2026年仿真大联考 数学试卷(四)(Word版)-【中考123】2026年中考数学仿真大联考（吉林专用）

**基本信息** 2026年吉林省仿真大联考数学试卷（四）覆盖初中数学核心知识，以情境化、探究性问题为主，如古算“多人共车”、字坊高度测量项目及布罗卡尔点等数学文化内容，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6|数轴、正方体展开图、整式运算等|基础概念与几何直观结合| |填空题|5|因式分解、不等式组、古算应用等|传统文化与数学建模融合| |解答题|11|分式化简、概率、动态几何、二次函数综合等|跨学科（物理浮力）、项目式学习（测量实践）及数学文化（布罗卡尔点）渗透，分层考查运算能力与创新意识|

2026年吉林省·仿真大联考 数学试卷（四） 一、选择题 1. 如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（　　） A. B. C. 1 D. 2 2. 如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字对面的文字是（ ） A. 考 B. 试 C. 加 D. 油 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，蜂巢可近似成是由多个正六边形密铺而成的，正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 二、填空题 7. 因式分解：________ 8. 不等式组的解集是______． 9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有四人共车，二车空；三人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：每车坐4人，2车空出来；每车坐3人，多出9人无车坐．问：人数和车数各多少．设共有辆车，则列方程为__________________． 10. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为______． 11. 如图，在扇形中，半径的长为2，点在弧上，连接，，，若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为_______．（用含的代数式表示） 三、解答题 12. 先化简，再求值：，其中． （1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 甲同学 解：原式 …… 解：原式 …… 乙同学 13. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 14. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进两种花草，第一次分别购进两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进两种花草12棵和5棵，两次共花费940元（两次购进的两种花草价格均分别相同）．求两种花草每棵的价格分别是多少元？ 15. 如图，在矩形中．延长AD至点E，使，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求点A，F之间的距离． 16. 如图，在的方格中，的顶点都在格点处．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点作出的外接圆的一条直径； （2）在图②中，在的右侧且的左侧格点处找一点，使． 17. 近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生在行动后第一周课外阅读情况，具体调查结果如图． （1）调查的这6名学生在行动后第一周课外阅读次数的中位数是_________次，调查的这6名学生在行动后第一周平均每次课外阅读时长的众数是_________； （2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到．请计算这6名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长，并估计七（1）班在行动后第一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标． 18. 某“项目学习实验小组”开展项目活动，过程如下： 【项目主题】测量中国文字博物馆前字坊的高度 【问题驱动】能利用哪些方法来测量字坊的高度呢？ 【组内探究】由于字坊较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、标杆、测角仪、镜子，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，进而计算字坊的高度． 【成果展示】下面是该小组两位同学进行项目式学习时的记录表的一部分． 项目主题 测量字坊的高度 测量人员 小明，小东 测量工具 测角仪、自制的直角三角形硬纸板、皮尺等 测量示意图 说明：小明分别在点，处测得字坊顶端的仰角为，；小东在上的点处用自制的直角三角形硬纸板测量，保持纸板斜边与字坊顶端在一条直线上，与地面平行 测量数据（的长度被污染） ，，，，，三角形硬纸板的直角边， 参考数据 ，， 根据记录表中的数据能否求出字坊的高？若能，请求出字坊的高；若不能，请选取一个合适的数据作为的长，并求出字坊的高． 19. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为． （1）写出线段的长（用含的式子表示）． （2）当平分菱形面积时，求的值． （3）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 20. 阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． （1）请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； （2）根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； （3）若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 21. 如下是乐乐的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来又被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引起了研究“三角形几何”的热潮． 如图①，若点为内一点，且满足，则点为的布罗卡尔点． 等腰三角形中的布罗卡尔点到三角形三个顶点的距离满足一定的数量关系． 如图②，在中，，点为的布罗卡尔点，，则． 证明：，． ，，即， … 任务： （1）请将上述材料中的证明过程补充完整； （2）如图③，在中，，点为的布罗卡尔点，，，且，求的长； （3）点是边长为6的等边三角形中的布罗卡尔点，直接写出的长． 22. 如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线经过点A，点B，并与x轴有另一交点C． （1）依题，点A的坐标是______，点B的坐标是______． （2）求抛物线的解析式． （3）在直线下方的抛物线上有一点D，求四边形面积的最大值． （4）在x轴上有一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．直接写出线段与抛物线只有一个公共点时m的取值范围． 2026年吉林省·仿真大联考 数学试卷（四） 一、选择题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可知在的左边，即，然后逐项分析即可作答． 【详解】解：由数轴可知， 观察各项，则， 只有A选项的满足条件，即 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴与有理数，难度较小，熟练掌握数轴的左边数小于在数轴的右边数是解题关键． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可． 【详解】解：“数”字的对面上的文字是：“油”． 故选：D． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及单项式除以单项式的法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 利用多边形内角和公式即可求得答案． 【详解】解：正六边形的内角和为：． 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 二、填空题 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系．根据题意，总人数保持不变，分别用含的代数式表示出两种乘车情况下的总人数，根据总人数相等即可列出方程． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意，每车坐人，车空出，可得总人数为， 每车坐人，多出人无车坐，可得总人数为， 由总人数相等，可得方程 ． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知：是线段的垂直平分线，即有，再在中，，问题得解． 【详解】连接，如图， 根据作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，得出是线段的垂直平分线，是解答本题的关键． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质和圆的基本性质可知：，，可以得出阴影部分的面积等于扇形的面积，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵在扇形中，半径的长为2，点在弧上， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的应用，圆的基本性质等知识，利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．把阴影部分的面积转化为扇形的面积求解是解题的关键． 三、解答题 【12题答案】 【答案】（1）② ③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键． （1）甲同学的解法两个分式先通分，依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了； （2）选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可． 【小问1详解】 解：②，③．甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律． 【小问2详解】 解：选择甲同学的解法： 原式 ． 或选择乙同学的解法： 原式 ． 当时，原式． 【13题答案】 【答案】 理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表法，概率公式，根据题意画出树状图是解题的关键． 利用树状图画出所有出现的结果数，再找出抽取的书签恰好张为“春”，张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图． 共有种等可能的结果，其中抽取的书签恰好张为“春”，张为“秋”的结果有种， 抽取的书签恰好张为“春”，张为“秋”的概率为． 【14题答案】 【答案】种花草每棵的价格是20元；种花草每棵的价格是5元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出正确的方程组是解本题的关键．设种花草每棵的价格是元，种花草每棵的价格是元，根据第一次分别购进两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进两种花草12棵和5棵，两次共花费940元；列出方程组，即可解答． 【详解】解：设种花草每棵的价格是元，种花草每棵的价格是花， 根据题意得， 解得， 答：种花草每棵的价格是20元；种花草每棵的价格是5元． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）5. 【解析】 【分析】（1）由""可证； （2）由全等三角形的性质和勾股定理可求的长. 【小问1详解】 解：(1)证明:∵四边形是矩形， 在和中， 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， 即点A，F之间的距离为5. 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 【16题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，利用网格进行几何作图，掌握上述知识点是解题的关键． （1）和垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，连接点与该点后延长即可找到点，使得是的外接圆的一条直径； （2）根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）所得的的外接圆的圆心，根据半径相等可找到多个四点共圆的点（即为点），连接、即可． 【小问1详解】 解：如答图①，即为所求． 【小问2详解】 解：如答图②或答图③，点即为所求．（画法不唯一，正确作出一种即可） 【17题答案】 【答案】（1）4.5 0.5 （2） 能达到学校目标 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、加权平均数，掌握频数统计的方法是解决问题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （2）根据样本中这名学生在行动后第一周课外阅读次数，每次课外阅读时长可求出答案． 【小问1详解】 解：，． 调查的这名学生在行动后第一周课外阅读次数按从小到大排列为： ∴中位数是（次）， 调查的这名学生在行动后第一周平均每次课外阅读时长为的有名，为的有名，为的有名， ∴众数是． 【小问2详解】 解：这名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长为 ． 学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到， 估计七（1）班在行动后第一周人均课外阅读总时长能达到学校目标． 【18题答案】 【答案】能 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 连接并延长交于点，则，，共线，则四边形和四边形是矩形，设，由的正切值求出，根据的正切值列方程求出的值，即可求出字坊的高 【详解】解：能． 如图，连接并延长交于点，则，，共线． 由题意知四边形和四边形是矩形， ，． 设，在中，， ． ，， ， ， ， ， ． 故字坊的高约为． 【19题答案】 【答案】（1）当时，，当时， （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，由题意可得出答案； 连接，过点作于点，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，列出方程可得出答案； 分三种情况：当时，点在边上，如图；当时，当点在边上，点在线段上，如图；当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图由直角三角形的性质及三角形的面积可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，则四边形为矩形， ， ，， ， 平分菱形的面积， 经过的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ≌， ， ， ； 【小问3详解】 解：分三种情况：当时，点在边上，如图． ，， ，， ， ； 当时，当点在边上，点在线段上，如图． 由可知，， ， ， ；  ； 当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图． ，， ， ， ， ． 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，求函数解析式，正确进行分类讨论是解题的关键． 【20题答案】 【答案】（1）空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为 （2） （3）a的值为 【解析】 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，利用待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为． 【小问2详解】 设此一次函数的解析式为． 当时，， ， ． ． 【小问3详解】 该食品盒完全浸入水中时，． 由（2）知，， ， 解得． 答：a的值为． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，证明是本题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质进行补充即可； （2）作于点，证明，根据相似三角形的性质代入数据即可求解； （3）通过等边三角形的性质结合角度和差关系可证明，根据全等三角形的性质可得到，可得到为的平分线，同理可得为的平分线，即可求出，由此可得到的长． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：作于点，如图， ． ， ， ． 由（1）易得，， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：的长为． 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为的平分线， 同理可得，为的平分线， ， ， ， ． 【22题答案】 【答案】（1）点A的坐标是，点B的坐标是 （2） （3）四边形面积最大值为8 （4）当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标． （2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式． （3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积． （4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围． 此题（1）（2）是基础题型，（3）不规则图形的面积利用割补法是难点．（4）图形的旋转结合坐标特征，比较新颖，培养学生综合代数几何的综合运用能力． 【小问1详解】 直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， 当时，． 当时，， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是． 故答案为：，． 【小问2详解】 把点，点分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问3详解】 作轴于点E，交直线于点F， 设，则， 则， ∴ , 令得，， 解得， 故点， ∴, 由点， ∴, ∴, ∴, , ∴当时，四边形面积最大，最大值为8． 故四边形面积最大值为8． 【小问4详解】 如图， ∵点，线段绕点P逆时针旋转得到线段． ，， 当点在抛物线上时，， 解得． 当点在抛物线上时，， 解得或． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $