广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷（十二）

**基本信息** 东莞十三中高二数学周测试卷涵盖统计、函数、数列等模块，以“冒泡数列”新定义、空间向量法等题设计，考查数学抽象、逻辑推理与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|统计（中位数/相关系数）、概率（正八边形/正方体）、函数极值|结合生活情境（如数据统计），基础与能力结合| |多选题|3题|直线方程、函数性质、函数奇偶性与周期性|选项分层，考查逻辑判断与多维度分析| |填空题|3题|排列组合、切线方程、椭圆离心率|注重运算与知识迁移（如切线求参数最值）| |解答题|5题|新定义（冒泡数列）、立体几何（空间向量）、双曲函数证明、数列综合、双曲线综合|综合性强，如15题新定义探究交换复杂度，16题空间向量法解决线面角与距离，体现数学建模与创新思维|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷（十二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四个命题中，正确命题的个数为（    ） ①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44． ②相关系数，表明两个变量的相关性较弱． ③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关． ④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指．      0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001      2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．1 B．2 C．3 D．4 2．从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，对于命题：①的面积可能大于的面积；②为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍.下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 3．函数（）在内有极值，那么下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（    ） A．   B． C． 是数列中的最大值   D．数列无最大值 5．已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，函数无零点 B．当时，不等式的解集为 C．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为 D．存在实数，使得函数在上单调递增 6．已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 7．给出以下命题，其中真命题的个数是 ①若“或”是假命题，则“且”是真命题； ②命题“若，则或”为真命题； ③若，则！ ④直线与双曲线交于,两点，若，则这样的直线有3条； A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数，那么下列命题中假命题是（    ） A．是偶函数 B．在上恰有一个零点 C．是周期函数 D．在上是增函数 二、多选题 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B．已知两条直线，若，则； C．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 10．已知是自然对数的底数，函数则（   ） （参考数据：，，） A．函数的图象在处的切线方程为 B．的最小值为 C．函数在上单调递减 D．若整数满足，则所有满足条件的的和为21 11．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则（    ） A．是函数的一个对称中心 B．函数的一个周期是4 C． D． 三、填空题 12．从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有________种不同的选法（结果用数值表示） 13．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是__________ 14．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为______． 四、解答题 15．我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作” 比较的大小，若，则交换的位置； 设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，若，再交换； 设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步； 设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作． (1)请对数列5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数． (2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为 （i）求的最小值和最大值； （ii）对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为，求的通项． 16．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)求直线与底面ABC所成角大小． (3)求点C到侧面的距离． (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 17．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知． (1)证明：（i）当时，； （ii）当时，； (2)证明：． 18．已知数列、、满足，，. （1）若、为等比数列，求数列、的通项公式； （2）若为等差数列，公差，证明：，，. 19．设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C D C D BC AD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】求出两组数据的中位数判断①；利用相关系数的意义判断②；利用的观测值与要求的临界值对判断③；利用残差的意义判断④作答. 【详解】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，①错误； 对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，②错误； 对于③，的观测值约为，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确； 对于④，残差分析中，相应数据的残差，④正确， 所以命题正确的序号是③④. 故选：B. 2．D 【分析】①分别计算三角形面积，比较判断即可；②分别求出概率，比较判断. 【详解】解：对于①，如图，计算三角形PQR的面积， 而正八边形的每一个内角的度数为 ，所以，所以， 又由，解得，正八边形的边长为1，所以， 所以为， 而的最小面积为随机选3个点是同一个面3个点，如，其面积为，所以①不正确； 对于②，在正八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个，为等腰三角形共有24个， 所以为等腰三角形的概率为， 在正方体中，不是直角三角形时，该三角形的三个顶点如下图中的正三角形，其个数为8个，所以为直角三角形的概率为， 所以②对. 故选：D. 3．B 【分析】求出导数，根据题意分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式求解a的取值范围，考查不等式，令，利用导数研究函数的单调性，由及可得当时，成立，即，即可得出正确选项. 【详解】令（）， 若在内仅有1个极值点，即在内有1个零点， 则，解得； 若在内有2个极值点，即在内有2个零点， 则，无解. 所以当时，函数（）在内有极值. 现考查不等式，两边同时取对数可得：，即， 令，， ，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， ， 所以当时，成立，即， 所以当时，. 故选：B 【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用、利用导数研究函数的零点及单调性、证明不等式，属于较难题. 4．A 【分析】根据 ， ，，可判断数列 的，进而可知数列是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解. 【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有， 又由0，即 ，必有， 由此分析选项： 对于A， ，故 ，A正确； 对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误； 对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误； 对于D，由C的结论，D错误； 故选：A. 5．C 【分析】时，利用导数求出函数得单调区间和极值，进而可判断A；时，借助导数工具判断，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式，即可判断B；结合B选项，分别求出函数的零点，在分类讨论即可判断C；举出例子，结合A选项即可判断D. 【详解】对于A，当时， ， 当时，，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以函数在上没有零点， 当时，，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以函数在上没有零点， 综上所述，当时，函数没有个零点，故A正确； 对于B，时，，则， 令，即，解得， 令，， 即在上单调递减，于是， 即，即无解， 综上可知，的解集为，故B正确； 对于C，， 由B选项分析可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，取得等号， 故时，无解， ，解得或， 在时有个根，即这个根需排除在外， 则，于是， 当时，有唯一解，于是在时有个根， 即这个根需恰好被包含在内，故，即， 综上所述，，故C错误； 对于D，由A选项得函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 又，即， 所以当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 6．D 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 7．C 【分析】根据复合命题真假判断，即可得出①是正确的；由四种命题关系即可判断②；根据乘积求导法则，即可求得；讨论直线与双曲线交点的不同情况，得到直线的数量． 【详解】①命题“或”是假命题，所以为真命题，是假命题．则“且”是真命题，所以①正确． ②命题“若，则或”的逆否命题为 “若且，则”，逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，所以②正确． ③ 则 所以，所以③正确． ④直线经过双曲线的右焦点．当直线与双曲线两支各交于一点时，若k=0，此时,所以当斜率发生变化时，过右焦点会有两条直线（这两条直线关于x轴对称）满足．   当直线交双曲线右支于两个点时，若直线与x轴垂直，此时两交点的距离为5，而此时斜率不存在，所以满足条件的直线有2条．因而④是错误的． 所以有3个是正确的，选C． 【点睛】本题考查了逻辑连接词、命题的简单应用，导数的运算法则，直线与圆锥曲线的位置关系，知识点综合性强，属于难题． 8．D 【分析】根据函数的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】对于，函数，定义域为， 且满足，所以为定义域上的偶函数，正确； 对于，时，，， 且，在上恰有一个零点是，正确； 对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数， 正确； 对于D，时，，且，在上先减后增，D错误． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法． 9．BC 【分析】结合已知条件，利用直线方程的性质和图像对各选项进行逐一分析，选项A需考虑直线过原点和不过原点两种情况；选项B需根据平行条件，得出斜率相等，但截距不相等；选项C通过直线过定点，结合直线与线段相交求的范围；选项D需分析三条直线不能构成三角形的所有情况求的值． 【详解】选项A：如下图所示，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线为：和，共两条，故A错误；    选项B：， 整理得：，， ①，②，解①得或，解②得， ，故B正确； 选项C：直线等价于，恒过定点， 直线的斜率分别为， 又直线与线段相交， 或，即为或，故C正确；    选项D：当直线与平行时，即时不能构成三角形； 当直线与平行时，即时不能构成三角形； 直线与交于点， 当点在直线上时，即时，三条直线不能构成三角形， 实数的取值集合为，故D错误． 故选：BC． 10．AD 【分析】利用导数的几何意义判断A，求出函数的单调区间，即可得到函数图象，数形结合即可判断B、C、D. 【详解】解：因为， 当时，则，又， 所以，所以函数的图象在处的切线方程为即，故A正确； 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 又当时，则，所以，故B错误； 又，，， 且当时，则， 当时，则，所以，则， 又，令，，则，即在上单调递减， 又，所以恒成立， 即，即在上单调递增， 又，，又， 所以， 所以的图象如下所示： 则满足不等式的整数有、、、、、、、、、、、、， 所以满足不等式的所有整数和为，故D正确； 故选：AD 11．BCD 【解析】根据奇偶性和周期性，逐一判断即可. 【详解】①由知，故关于轴对称，故A选项错误； ②是上的奇函数，即，又故， 所以，，故周期为4，故B选项正确； ③周期为4，且，得，故C选项正确； ④周期为4，，得，，故，故D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的综合，属于中档题. 12． 【分析】对甲来说不当数学课代表优先处理，然后对数学课代表必须由剩下的4人选一人来当，再在剩下的4人中选2人来当其他两课代表即可。 【详解】对甲不当数学课代表：甲不当数学课代表：则数学课代表由剩下的4人选一人来当，再在剩下的4人中选两人当课代表即可，共种。 故答案为： 【点睛】此题考查排列组合问题，排列组合问题先选后排，特殊元素优先处理，属于较易题目。 13．/ 【分析】求出函数的导函数，设切点，从而表示出，，即可得到切线方程，从而得到，则，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】解：因为，所以，设切点， 则，， 则切线方程为， 即， 又因为是曲线的切线， 所以， 则， 令， 则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以时，取最大值， 即的最大值为. 故答案为： 14．/0.5 【分析】由题， ，设，由题可得，进而可得，后由可得答案. 【详解】由题， ，设. 则，又点P在双曲线上，则. ，又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故. 设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得. 则，又，则. 则. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见求解椭圆或双曲线离心率的方法. （1）由题直接求出a,c的值，由离心率定义确定答案； （2）构建关于a,c的二元齐次方程，后转化为关于e的方程求解； （3）通过取特殊点或特殊值求出离心率. 15．(1)2，3，5，7，9，交换位置的次数为4 (2)（i）最小值为0，最大值为；（ii） 【分析】（1）根据定义，依次写出操作中得到的数列，从而得解； （2）（i）当时，最小，当时，最大，对应求解即可； （ii）根据所有可能的交换次数，找到与之间的关系，根据递推公式，累加求解即可. 【详解】（1） 故操作结束后得到的数列为2，3，5，7，9，交换位置的次数为4． （2）（i）当时，无需交换位置，此时 当时，时需要交换位置的次数最多，为次， 此时的最小值为0，最大值为 （ii）时，不妨设则其各项全排列产生的不同数列为1，2和2，1， 数列其各项全排列产生的不同数列数为， 数列将插入产生的每个数列的首项，将增加次位置交换； 将插入产生的每个数列的第2项，将增加次位置交换；… 将插入产生的每个数列的末项，将增加0次位置交换； 故 由 累加得 所以的通项为 【点睛】方法点睛：本题考查数列的综合运用、新定义问题及分类讨论思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 16．(1)证明见解析 (2) (3) (4)存在，. 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用数量积即可得证； （2）由（1）可知，为平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解； （3）求平面的法向量为，利用即可求解； （4）假设存在满足条件的点，则存在，使得，利用夹角公式，结合直线DE与侧面所成角的正弦值为即可求解. 【详解】（1）证明：点在底面上的射影为的中点， 平面． 平面，． 又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，． 在中，有． ， ， ， ； （2）由（1）可知，为平面的一个法向量，即． 又，设与平面所成角为， 则． 直线与底面所成角为； （3）由（1）可知，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 则， 则点到侧面的距离； （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则． 由（3）知，平面的一个法向量为． 直线与侧面所成角的正弦值为， ， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 17．(1) （i）由， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立； （ii）令， 则， 令， 则， 因此在上单调递增； 所以， 故， 即， 所以在上单调递增， 即， 所以当时，成立； (2) 由时，成立， 令，且， 则， 即 ， 由题意， 令且，可得， 因为， 所以， 由①当时，， 所以令且，可得， 所以， 由前面解答过程得，对任意成立， 令且， 可得 ， 所以， 又且，所以， 所以 所以可得 ， 即可得. 【分析】（1）(i)将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明； (ii) 将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明； （2）利用(1)中的证明将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可． 18．（1）；；（2）证明见解析. 【分析】（1）由可求出，进而求出的公比，得出的通项公式，由可求出，得出的通项公式； （2）由得，利用累乘法求出，进而得出，再利用裂项相消法求出，后用放缩法得到，再利用，用累加法求出，证明即可. 【详解】解：（1）∵， 令，∴，∴， 由为等比数列，∴， ∴， 令，∴， 令，∴， ∵，令， ∵，∴， ∴. （2）证明：，∴， 令，∴； 令，∴； ∴， 将以上各式相乘，得：， ∴， ∴， ∵公差，∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴， 显然时，， ∴， ∴，时，. 【点晴】此题考数列求和方法的综合运用，关键是合理利用数列，找到、与的关系，运用放缩法完成证明，属于难题. 19．【小题1】 【小题2】见解析 【小题3】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【详解】（1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $