______ ______ 。 12. ______ ______ ______ ______。 13.在 里填上合适的运算符号，在 里填上合适的数。 14.32×102＝32×100＋32×2运用了乘法( )律。 四、计算题 15.请用简便方法计算。 (1) (2) (3) (4) (5) 五、解答题 16.小明在计算 时，写成了 。 (1) 小明的计算结果是多少？正确结果是多少？ (2) 小明错在哪里？请写出正确的简便计算过程。 17.观察算式： 。 (1) 这个算式可以看作多少个 99 相加？ (2) 利用乘法分配律的逆运算思想，快速计算出结果。 18.张伯伯家有一块菜地（如图），他想用这块菜地栽种西红柿苗，如果每平方米需要栽4棵西红柿苗，购买700棵西红柿苗，够吗？ 19.商店运来苹果和梨各150箱，苹果每箱25千克，梨每箱20千克，苹果比梨多多少千克？（两种方法） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6 乘法对加法的分配律 编者的话 亲爱的同学，你好！欢迎来到2026年暑假数学自学课堂。在之前的学习中，你已经掌握了加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律，它们让计算变得灵活而有趣。今天，我们将探索运算定律家族中的最后一位重要成员——乘法对加法的分配律。 这份导学案将从一个熟悉的长方形面积问题出发，带你发现“和乘一个数”与“分别相乘再相加”之间的奇妙联系。通过本节课的学习，你不仅能理解这一规律的本质，还能学会利用它进行简便计算，解决生活中的实际问题。请准备好纸笔，跟随我们的步骤，一起开启这段思维之旅吧！相信通过你的认真思考与练习，一定能轻松掌握这一关键技能，为新学期打下坚实基础。 学习目标 1.理解概念：结合具体情境（如图形面积），理解乘法对加法的分配律的含义。 2.掌握表达：能用字母 表示乘法对加法的分配律，即 。 3.应用运算：能运用乘法对加法的分配律进行一些简便计算，提高计算速度和准确率。 4.逆向思维：初步感知分配律的逆运用，即 ，并能识别相关算式。 知识要点 1. 情境引入：从面积模型发现规律 暑假期间，学校对长方形的向日葵园进行了扩建。 (1)原状：长 3 米，宽 4 米。 (2)变化：长增加 2 米，宽不变。 (3)问题：扩建后向日葵园的面积是多少平方米？ 方法一：先算扩建后的总长，再算总面积。 扩建后的长是 米，宽是 4 米。 方法二：分别算原来的面积和增加的面积，再相加。 原来的面积是 平方米，增加的面积是 平方米。 【发现】两种方法计算的结果相同，所以： 2. 核心定义：什么是乘法对加法的分配律？ 定义：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。这叫作乘法对加法的分配律。 字母表示： 如果用 表示三个数，那么：或者 注意： (1)左边是“和乘一个数”，右边是“分别乘再相加”。 (2)括号里的每一个加数都要与外面的数相乘，不能漏乘。 3. 应用技巧：简便计算 利用分配律可以使某些计算变得简便，特别是当其中一个因数接近整十、整百数，或者两个积中有相同的因数时。 示例 1：直接运用 计算： 示例 2：逆运用 计算： 示例 3：拆分法 计算： 4. 易错点警示 (1)漏乘现象： 不等于 。括号里的每一项都要乘。 (2)混淆结合律： 是连乘，应用乘法结合律，而不是分配律。分配律必须涉及“加”或“减”。 (3)符号错误：在逆运用时，注意中间的运算符号。如果是减法，如 。 自我评量 一、选择题 1.下面算式中，运用了乘法对加法的分配律的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】A是结合律，C是交换律，D是加法交换律。只有B符合 的形式。 2.与 结果相等的算式是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据分配律，25要分别乘以40和4，即 。A漏乘了4，B变成了连乘，D中第二个4不应乘40。 3.计算 时，最简便的方法是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】将101拆分为 ，则 。A选项只加了1，没乘56；C虽然也对但不如B简便（通常拆成整百）；D完全错误。 4.下面算式错误的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【详解】D选项右边应该是 ，漏掉了 与 的乘法。 二、判断题 5.。( ) 【答案】× 【分析】算式左边是连乘运算，括号前是乘号，去括号后应为连乘，符合乘法结合律的特征；算式右边是两个积相加，符合乘法分配律展开后的特征。乘法结合律与乘法分配律是不同的运算定律，不能混淆。解题时应分别计算左右两边的结果，通过比较数值大小来判断等式是否成立。 【详解】左边算式计算过程： 右边算式计算过程： 因为160≠112，所以16×（5×2）≠16×5＋16×2。 故答案为：× 6.计算25×7×75×7可依据乘法分配律简算，写成（25＋75）×7。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律的定义是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，字母表示为。本题题干中的算式 是四个数连乘，不符合乘法分配律的结构特征，不能变形为两个数的和与一个数相乘的形式。 【详解】算式25×7×75×7是四个数相乘，不符合两个数的和与一个数相乘，因此不能写成两个加数分别与这个数相乘，再相加。即不能依据乘法分配律简算，写成（25＋75）×7。因此，原题说法错误。 故答案为：× 7.99×46＝（99＋1）×46＝4600。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律的正确用法是把99写成100-1，题目中错误地把99写成99＋1，改变了原式的大小。 【详解】99×46 ＝（100-1）×46 ＝4600-46 ＝4554 ≠4600 故答案为：× 8.如果○＋□＝10，那么13×□＋○×13＝130。( ) 【答案】√ 【分析】观察算式13×□＋○×13，发现两个乘法算式中都含有相同的因数13。根据乘法分配律的逆运算，可以将相同的因数13提取出来，将算式转化为13×（□＋○）。结合已知条件○＋□＝10，进行代入计算，得出结果后与题干中的数值进行对比，即可判断说法是否正确。 【详解】13×□＋○×13＝13×（□＋○）＝13×10＝130， 因为计算结果等于130，与题干相符，原题说法正确。 故答案为：√。 三、填空题 9.用字母表示乘法对加法的分配律： ______。 【答案】 【详解】基础公式记忆。 10. ______ ______ ______。 【答案】8, 11, 8 【详解】将8分别乘给括号内的125和11。 11. ______ ______ 。 【答案】99, 1 【详解】逆运用，提取36，剩下 。 12. ______ ______ ______ ______。 【答案】40, 4, 40, 4 【详解】将44拆分为 ，便于与25凑整。 13.在 里填上合适的运算符号，在 里填上合适的数。 【答案】; 78, , 22 【详解】第一题直接展开；第二题提取公因数25，括号内为 。 14.32×102＝32×100＋32×2运用了乘法( )律。 【答案】分配 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。此题中将102分解为100与2的和，给32分别乘100和2，此处用到了乘法分配律。 【详解】32×102＝32×100＋32×2运用了乘法分配律。 四、计算题 15.请用简便方法计算。 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)600 (2)11000 (3)6767 (4)4500 (5)3800 【详解】 (1) (2) (3) (4) (5) 五、解答题 16.小明在计算 时，写成了 。 (1) 小明的计算结果是多少？正确结果是多少？ (2) 小明错在哪里？请写出正确的简便计算过程。 【答案】； （2）运用乘法分配律时，括号外的数 25 不仅要乘 40，还要乘 4。小明漏乘了 4。 【详解】(1)小明结果： 。 正确结果： 。 (2)错误原因：运用乘法分配律时，括号外的数 25 不仅要乘 40，还要乘 4。小明漏乘了 4。 正确过程： 17.观察算式： 。 (1) 这个算式可以看作多少个 99 相加？ (2) 利用乘法分配律的逆运算思想，快速计算出结果。 【答案】(1) 个； (2)见详解。 【详解】 (1) 表示 99 个 99 相加，再加上 1 个 99，所以一共是 个 99。 (2) 18.张伯伯家有一块菜地（如图），他想用这块菜地栽种西红柿苗，如果每平方米需要栽4棵西红柿苗，购买700棵西红柿苗，够吗？ 【答案】不够 【分析】根据题意，可以将这块菜地分成两个长方形，其中一个长12米宽6米，另一个长18米宽6米，根据长方形面积＝长×宽，计算出两个长方形的面积后相加求出这块菜地的面积可以利用乘法分配律简便计算，再乘每平方米需要栽的西红柿苗棵数，求出一共需要多少棵，如果小于或等于700棵则够，大于则不够。 【详解】 如图： 12×6＋18×6 ＝（12＋18）×6 ＝30×6 ＝180（平方米） 180×4＝720（棵） 720＞700 答：700棵西红柿苗不够。 19.商店运来苹果和梨各150箱，苹果每箱25千克，梨每箱20千克，苹果比梨多多少千克？（两种方法） 【答案】750千克 【分析】第一种思路：分别求出苹果的总质量和梨的总质量，再相减求出苹果比梨多的质量。数量关系式为：苹果总质量梨总质量多的质量。 第二种思路：先求出每箱苹果比每箱梨多多少千克，再乘箱数求出总共多的质量。数量关系式为：每箱多的质量箱数多的质量。 【详解】方法一： （千克） 方法二： （千克） 答：苹果比梨多750千克。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $