2 乘法与除法的关系（导学案）新四年级数学暑假自学课（沪教版·新教材）

2 乘法与除法的关系 编者的话 亲爱的同学们，欢迎进入2026年的暑假数学探索之旅！在之前的学习中，我们已经熟练掌握了加、减、乘、除四种基本运算。你是否发现，乘法其实是加法的简便运算，而除法似乎总是和乘法“成双成对”地出现？本课时我们将揭开它们之间神秘的面纱，深入探究“乘法与除法的关系”。这不仅是计算技巧的提升，更是逻辑思维的一次飞跃。通过本导学案，你将学会如何利用这种“互逆关系”来检查计算结果，甚至解决一些看似复杂的未知数问题。让我们带着好奇心，一起走进数学的逻辑世界，为四年级的新学期打下坚实基础吧！ 学习目标 1.理解概念：深刻理解乘法是求几个相同加数和的简便运算，除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2.掌握关系：熟练掌握乘法与除法之间的互逆关系，能根据一个乘法算式写出两个对应的除法算式。 3.应用公式：熟记并灵活运用乘法各部分间关系（积=乘数×乘数，乘数=积÷另一个乘数）和除法各部分间关系（被除数=商×除数，除数=被除数÷商，商=被除数÷除数）。 4.解决问题：能利用乘除法关系解决生活中的实际问题，并进行有效的验算。 知识要点 一、回顾与引入：从加法到乘法 观察示例： 加法： 乘法： 结论：求几个相同加数的和，可以用乘法表示。 (1)在乘法算式中，相乘的两个数叫作乘数（或因数），所得的数叫作积。 (2)即：乘数 乘数 积 二、除法的意义 观察以下两组算式： 定义：已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算，叫作除法。 (1)这里的“积”在除法中叫作被除数。 (2)已知的“乘数”叫作除数。 (3)所求的“乘数”叫作商。 (4)即：被除数 除数 商 三、乘法与除法的互逆关系 通过观察算式组，我们可以发现乘法和除法是互逆运算（相反的操作）。 案例1：由乘法推导除法 由此可得： 结论（乘法各部分间的关系）： (1)积 乘数 乘数 (2)一个乘数 积 另一个乘数 案例2：由除法推导乘法 由此可得： （即：被除数 商 除数） （即：除数 被除数 商） 结论（除法各部分间的关系）： (1)商 被除数 除数 (2)除数 被除数 商 (3)被除数 商 除数 四、实际应用模型 以大楼住户问题为例，体会三者关系的转换： 1.求总数（乘法）：16层，每层6户 （户） 2.求每份数（除法）：16层，共96户 （户/层） 3.求份数（除法）：每层6户，共96户 （层） 自我评量 一、选择题 1.已知 ，求 里的数，应该用（ ）。 A. B. C. D. 2.在除法算式中，如果被除数是0，除数不是0，那么商一定是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 除数 D. 无法确定 3.下面哪组算式体现了乘法与除法的互逆关系？（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4.根据 ，下列算式错误的是（ ）。 A. B. C. D. 二、判断题 5.乘法和除法是互逆运算。（ ） 6.在算式 中，如果 ，则算式有意义。（ ） 7.检验除法计算是否正确，只能用“商 除数”看是否等于被除数。（ ） 8.已知两个因数的积是100，其中一个因数是5，另一个因数一定是20。（ ） 三、填空题 9.在乘法里，一个乘数 （ ） （ ）。 10.在除法里，被除数 （ ） （ ）。 11.根据 ，直接写出下面两题的得数： （ ） （ ） 12.如果 ，那么 （ ） （ ）。 13.一个数除以15，商是12，这个数是（ ）。 14.括号里最大能填几？ （ ） （ ） 四、计算题 15.求未知数 和。 16.计算并验算： 17.根据 ，直接写出下列算式的结果： （ ） （ ） 五、解答题 18.水果店运来苹果，每箱装12千克，共装了25箱。 （1）这些苹果一共有多少千克？ （2）如果已知苹果总重300千克，每箱装12千克，可以装多少箱？ （3）如果已知苹果总重300千克，共装了25箱，平均每箱装多少千克？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2 乘法与除法的关系 编者的话 亲爱的同学们，欢迎进入2026年的暑假数学探索之旅！在之前的学习中，我们已经熟练掌握了加、减、乘、除四种基本运算。你是否发现，乘法其实是加法的简便运算，而除法似乎总是和乘法“成双成对”地出现？本课时我们将揭开它们之间神秘的面纱，深入探究“乘法与除法的关系”。这不仅是计算技巧的提升，更是逻辑思维的一次飞跃。通过本导学案，你将学会如何利用这种“互逆关系”来检查计算结果，甚至解决一些看似复杂的未知数问题。让我们带着好奇心，一起走进数学的逻辑世界，为四年级的新学期打下坚实基础吧！ 学习目标 1.理解概念：深刻理解乘法是求几个相同加数和的简便运算，除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2.掌握关系：熟练掌握乘法与除法之间的互逆关系，能根据一个乘法算式写出两个对应的除法算式。 3.应用公式：熟记并灵活运用乘法各部分间关系（积=乘数×乘数，乘数=积÷另一个乘数）和除法各部分间关系（被除数=商×除数，除数=被除数÷商，商=被除数÷除数）。 4.解决问题：能利用乘除法关系解决生活中的实际问题，并进行有效的验算。 知识要点 一、回顾与引入：从加法到乘法 观察示例： 加法： 乘法： 结论：求几个相同加数的和，可以用乘法表示。 (1)在乘法算式中，相乘的两个数叫作乘数（或因数），所得的数叫作积。 (2)即：乘数 乘数 积 二、除法的意义 观察以下两组算式： 定义：已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算，叫作除法。 (1)这里的“积”在除法中叫作被除数。 (2)已知的“乘数”叫作除数。 (3)所求的“乘数”叫作商。 (4)即：被除数 除数 商 三、乘法与除法的互逆关系 通过观察算式组，我们可以发现乘法和除法是互逆运算（相反的操作）。 案例1：由乘法推导除法 由此可得： 结论（乘法各部分间的关系）： (1)积 乘数 乘数 (2)一个乘数 积 另一个乘数 案例2：由除法推导乘法 由此可得： （即：被除数 商 除数） （即：除数 被除数 商） 结论（除法各部分间的关系）： (1)商 被除数 除数 (2)除数 被除数 商 (3)被除数 商 除数 四、实际应用模型 以大楼住户问题为例，体会三者关系的转换： 1.求总数（乘法）：16层，每层6户 （户） 2.求每份数（除法）：16层，共96户 （户/层） 3.求份数（除法）：每层6户，共96户 （层） 自我评量 一、选择题 1.已知 ，求 里的数，应该用（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 C 【详解】 根据乘法各部分关系：一个乘数 积 另一个乘数。所以 。 2.在除法算式中，如果被除数是0，除数不是0，那么商一定是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 除数 D. 无法确定 【答案】 A 【详解】 0除以任何非0的数都得0。因为 ，符合被除数 商 除数。 3.下面哪组算式体现了乘法与除法的互逆关系？（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】 B 【详解】 A是加减互逆，C是两个除法算式，D是乘法交换律。只有B展示了由乘法积推导出除法商的过程。 4.根据 ，下列算式错误的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 D 【详解】 根据关系，积除以乘数等于另一个乘数。D选项逻辑错误，积乘以乘数不可能等于另一个较小的乘数。 二、判断题 5.乘法和除法是互逆运算。（ ） 【答案】 √ 【详解】 这是乘法与除法的基本性质定义。 6.在算式 中，如果 ，则算式有意义。（ ） 【答案】 × 【详解】 0不能作除数，否则算式无意义。 7.检验除法计算是否正确，只能用“商 除数”看是否等于被除数。（ ） 【答案】 × 【详解】 还可以用“被除数 商”看是否等于除数，或者重新计算一遍。 8.已知两个因数的积是100，其中一个因数是5，另一个因数一定是20。（ ） 【答案】 √ 【详解】 ，符合乘法各部分关系。 三、填空题 9.在乘法里，一个乘数 （ ） （ ）。 【答案】 积；另一个乘数 【详解】 基础公式记忆：乘数 积 另一个乘数。 10.在除法里，被除数 （ ） （ ）。 【答案】 商；除数 【详解】 基础公式记忆：被除数 商 除数。 11.根据 ，直接写出下面两题的得数： （ ） （ ） 【答案】 4；25 【详解】 利用乘除法互逆关系，积除以一个乘数等于另一个乘数。 12.如果 ，那么 （ ） （ ）。 【答案】 15； （或 ；15） 【详解】 被除数 商 除数。 13.一个数除以15，商是12，这个数是（ ）。 【答案】 180 【详解】 被除数 商 除数 。 14.括号里最大能填几？ （ ） （ ） 【答案】 3；6 【详解】 ，所以最大填3； ，所以最大填6。 四、计算题 15.求未知数 和。 【答案】 12；16 【详解】 。 。 16.计算并验算： 【答案】 22 【详解】 计算： 验算： ，与被除数相等，计算正确。 17.根据 ，直接写出下列算式的结果： （ ） （ ） 【答案】 28；63 【详解】 直接应用积与乘数的关系。 五、解答题 18.水果店运来苹果，每箱装12千克，共装了25箱。 （1）这些苹果一共有多少千克？ （2）如果已知苹果总重300千克，每箱装12千克，可以装多少箱？ （3）如果已知苹果总重300千克，共装了25箱，平均每箱装多少千克？ 【答案】 （1） （千克） （2） （箱） （3） （千克） 【详解】 （1）求总数，用乘法：单箱重量 箱数 总重量。 （2）求份数（箱数），用除法：总重量 单箱重量 箱数。体现了“积 一个乘数 另一个乘数”。 （3）求每份数（单箱重量），用除法：总重量 箱数 单箱重量。同样体现乘除法互逆关系。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $