课时规范练5　一元二次方程、不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习通过“基础巩固-综合提升-创新应用”三层设计，以一元二次方程与不等式为核心，从单一知识点到综合应用，培养运算能力、推理意识与模型观念，适配一轮复习基础夯实与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固练|集合运算、定义域、不等式解集等单一知识点|选择、填空、解答题结合，如第1题集合交集、第8题含参不等式分类讨论，强化概念理解与基本运算| |综合提升练|含参恒成立、二次函数性质综合应用|多选题与解答题融合，如第9题参数p的恒成立问题、第11题不等式整数解分析，培养逻辑推理能力| |创新应用练|区间长度与不等式解集综合|结合开区间长度定义，如第13题通过解集长度范围求参数，体现数学建模与创新意识|

课时规范练5　一元二次方程、不等式 (分值:78分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·广东东莞模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|0≤x<2} D.{x|-1≤x<2} 2.(2025·辽宁辽阳期末)函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,8) B.(-∞,0]∪(8,+∞) C.[0,8) D.(8,+∞) 3.(2025·江苏徐州模拟)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式≥0的解集为(　　) A.{x|-1<x≤2} B.{x|-2<x<2} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|x>1或x<-2} 4.(2026·山东青岛高三模拟)若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠⌀,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,0] C.(-∞,-1] D.(-∞,-2] 5.(多选题)(2026·河南周口高三检测)下列叙述中正确的是(　　) A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则a>0 B.不等式≤0的解集是[-1,3] C.不等式2x2-5x-3<0的解集是(-,3) D.不等式|x-1|≥1的解集是(-∞,0]∪[2,+∞) 6.(多选题)(2025·广东广州期末)如图,二次曲线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则(　　) A.a>0 B.∀m∈R,a+b≥am2+bm C.ax+c>0的解集为{x|x<3} D.cx2+bx+a<0的解集为 7.(2025·北京朝阳期末)若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则实数k的取值范围是　　　　　.  8.(15分)(2025·四川绵阳模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R). (1)若a=-2,求f(x)<0的解集; (2)若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x>1恒成立,求a的取值范围; (3)解关于x的不等式:f(x)<a-1. 综 合 提升练 9.(2025·江苏宿迁模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则实数x的取值范围是(　　) A.[-1,3] B.(-∞,-1] C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 10.(2025·江苏镇江模拟)当x∈(-1,1)时,不等式2kx2-kx-<0恒成立,则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 11.(多选题)(2025·广东汕头模拟)已知不等式f(x)=kx2+(2k-1)x-2,下列说法正确的有(　　) A.若k=-,则不等式f(x)>0的解集为⌀ B.若k>0,则不等式f(x)<0的解集为 C.若∀x∈R,f(x)+x<0恒成立,则整数k的取值集合为{-1} D.若恰有两个整数x使得不等式f(x)<0成立,则实数k的取值范围是{k|k≥1} 12.(2025·天津,15)已知a,b∈R,若对任意的x∈[-2,2],(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.  创 新 应用练 13.若关于x的不等式(m-3)x2-2mx-8>0的解集是一个开区间,且区间的长度L满足L∈[1,2],则实数m的取值范围是　　　　　.(注:开区间(a,b)的长度L=b-a)  参考答案 1.C　解析 根据题意|x-1|≤1⇒-1≤x-1≤1⇒0≤x≤2,则A={x|0≤x≤2},x2-x-2=(x+1)(x-2)<0⇒-1<x<2,则B={x|-1<x<2},故A∩B={x|0≤x<2}.故选C. 2.C　解析 由条件知ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,符合题意; 当a≠0时,需满足解得0<a<8. 综上,a∈[0,8).故选C. 3.A　解析 由题意知a>0,且-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根, 所以解得则不等式0可化为 解得-1<x≤2,故解集为{x|-1<x≤2}.故选A. 4.D　解析 因为集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠⌀,所以x2+x+a≤0在x∈N*时有解,则a≤-x2-x在x∈N*时有解,令f(x)=-x2-x,由二次函数性质得f(x)在[1,+∞)上单调递减, 可得f(x)max=-1-1=-2,所以a∈(-∞,-2].故选D. 5.ACD　解析 若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),说明二次函数y=ax2+bx+c开口向上,即a>0,故A正确; 不等式0等价于(x-3)(x+1)≤0且x+1≠0,解得-1<x≤3,故B错误; 解不等式2x2-5x-3<0,令2x2-5x-3=0,得x=-或x=3;函数y=2x2-5x-3的图象开口向上,故解集为(-,3),故C正确; 不等式|x-1|≥1等价于x-1≥1或x-1≤-1,解得x≥2或x≤0,故解集为(-∞,0]∪[2,+∞),故D正确. 故选ACD. 6.BCD　解析 由图象开口向下,得a<0,故A不正确; 因为对称轴为直线x=1,故对∀m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确; 因为图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3, 故b=-2a,c=-3a,由a<0,ax+c=ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确; 由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,所以3x2+2x-1<0,解得-1<x<, 所以cx2+bx+a<0的解集为,故D正确.故选BCD. 7.(-∞,1)　解析 当k=0时,由-2x+1<0,解得x>,故k=0符合题意; 当k<0时,此时一定存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,故k<0符合题意; 当k>0时,若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则Δ=4-4k>0,解得0<k<1. 综上可得k的取值范围是(-∞,1). 8.解 (1)由a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4. 又由f(x)=-2x2+3x-4<0,得2x2-3x+4>0. 又Δ=9-4×2×4<0,所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R. (2)由f(x)=ax2+(1-a)x+a-2≥2x-3对一切实数x>1恒成立, 得(x2-x+1)a≥x-1对∀x∈(1,+∞)恒成立. 因为x2-x+1=>0, 所以a 又x>1, 所以,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,所以a的取值范围是 (3)依题意,f(x)<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0, 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1, 所以不等式的解集为 当a<0时,不等式化为(ax+1)(x-1)<0, ①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}; ②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为; ③当a<-1时,-<1,不等式的解集为 综上,当a<-1时,原不等式的解集为; 当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 当-1<a<0时,原不等式的解集为; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当a>0时,原不等式的解集为 9.D　解析 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可得当0≤p≤4时,[(x-1)p+x2-4x+3]min>0, 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,可得 解得x<-1或x>3.故选D. 10.A　解析 ①当k=0时,不等式化为-<0,显然恒成立,满足题意; ②当k≠0时,令f(x)=2kx2-kx-,则f(x)<0在(-1,1)上恒成立,函数f(x)图象的对称轴为直线x=, 当k>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 则有解得0<k; 当k<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减, 则有f<0,解得-3<k<0. 综上可知,k的取值范围是 11.ABD　解析 当k≠0时,f(x)=kx2+(2k-1)x-2=(kx-1)(x+2). 若k=-,则f(x)=(-x-1)·(x+2)=-(x+2)2≤0,所以f(x)>0的解集为⌀,故A正确; 若k>0,则>-2,f(x)<0的解集为,故B正确; 由f(x)+x<0恒成立,得kx2+2kx-2<0恒成立. 当k≠0时,可得 解得-2<k<0,又k为整数, 所以k=-1, 当k=0时,kx2+2kx-2<0恒成立,满足题意. 综上所述,整数k的取值集合为{-1,0},故C错误; 易知k<0不符合题意,当k>0时,x,若该解集中恰有两个整数解, 则0<1,解得k∈[1,+∞). 综上,实数k的取值范围是[1,+∞),故D正确. 故选ABD. 12.-4　解析 令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在区间[-2,2]上恒成立,即t(x2+x)≤2ax+a+1在区间[-2,2]上恒成立,所以对∀x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切. 函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A(-,1). 讨论t<0时的情况, 当t=-1时,如图1,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为(-),存在a对∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立. 当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a对∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立. 图1 图2 图3 当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图2,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点(-,1),此时t=-4,存在a对∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t继续减小,如图3,则定点(-,1)在二次函数图象开口的内部,则不存在a对∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立. 综上,tmin=(2a+b)min=-4. 13.(-∞,-15]　解析 据题意得m-3<0, 且Δ=4(m2+8m-24)>0,得3>m>-4+2或m<-4-2, 设(m-3)x2-2mx-8>0等价于(x-x1)(x-x2)<0, 则x1+x2=,x1x2=-, 由1≤|x1-x2|≤2,得12, 即12,化简得12,所以(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2,即解得m≤-15或m 综上,m的取值范围是(-∞,-15] 5 学科网（北京）股份有限公司 $